Группы преобразований симметрии

Равенства (6.31) и (6.32) означают, что возможна замена исходной группы преобразований симметрии Т, Т,. .. набором унитарных матриц ..., которые также образуют группу [c.124]

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИММЕТРИИ [c.53]

Знание характеров неприводимых представлений групп преобразований симметрии является, как мы увидим, достаточным средством для получения многих интересующих нас сведений о свойствах молекул. [c.61]

IX. 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИММЕТРИИ [c.248]

Ограничиваясь сказанным в настоящем параграфе о связи электронных состояний молекулы или кристалла с группой симметрии ядерного остова, рассмотрим, какие группы преобразований симметрии встречаются у молекул. [c.13]

Этот пример указывает на связь между преобразованиями симметрии и преобразованиями перестановки. В общем случае эта связь устанавливается теоремой Кэли группа симметрии изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы. Композиция двух последовательных преобразований поворота на углы О] и а, относительно оси г — это поворот на угол а = 0(1 + аз, откуда для а = 2я/3 следует [c.190]

Таким образом, (/-волновые функции центрального атома при преобразованиях симметрии октаэдра преобразуются различным образом или по различным неприводимым представлениям группы симметрии в теоретико-групповой терминологии. [c.192]

Если рассмотреть преобразование симметрии группы Сзу - вращение на [c.212]

Нетрудно проверить, что эти функции при преобразовании симметрии группы T ведут себя подобно орбиталям Рх, Ру, Pz атома углерода. В табл. (1.2) суммированы сведения относительно закона преобразования симметризованных волновых функций атомов водорода и различных орбиталей атома углерода. [c.212]

Число элементарных преобразований или кратность оси в пределах одного цикла равна 2ге, так как направления поворотов возможны по и против стрелки часов. Координаты эквивалентных точек группы, генерируемой осью С , связаны между собой преобразованиями симметрии, и их можно определить по координатам любой из точек группы, поскольку они расположены в вершинах правильного /г-угольника. Так, для оси четвертого порядка С4 такая группа представляет квадрат, перпендикулярно к которому через его центр проходит ось С . Выберем эту ось [c.47]

Представим себе теперь, что соверщается вращение вокруг оси С4 не плоской, а объемной фигуры, так что положения точек определяются тремя координатами. Очевидно, в этом случае для преобразования координат нужно воспользоваться матрицами третьего порядка. В остальном рассуждения остаются прежними. Группе операций симметрии [c.76]

Чтобы получить возможность определять разрешенные принципом Паули состояния для более общих систем, необходимо воспользоваться свойствами группы перестановочной симметрии (или, на языке математики, симметрической группы). Симметрической группой 5(Л ) степени N называется группа, операциями которой являются все возможные перестановки N объектов. Например, при наличии двух объектов их можно произвольно обозначить символами 1 и 2. В таком случае группа перестановок 8(2) состоит из тождественного преобразования (которое всегда обозначается символом Е) и операции, приводящей к перестановке объектов. Схематически эти операции можно записать так [c.136]

Каждая точечная группа симметрии, содержащая оси вращения выше второго порядка, имеет вырожденные представления, которые, согласно Малликену, обозначают Е (следует отличать от обозначения тождественного преобразования) — для двукратно вырожденного представления Т — для трехкратно вырожденного представления. Примеры таких групп даны в серии табл. 6.2. В этих группах операции симметрии сведены в классы операций, имеющих 196 [c.196]

Кристаллическая структура выступает как совокупность частиц или групп частиц, связанных друг с другом различными преобразованиями симметрии отражение, вращение, инверсия, переносы (заметим, что кристаллы могут иметь оси вращения только 1-, 2-, 3-, 4- и 6-го порядков). К основным симметрическим преобразованиям бесконечной кристаллической структуры относится трансляция, т. е. бесконечно повторяющийся перенос точки вдоль прямой на определенное расстояние, называемое периодом трансляции. Кристаллическая решетка, т. е. правильная система узлов, может быть образована путем бесконечного повторения точки тремя некомпланарными трансляциями. Уравнение решетки имеет вид [c.173]

Теорема. Преобразования симметрии уравнения Шредингера образуют группу. [c.129]

Доказательство. Так как уравнение Шредингера инвариантно относительно преобразования симметрии, то достаточно показать, что преобразования симметрии гамильтониана всегда образуют группу. [c.129]

Совокупность О преобразований симметрии будет группой, если будут выполнены все условия, определяющие группу. Покажем, что эти условия выполнимы. [c.129]

Ось полярна, если два ее конца не совпадают в результате преобразований симметрии, свойственных группе симметрии данной фигуры. Аналогичное определение применимо к двум сторонам полярной плоскости. [c.64]

В квантовомеханическом описании свойств молекул часто приходится вычислять интегралы от произведения функций, и оказывается полезным знать их отношение к преобразованиям симметрии. Почему так Причина состоит в том, что интеграл будет обращаться в нуль, если только подынтегральное выражение, состоящее из произведения двух или более функций, не будет инвариантно ко всем операциям симметрии данной точечной группы. Это означает, что интеграл не равен нулю, только если подынтегральное выражение принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.221]

При построении волновых ф-ций молекулы М. о. м. часто учитывают т. наз. условие симметрии если конфигурация ядер симметрична и при определенных операциях симметрии (поворотах, отражениях в плоскости и др.) остается без изменений, то многоэлектронная волновая ф-ция должна при таких преобразованиях меняться с учетом этой симметрии (другими словами, преобразовываться по одному из неприводимых представлений той точечной группы, операции симметрии к-рой оставляют конфигурацию ядер без изменений). Двухатомные молекулы всегда обладают осевой симметрией, тогда как для многоатомных молекул симметрия отсутствует, как только ядерная конфигурация претерпевает несимметричное смещение от симметричной [c.120]

В расчетах, основанных на использовании теории возмущений, большую помощь оказывает применение теории групп. На основе теоретико-группового рассмотрения, или учета симметрии, удается показать, что многие интегралы оказываются тождественно равными нулю. Всякое наблюдаемое свойство системы должно быть инвариантным при любом преобразовании симметрии системы. Другими словами, наблюдаемые величины должны быть скалярными, а не векторными, операторными и т. д. С теоретико-групповой точки зрения это означает, что любой интеграл (или любая другая функция, представляющая наблюдаемую величину) должен преобразовываться по полносимметричному неприводимому представлению группы, к которой относится данная система. (Полносимметричное представление является единственным скалярным представлением группы и таким, в котором каждый элемент группы отображается на скаляр, равный + ) Поскольку каждую функцию или оператор, входящие в интеграл, можно отнести к некоторому неприводимому представлению (или к комбинации неприводимых представлений) группы и поскольку известны правила умножения для представлений, нетрудно определить представление, по которому преобразуется любая подынтегральная функция. Если это представление не совпадает с полносимметричным представлением или не содержит его в себе, то нет никакой необходимости проводить вычисление интеграла, так как заведомо известно, что он должен быть равен нулю. В расчетах по теории возмущений на основании такого анализа можно, например, установить, равна ли нулю поправка первого приближения к энергии и какие коэффициенты в разложении первого порядка для волновой функции или в разложении второго порядка для энергии оказываются равными нулю. [c.115]

Для того чтобы провести такое деление по типам упорядоченных фаз, необходимо найти достаточно простой и удобный критерий, с помощью которого можно было бы найти точки высокой симметрии в обратном пространстве неупорядоченного твердого раствора. Для этого необходимо определить, какими свойствами обладают изолированные точки высокой симметрии, для которых градиент (к, 7 )/Зк тождественно равен нулю. С этой целью применим к вектору дЬа (к, 7 )/Зк преобразования симметрии 1 группы вектора к (точечной группы — подгруппы кристаллического класса неупорядоченного кристалла, элементы которой не изменяют направления вектора к или изменяют его несущественным образом—на вектор обратной решетки неупорядоченного кристалла). [c.53]

Свойство изменять направление вектора вне зависимости от его первоначального направления присуще преобразованиям симметрии точечной группы, пересекающимся в одной точке. В частности, такими являются точечные группы, содержащие инверсию преобразование инверсии всегда изменяет направление вектора на противоположное. [c.54]

Примем, что все узлы решетки Изинга кристаллографически эквивалентны, т. е. могут быть получены один из другого в результате преобразований симметрии пространственной группы решетки. Исключая с помощью (9.3) св (г) из (9.1) и опуская индекс А у величин са (г), получим [c.100]

Как отмечалось в 11, сверхструктуры внедрения могут быть получены тремя способами в результате упорядоченного размещения атомов соответственно в первой, второй и третьей ОЦК подрешетках октаэдрических междоузлий. Эти сверхструктуры кристаллографически различимы (описываются различными пространственными группами), если они не могут быть совмещены друг с другом в результате преобразований симметрии ОЦК решетки растворителя. Из трех видов таких сверхструктур мы, для краткости, будем приводить только один. [c.139]

Выше мы показали, что совокупность волновых функций для данного энергетического терма системы является базисом некоторого представления, группы преобразований симметрии для этой системы. Можно показать, что это представление будет неприводимым. Действительно, если бы оно было приводимым, то рассматриваемая совокупность функций разбивалась бы на группы функций, [c.61]

Группой преобразований симметрии для атома служит группа симметрии шара, обладающая бесконечным числом элементов и множеством неприводимых представлений. Базисными функциями для этих представлений являются сферические функции [см. (11.2)] 1 ср) = Р1 созгде — присоединенный полином Лежандра. [c.78]

Выше мы показали, что совокупность волновых функций для данного энергетического терма системы является базисом некоторого представления группы преобразований симметрии для этой системы. Можно показать, что это представление будет неприводимым. Действительно, если бы оно было приводимым, то рассматриваемая совокупность функций разбивалась бы на группы функций, преобразующихся друг через друга внутри каждой группы, но принадлежащих вместе с тем к одному и тому же собственному значению энергии, что явилось бы совершенно невероятной случайностью [27]. [c.257]

Но почему энергия не зависит от I, оставалось не-ясйым до 1935 г. Из общих соображений симметрии следовало ожидать, что независимость энергии электрона от I также объясняется наличием некоторой группы преобразований симметрии. Но какой именно группы Вот в чем состоял вопрос. Ответ на него был найден советским академиком В. А. Фоком, который показал, что полная группа симметрии атома водорода, объясняющая все его свойства, включая и вы рождение по I, совпадает с группой вращений четырехмерного шара, т. е. наряду с чисто геометрическим я преобразованиями содержит преобразования симметрии более общего, более абстрактного, а потому н менее наглядного, типа. Группу симметрии четырехмерного шара обычно обозначают символом 0(4). [c.106]

Полученный результат является частным случаем более общего результата, справедливого не только для линейных молекул, но и для молекул другой симметрии, и не только для одноэлектронных, но и для многоэлектронных состояний. Множество операций пространственной симметрии молекулы образует так назьшаемую группу - множество, обладающее определенными свойствами, изучаемыми в теории групп [1, 10, 12, 26]. Здесь приведены лищь некоторые результаты применения теории групп к квантовой теории молекул. Так, можно ввести такие наборы функций (базисы неприводимых представлений группы симметрии молекулы), которые при операциях симметрии молекулы будут преобразовываться друг через друга. Иными словами, базис неприводимого представления определяет функциональное подпространство, которое инвариантно относительно преобразований симметрии молекулы. Слово неприводимое означает, что инвариантное подпространство обладает наименьщей возможной размерностью, назьшаемой размерностью представления. Функции, образующие базис неприводимого представления, называют функциями-партнерами. [c.38]

Оператор энергии атома коммутирует с операторами поворота на произвольный угол. В случае линейных молекул с оператором энергии коммутируют операторы поворота на произвольные углы относительно оси симметрии (см. гл. 1, 4). Непрерьшная группа преобразований харак- [c.187]

Группы симметрии, содержащие трансляции и их сочетания с другими преобразованиями симметрии, описывают симметрию бесконечных периодических пространств и называются простран-гтвенными (федоровскими) группами. В пространственной группе G выделим подгруппу трансляций [Gt и подгруппу вращений G/. [c.50]

Пример 5. Квадрат на плоскости имеет ось симметрии С4, и совокупность преобразований симметрии составляет группу. Операция С4 переводит точку А в точку В, точку В — в точку В и т. д. С другой стороны, каждай точка на плоскости характеризуется двумя координатами Х1 и Хг (рис. 6). [c.71]

Симметрия К. При нек-рых геом. преобразованиях g К. способен совмещаться с самим собой, оставаясь инвариантным (неизменным). На рис. 3,а изображен К. кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом иа 120° вокруг оси 3 он м. б. совмещен сам с собой (совместимое равенство). К. N328103 (рис, 3,6) преобразуется сам в себя отражением в плоскости симметрии т (зеркальное равенство). Преобразования (операции) симметрии любого К. з,-- повороты, отражения, параллельные переносы или комбинации этих преобразований-составляют мат. группы С(дд, д,, , д,- )-Число п операций, образующих группу С, наз. порядком группы. Группы преобразований К. обозначают где т - число измерений, в к-ром объект периодичен, верх. [c.537]

В предыдущем разделе для симметризации функций мы воспользовались подгруппой Сг точечной группы Сгл. Эта подгруппа является простейшей подгруппой группы Сгл, которая обменивает местами эквивалентные базисные функции п-элек-тронной системы бутадиена. Можно сказать, что группа Сг является группой перестановочной симметрии для этих функций. Заметим, что порядок группы перестановочной симметрии равен числу обмениваемых местами эквивалентных функций. Группа локальной симметрии определяется элементами симметрии, проходящими через рассматриваемую точку. Для п-электронной системы бутадиена тождественное преобразование и плоскость симметрии проходят через каждый атом. Таким образом, каждый атом имеет локальную симметрию С . Полная группа является произведением группы локальной симметрии и группы перестановочной симметрии. В других молекулах могут существовать различные положения, имеющие неодинаковые локальные и перестановочные симметрии. В зависимости от обстоятельств каждая из этих подгрупп может быть настолько мала, как группа Сь или настолько велика, как полная точечная группа симметрии молекулы. В любом случае каждая из них должна быть подгруппой полной группы (или совпадать с ней), а произведение каждой группы локальной симметрии и соответствующей перестановочной группы должно давать полную группу. Нередко перестановочную группу не удается выбрать однозначно, как это имеет место в случае бутадиена, где перестановка базисных функций может осуществляться операциями группы Сг либо С,-. [c.281]

Таким образом, процесс упорядочения заключается в перераспределении атомов компонентов между различными подрешет-ками. Он всегда сопровождается понижением симметрии пространственной группы кристалла. В самом деле, все преобразования симметрии неупорядоченного кристалла, совмещающие друг с другом узлы, принадлежащие к различным подрешеткам, перестают быть злементами симметрии упорядоченного кристалла, так как в последнем зти узлы становятся кристаллографически неэквивалентными. Таким образом, кристаллографическая симметрия упорядоченной фазы всегда является подгруппой симметрии неупорядоченной фазы.С [c.10]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология