Лапласа полезности

В качестве математического аппарата для решения задач, интересующих специалистов по автоматическому управлению, несомненно, наиболее часто используется преобразование Лапласа. Полезность этого метода заключается в том, что он сводит решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к операциям с экспоненциальными функциями. В преобразовании Лапласа искусно используется аддитивность решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений этот метод позволяет легко получить решения, соответствующие стационарному и переходному режимам. [c.274]

Мы опускаем математические выкладки с целью экономии места. Если читатель пожелает проделать все вычисления самостоятельно (что было бы очень полезно), то ему следует учесть, что оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид [c.70]

Напомним, что полученные выражения справедливы для единичных результатов химического анализа. Оценка возможных случайных погрешностей среднего результата х приводится с помощью параметра а х) = а/ /п. Таблица функций Лапласа приведена в Приложении 1. Значения доверительных вероятностей того, что случайная погрешность не превышает соответственно а, 2а и 3а, равны 0,68 0,95 и 0,997. Их полезно запомнить. [c.82]

Уравнение Кельвина можно получить еще одним способом, который в ряде случаев оказывается весьма полезным и поэтому будет приведен ниже. Если поверхность жидкости не плоская, то давление на вогнутой стороне больше, чем давление на выпуклой стороне причем разность давлений зависит от поверхностного натяжения и кривизны. Количественно эта разность дается уравнением Юнга—Лапласа, которое можно вывести, если рассмотреть работу, необходимую для смещения искривленной поверхности в сторону увеличения площади поверхности. [c.163]

Уравнение (2.109) представляет собой искомую стандартную функцию. Ее теоретическое определение путем решения системы (2.106) невозможно. Однако установление связи между стандартной функцией и системой (2.106) окажется полезным. В дальнейшем мы будем часто оперировать изображениями искомых функций. Поэтому преобразуем по Лапласу систему (2.106) и функции (2.108) и (2.109) [c.105]

В первом приближении явление капиллярного поднятия легко интерпретировать на основе уравнения Юнга — Лапласа. Если жидкость смачивает стенку капилляра, ее поверхность должна быть параллельна стенке и, следовательно, в целом поверхность жидкости должна иметь вогнутую форму. Разность давлений на поверхности раздела жидкость— газ определяется уравнением (1-7), причем ее знак таков, что давление в жидкости меньше, чем в газовой фазе. В этой связи полезно запомнить, что оба радиуса кривизны (когда они имеют один и тот [c.14]

Как сказано выше, задача о распределении потенциала идентична задаче о распределении стационарной температуры в твердых телах. При этом потенциал играет роль температуры, плотность тока аналогична тепловому потоку, а электропроводность— теплопроводности. Поэтому полезно ознакомиться с монографиями по переносу тепла, например с книгой Карслоу и Егера [1]. Полезно также знать электростатику [2, 27] и теорию течения идеальных жидкостей [3, 28], поскольку с этими разделами физики приходится сталкиваться при решении уравнения Лапласа. [c.376]

Из приведенных свойств преобразования Лапласа вытекают некоторые следствия, полезные при анализе функций распределения времени пребывания [c.134]

Океан и атмосфера являются тонкими слоями жидкости в том смысле, что их горизонтальная протяженность гораздо больше, чем вертикальная. Поэтому неудивительно, что большая часть энергии, связанная с движением, содержится в компонентах, горизонтальный масштаб которых гораздо больше, чем вертикальный. Для таких компонент можно сделать определенные упрощения, и они используются со времен Лапласа (1778— 1779). Упрощение состоит в том, что можно использовать метод разделения переменных, т, е. решение можно выразить в виде суммы нормальных мод, каждая из которых имеет фиксированную вертикальную структуру и ведет себя в горизонтальном измерении и во времени таким же образом, как однородная жидкость со свободной поверхностью. Это справедливо даже тогда, когда вводятся эффекты вращения, и дает полезное упрощение при изучении этих явлений в следующих главах. [c.196]

В предыдущей главе были изложены основы операционного исчисления и связанные с его использованием свойства преобразования Лапласа. Эффективность операционного исчисления несомненна, ввиду его простоты и возможности пользоваться обширными таблицами интегральных преобразований. Однако обращение к непосредственному исследованию контурных интегралов, к которым сводится выполнение обратного преобразования Лапласа, весьма полезно, так как форма решения 18 [c.551]

Фильтры Лапласа и Собеля. С помощью этих фильтров можно повысить контрастность перепадов яркости без учета их ориентации. Фильтры полезны для повышения резкости краев индикаций. Эти фильтры еще более, чем увеличение резкости, улучшают визуальное восприятие изображения, но также увеличивают уровень шума. Невидимая до применения этих фильтров чересстрочность телевизионного изображения может резко проявиться, вызвав на изображении множество горизонтально-ориентированных ложных объектов, так называемых артефактов. Перед применением фильтров Лапласа и Собеля рекомендуется делать шумоподавление, а для телевизионного изображения - также деинтерлейсинг (компенсацию чересстрочной структуры). [c.721]

Положительный ответ на второй вопрос может оказаться полезным при решении задачи профилирования сопла численным методом с выделением главной части разрывного решения в окрестности точки разрыва граничного условия. Так, в теории уравнения Лапласа производится редукция обобщенной задачи Дирихле к классической путем выделения асимптотики — гармонической функции (/г/а) arg(z — го), где /г — скачок граничного условия, а — внутренний угол по области между касательными к границе в точке разрыва [56]. Однако этот прием можно применять только при а > О (если контур гладкий, то а = тг). Но так как обобщенная задача Дирихле однозначно разрешима и в случае, когда точка разрыва является точкой заострения границы [55], то это означает, что в последнем случае существует другая асимптотика (построить ее можно с помощью конформного отображения). [c.96]

Предлагались и другие подходы полуклассического типа. В частности. Шлаг и Сандсмарк [10] получили полезную аппроксимацию, используя приближенные преобразования точных комбинаторных выражений. Результат имеет вид трехчленного выражения, в котором первый член совпадает с выражением Маркуса — Райса (5.29). Выражения, полученные методом обратного преобразования Лапласа (разд. 5.5), также часто могут быть приближенно представлены в полуклассической форме. Вархафтиг и сотр. [22,311 развили метод, в котором для любых осцилляторов в основных состояниях используется точный подсчет, а для возбужденных осцилляторов — подход полуклассического типа, но получаемые результаты хуже, чем дают некоторые другие методы [32]. [c.147]

Говоря словами Н. Лапласа (см., например, в книгах [47], [44, с.863]) -одного из основоположников применения вероятностной меры к оценке разных ситуаций, в том числе и юридических, и общественно-политических "... теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению она заставляет оценивать с точностью то, что справедливые умы чувствуют как бы инстинктом, часто не умея отдавать себе в этом отчета. Если принять во внимание аналитические методы, которые возникли из этой теории, истинность принципов, служапщх ей основанием, утонченную и изящную логику, которой требует применение к решению задач, учреждения общественной пользы, опираюпщеся на нее, и распространение, которое она получила и может поучить при применении ее к важнейшим вопросам естествознания и нравственных наук если затем заметить, что даже в таких областях, которые не могут быть подчинены исчислению, она дает самые верные взгляды, которые могут нами руководить в наших суждениях, и что она нас учит предохранять себя от иллюзий, которые нас часто сбивают с пути, -мы увидим, что нет науки, более достойной наших размышлений, и что было бы очень полезно ввести ее в систему народного просвещения. [c.41]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология