Уравнение дифференциальное линейное

Возможность описания различных явлений и процессов ограниченным количеством типов уравнений позволяет строить более совершенные методо-ориентированные пакеты программ. Так, для описания большинства процессов химической технологии можно использовать конечные линейные и нелинейные уравнения, дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных производных (см. рис. 7.1). Решение указанных типов уравнений возможно с единых позиций. [c.270]

Система дифференциальных уравнений (3.128) решается численно с использованием метода локальной линеаризации [140] по процедуре, предложенной в работе [21]. Очевидно, что на каждом шаге линеаризации движение происходит не по траектории наискорейшего спуска, а по близкой к ней траектории. Поэтому при решении линейной системы дифференциальных уравнений можно следить не за аппроксимацией правой части исходного уравнения дифференциального спуска, а лишь за убыванием функционала. [c.87]

Некоторые конкретные результаты использования операторов разного строения в дифференциальных моделях вязкоупругих сред будут получены в последующих главах и использованы для теоретического объяснения экспериментальных результатов, касающихся напряжений и соотношений между ними при простом сдвиге и одноосном растяжении. Здесь же ограничимся только указанием путей и способов построения нелинейных реологических уравнений дифференциального типа, обобщающих операторное уравнение состояния линейной вязкоупругой среды. [c.115]

В этом состоит сущность метода прямых, который мы фактически только что рассмотрели. Преимущество его заключается в том, что решать обыкновенные дифференциальные уравнения, в принципе, значительно проще, чем уравнения в частных производных. Эти преимущества особенно проявляются в том случае, когда область решения имеет прямоугольную форму, а уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами. Если же форма области решения оказывается достаточно сложной, а уравнения имеют переменные коэффициенты или являются нелинейными, использование метода прямых вызывает серьезные затруднения. [c.385]

Дифференциальное уравнение называется линейным, если зависимая переменная и ее производные имеют только первую степень и отсутствуют их взаимные произведения. Остальные уравнения называются нелинейными. Если производная высшего порядка входит в первой степени в нелинейное дифференциальное уравнение, то оно называется квазилинейным. [c.411]

Любое уравнение типа (XIV.6.9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (XIV.6.5) независимо от того, какое значение имеет т. Так как исходное уравнение было линейным дифференциальным уравнением, то любая линейная комбинация решений также будет решением. Если т ограничено дискретными значениями, то наиболее общим решением является решение [c.388]

Теория автоматического регулирования стала в наше время фундаментальной научной дисциплиной. Поэтому изложение ее на нескольких страницах (как сделано в этой главе) неизбежно ведет к серьезным упрощениям. Так, понятия линейных и нелинейных систем требуют существенного уточнения. Эти понятия пришли в теорию автоматического регулирования вместе с дифференциальными уравнениями. Под линейными понимают такие системы, которые адекватно описываются линейными дифференциальными уравнениями. Но адекватность часто субъективна. В зависимости от того, какие стороны изучаемой системы исследователь желает описать дифференциальными уравнениями, а также в зависимости от интересующих его пределов изменения параметров и переменных один и тот же объект можно представлять разными уравнениями — линейными и нелинейными. Поэтому разделение реальных систем на линейные и нелинейные и классификацию их свойств необходимо проводить прежде всего по тем дифференциальным уравнениям, которые их представляют. [c.107]

Вначале исследуется гидродинамическая часть общего технологического оператора — основа будущей модели. Эта часть оператора отражает поведение так называемого холодного объекта, т. е. объекта без физико-химических превращений, но с реальными нагрузками на аппарат по фазам. Важно подчеркнуть, что соответствующий элементарный функциональный оператор здесь, как правило, линеен и представляет собой либо линейные дифференциальные уравнения, либо линейные интегральные преобразования с ядром в виде функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. [c.200]

Каноническая система (5.3) из п уравнений состояния линейной нестационарной динамической системы с одним входом и выходом в отсутствие входных шумов и помех измерения может быть приведена к одному дифференциальному уравнению п-го порядка с переменными коэффициентами [c.288]

Соотношение VJQ представляет собой время пребывания реагентов в реакторе и обозначается через т. Если скорость реакции, соответствующая уравнению реакции первого порядка, и температура постоянны, то уравнение (111,11) будет дифференциальным линейным уравнением [c.118]

В предыдущей главе для сведения моделей с распределенными параметрами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод коллокации. Получаемые дифференциальные уравнения оказывались линейными, но это объяснялось не характером метода, а было результатом предшествовавшей линеаризации. Вместо линеаризации уравнений (VII, 58) можно получить более общие уравнения (VII, 13), если воспользоваться подстановкой (VII, 45) [c.204]

Уравнение движения пластины является дифференциальным линейным неоднородным второго порядка. При решении на ЭВМ [c.67]

Обычно, зная характеристики решаемых задач, можно оценить такие параметры УВМ, как быстродействие, объем оперативной памяти, разрядность. В работе [6] в качестве примеров приводятся такие расчеты для часто встречающихся задач системы линейных алгебраических уравнений, задачи Коши для канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, задачи линейного программирования, задачи минимизации выпуклых функций, многоэкстремальные задачи минимизации н др. [c.205]

Таким образом, суммарный расход представляет собой алгебраическую сумму расходов в потоке вынужденного течения и потоке под давлением. Следует отметить, что это является следствием линейности исходного дифференциального уравнения (оно линейно потому, что приняты ньютоновский характер жидкости и изотермические условия течения). С помощью величин расходов можно установить, что безразмерная группа, определяющая форму профиля скоростей, [c.308]

В общем случае указанные вычислительные задачи решаются методами математической теории оптимальных процессов, а при замене дифференциальных уравнений равновесия (или совместности деформаций) системой линейных алгебраических уравнений — методами линейного программирования с использованием соответствующих стандартных или специальных подпрограмм для ЭВМ. [c.330]

Таким образом, математической моделью конвективной диффузии с реакцией является обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Это уравнение будет линейным с постоянными коэффициентами, если р = 1, т. е. реакция будет первого порядка. [c.85]

Дифференциальное уравнение стандартного линейного тела (см. рис. IX.2, г) имеет вид (т = r i/Ei) [c.217]

Уравнение (10.62) является дифференциальным линейным уравнением первого порядка, имеющим следующее решение [c.487]

Вывод дифференциального уравнения для линейной диффузии к растущему капельному электроду можно осуществить, исходя из следующих представлений. [c.69]

Решить уравнение Шредингера — значит найти удовлетворяю-щую ему волновую функцию F, описывающую стационарное состояние системы. Однако уравнение (III.17) как дифференциальное линейное второго порядка в частных производных имеет множество решений. Из них приемлемы только те, что получаются при дискретных вполне определенных значениях энергии микрочастицы— электрона. Идея квантования энергии, выдвинутая Бором в ка< [c.51]

Выше мы рассматривали два граничных случая, относящихся к кинетической и диффузионной областям. Логично теперь перейти к переходной области, где проявляются оба эффекта одновременно. Дифференциальное уравнение, пригодное для этого случая, можно без труда вывести [15], если дифференцировать приведенное выражение для а по г ) и полученное выражение для подставить в уравнение, представляющее линейную [c.189]

В настоящее время микрокомпьютеры не обладают достаточной мощностью для быстрого выполнения сложных теоретических расчетов, но их можно использовать для решения более простых задач по расчету молекулярных орбиталей, аналогичных расчетам по простому [10] или расширенному методу Хюккеля [11]. Они особенно удобны для статистического обсчета данных анализов, в котором вычисления просты, но слишком монотонны для выполнения вручную. Микрокомпьютеры также могут быть очень полезны для получения численных решений полиномиальных уравнений, систем линейных уравнений, для точного расчета pH [12] или численного интегрирования дифференциальных уравнений в химической кинетике [13]. [c.90]

Можно решить и обратную задачу подобрать параметры регулятора и испарителя, обеспечивающие требуемое качество регулирования. Методы решения системы дифференциальных линейных уравнений подробно изложены в литературе [137, 143, 144]. [c.254]

Вследствие сравнительно небольшого нагрева пресс-форм термические коэффициенты их изменяются незначительно и практически не будут являться функциями температуры, что позволяет считать дифференциальное уравнение теплопроводности линейным. [c.34]

Этот закон находит применение в тех случаях, когда изменение концентрации вещества зависит от времени 1 и расстояния X от электрода. В частности, это уравнение является основным дифференциальным уравнением для линейной диффузии к плоскому электроду в большом объеме раствора. [c.23]

Когда имеем m элементов Максвелла, соединенных параллельно, то реологическое уравнение становится линейным дифференциальным уравнением т-порядка. Оно может быть записано в виде [c.71]

Решение граничной задачи, которая состоит нз неоднородного дифференциального линейного уравнения в частных производных (10-12) и граничных условий (10-13), можно получить методом разделения переменных. Переменные можно разделить, если выразить Уг как сумму двух функций, а именно / и д [c.254]

Решить уравнение Шредингера — значит найти удовлетворяющую ему волновую функцию (г (или амплитуду вероятности), описывающую стационарное состояние системы. Но уравнение (3.7) как дифференциальное линейное уравнение второго порядка в частных производных имеет бесчисленное множество решений. Из них интерес представляют лишь такие решения, для которых найденные значения (плотносюя вероятности) не противоречат физическим представлениям. Поэтому к решениям уравнения (3.7) предъявляют следующие требования. Волг новая функция должна быть конечна, однозначна и непрерьшна. Требование конечности означает, что нигде у и ее квадрат т. е. плотность вероятности, не могут стать бесконечно большими. Однозначность функции означает, что вероятность найти частицу в данном единичном объеме всегда строго определенная, большая или малая, либо равная нулю, но одна. Непрерьтность функции т)/ означает, что нет такого элемента объема, где нельзя определить вероятность нахождения частицы. Эти физические осмысленные требования назьшают требованиями регулярности. [c.13]

Как правило, с помощью одного только решения оказывается невозможным удовлетворить начальным условиям концентрации. Поэтому необходимо получить общее решение, которое для линейных дифференциальных уравнений равно линейной комбинации частных решений (см. гл. V). Пусть [c.244]

Все граничные члены обращаются в нуль, так как функция ь у) тождественно равна нулю вне некоторого ограниченного интервала. Прямое уравнение (4.45) следует из выведенного нами соотношения, если учесть, что v y)—произвольная функция. Этб эволюционное уравнение для р у,1 х,8), как и обратное уравнение Колмогорова, линейно по плотности вероятности перехода в отличие от уравнения Колмогорова — Чепмена, из которого выводятся оба этих уравнения. В математической литературе оно получило название прямого уравнения Колмогорова, так как вариация в нем берется относительно будущего состояния у и временного аргумента 1. В физической литературе за ним закрепилось название уравнение Фоккера—Планка (УФП). ОУК и УФП показывают, что марковский диффузионный процесс действительно полностью определяется двумя первыми дифференциальными моментами ОУК и УФП являются дифференциальными уравнениями в частных производных для плотностей вероятностей перехода с коэффициентами, зависящими от дрейфа и диффузии Следовательно, плотность вероятности перехода как решение ОУК или УФП полностью и однозначно определяется двумя первыми дифференциальными моментами при определенных условиях регулярности на / и Именно это удивительное свойство делает понятие диффузионного процесса столь мощным. [c.109]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

S]o) и изучение кинетики реакции в начальный (предстацио-нар ный) период времени на небольшой глубине реакции. В этом случае накоплением концентрации продукта во времени можно пренебречь ([Р] aO), и члены второго порядка становятся зависимыми с достаточной степенью точности лишь от переменной концентрации одного реагента. Полученная таким образом новая система дифференциальных уравнений является линейной и имеет аналитическое решение. Так как для обработки экспериментальных данных имеется большое число вариантов применения методов предстационарной кинетики, анализ конкретных типовых ферментативных систем будет рассматриваться в решениях задач настоящей главы. [c.188]

VI (t) I t=o = Vo и V2 (t) 11 = 0 = Vq, to [aiVi (t) -f 2 2 (0 ] I i=0 = ( 1 + + 2) 0. Поэтому функцию ai i + 2 2 нельзя рассматривать как результат действия оператора А на входную функцию o iUi + Нелинейность А доказана. Точно таким же образом можно доказать, что является нелинейным любой оператор, задаваемый линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями (или линейными уравнениями в частных производных) с ненулевыми начальными условиями. [c.53]

Рассмотренный пример иллюстрирует общую идею линеаризации, которая заключается в выделении некоторого стационарного режима работы объекта. При этом считается, что все переходные процессы в объекте закончились и на выходе установилось стационарное значение выходного параметра. Если скачок значения выходной функции от нуля до стационарного значения пронзощел в некоторый конечный момент времени (о, то теоретически переходной процесс в объекте нельзя считать закончившимся поэтому необходимо предполагать, что стационарное входное воздействие подается бесконечно долго, т. е. момент времени о отодвинут в —00. Исходный нелинейный оператор заменяется эквивалентным нелинейным оператором, входными функциями которого являются малые отклонения входного воздействия от начального стационарного значения. Разлагая все нелинейные функции параметров, входящие в дифференциальные уравнения, по степеням отклонений этих параметров от их стационарного значения и отбрасывая все члены разложения, содержащие степени отклонений выше первой, получим линейные дифференциальные уравнения, задающие линейный оператор. Этот оператор и является результатом линеаризации. При входных параметрах, мало отклоняющихся от их значений в выбранном стационарном режиме, выходные функции исходного оператора приближенно выражаются через выходные функции построенного линейного оператора. [c.81]

Построенные выше системы уравнений, описьшающие установившееся неизотермическое потокораспределение в произвольной г.ц. с распределенными параметрами, могут быть обобщены в виде специального класса смешанных систем уравнений, содержащих линейные (10.4) —(10.6), билинейные (10.7) и интегральные (или дифференциальные) уравнения [c.141]

Многие задачи (особенно динамические) в области математики, физики и химии сводятся к решению систем дифференциальных уравнений — как линейных, так и нелинейных. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в Math ad введены следуюш,ие функции [c.97]

Аналитические решения задач, сводящихся к линейным диф-ференциальньш уравнениям с линейными граничными условиями, удобно получать с помощью операторного метода (преобразования Лапласа). Сущность метода заключается в том, что функции (оригиналу) приводится в соответствие другая функция (изображение), для которой операция дифференцирования заменяется умножением, а интегрирование — делением на независимую переменную. Таким образом, обыкновенным дифференциальным уравнениям для оригиналов отвечают алгебраические уравнения для изображений, а уравнениям в частных производных для оригиналов — обыкновенные дифференциальные уравнения для изображений. Оригиналы и их изображения связаны между собой формулами прямого и обратного преобразования Лапласа. Изображение функции F (t) по Лапласу определяется как [c.120]

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Точные аналитические решения уравнения (25,1) могут быть найдены только для некоторых видов оператора потенциальной энергии, который в координатном представлении изображается функцией от координат частицы. Простейшие решения относятся к системам, в которых потенциальная энергия постоянна во всем пространстве (свободное движение) либо имеет разные постоянные значения в отдельных областях пространсгва, переходя скачком от одного значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области. На поверхностях разрыва потенциала волновая функция должна быть непрерывной, чтобы плотность вероятности была непрерывна. Если энергия частицы ограничена и скачок потенциальной энергии на поверхности разрыва конечный, то из (25,1) следует необходимость непрерывности grad на поверхности разрыва. Итак, граничные условия на поверхностях а с конечным скачком потенциала сводятся к требованию [c.108]

Дифференциальные нелинейные реологические уравнения состояния. Аналогично тому как реологическое уравнение состояния линейной вязкоупругой жидкости может быть представлено в виде интегрального соотношения (1.79) или в альтернативной форме — Б виде дифференциального (операторного) уравнения (1.104), также и для нелинейной модели вязкоупругого тела возможно ее представление в виде интегральных операторов — наследственных функционалов или в виде нелинейных дифференциальных уравнений состояния с ограниченным числом констант. Основным условием, которое требуется учитывать при построении дифференциальных реологических уравнений состояния, является необходимость использования тензорных величин и их производных по времени, а также согласование систем координат, в которых устанавливаются реологические связи между компонентами тензоров напряжений и ск ростей деформаций. [c.112]

Вся классическая статистика и кинетическая теория имеют своим формальным основанием уравнение Лиувилля — линейное дифференциальное уравнение с частными производными 1-го порядка относительно функции + 1 аргументов. Здесь N есть число частиц в макроскопической системе, т. е. пропорционально 1015 102о. Задание дополнительных условий наталкивается в этом [c.260]

Таким об1й13ом, задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальна уравнений о одновременным решением на каждом шаге интегрирования системы линейных алгебраических уравнений (уравнения (14) линейны относительно ( Л ) и Полезно заметить, что система (II) линейна по Лтп [c.421]

Исследователи, как правило, стремятся максимально упростить математическое описание системы и поиск решения. С этой целью экапериментально создаются услоВ ИЯ, в которых система дифференциальных уравнений имеет линейный характер. Например, создается большой избыток одного из компонентов. реакции, концентрация которого е изменяется во времени и может входить в дифференциальное уравнение в виде константы. При этом скорость бимолекулярны х реакций с участием этого компонента становится линейно-зависимой лишь от одного переменного, и уравнение скорости становится линейным. Это существенно упрощает решение системы дифференциальных уравнений, поскольку линейные уравнения имеют общее решение, которое детально исследовано в литературе. Большое развитие при исследовании ферментативных реакций получил метод стационарных концентраций Боденштейна. Использование условий стационарности промежуточных соединений переводит систему дифференциальных уравнений в систему алгебра ических уравнений. [c.7]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология