Теорема о предельном значении функци

Теорема о предельном значении функции [c.596]

К теореме о предельном значении придем из соотношения для произвольной функции (см. п. 6), в котором в пределе при ->0+ [c.597]

Поскольку проекция каждой частицы г — случайная величина, к системе применена центральная предельная теорема Ляпунова, и распределение среднего значения проекции % является нормальным распределением с математическим ожиданием л = 6/2 и дисперсией = 6 /12 N. При этом функция [c.239]

Расплав как макроскопическая система состоит из большого числа N/ n + 1) гомогенных микроскопических ячеек, объем которых практически равен объёму критического зародыша п. Естественно предположить, что вероятности зарождения центров кристаллизации в микроскопических ячейках одного сорта независимы между собой, малы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения гиперэкспоненциального типа (83). Вероятность возникновения центров кристаллизации во всёй системе является конечной величиной, вероятность же одновременного зарождения более чем одного центра кристаллизации за малый промежуток времени бесконечно мала. Вероятность зарождения первого центра кристаллизации в указанной выше модели определяется наименее надежной микроскопической ячейкой. При постоянном переохлаждении число ячеек до наступления кристаллизации сохраняется неизменным. В соответствии с теоремой Гнеденко—Гумбеля о предельном распределении для минимального значения группы п положительных величин функция распределения времени ожидания появления первого центра Кристаллизации асимптотически Приближенно подчиняется закону Вейбулла — Гнеденко (90) [c.36]

Предельная теорема и метод характеристических функций распространяются и на зависящие друг от друга величины tpj, f,, 93,... в том случае, если их взаимосвязь (корреляция) выражена слабо. Критерием малости корреляции может служить близость, среднего значения произведения ср сру к произведению средних значений р/-<ру. Действительно, если случайные величины, о которых идет речь, вполне независимы друг от друга, порядок действий — умножение и вычисление средних значений — роли играть не может и, следовательно, ф/-сру = 9/ Фу. Отклонение разности <ру—<р/-(ру от нулевого значения характеризует степень связи переменных. Пока tp <ру — предельная теорема и метод характеристических функций остаются практически справедливыми. [c.147]

Из (6.64) видно, что при многократной свертке функции (со) получается функция, приближающаяся к гауссовой. Это совершенно аналогично выполнению многократной свертки плотности вероятности, в результате чего получается плотность вероятности суммы совокупности одинаково распределенных независимых случайных величин. В силу центральной предельной теоремы при конечной дисперсии распределение суммы случайных величин стремится к нормальному. Таким образом, если Вр конечно, то многократная свертка (со) сходится к гауссовой функции. В качестве примера на рис. 6.14 изображен прямоугольный спектр Ор (со), нормированный таким образом, что Рц (0) = = 1, и результаты двух первых операций свертки. На рис. 6.15 показан энергетический спектр 5 (со) (при (оФ ф 0), полученный из (6.64) для различных значений х. [c.215]

Для определения ошибок в установившемся режиме (при i -> оо) подставим передаточные функции (5.82) и (5 83) в формулу (5.81) и воспользуемся теоремой операционного исч 1сления о предельном значении (см. параграф 2.3, свойство 7). В результате для статической системы (vi = Vj = О, Кч, = Кч, = 1) получим [c.157]

Выборочные оценки. Очевидно, что точное измерение какой-либо интересуюшш нас величины на практике невозможно. Результаты в отдельных опытах (значения измеряемой величины) всегда несколько отличаются друг от друга. Эти результаты можно рассматривать как случайную величяну , которая характеризуется некоторой не известной нам функцией распределения. С другой стороны, как следует из предыдущего раздела, точным значением измеряемой величины является ее математическое ожидание, и в формулу для расчета М входит функция распределения этой случайной величины. Возникает естественный вопрос об определении из опытных данных (по существу — из недостаточного количества сведений) наиболее достоверного значения измеряемой величины. Эта задача в математической статистике решается на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. [c.56]

Результаты расчета термодинамических свойств и их статистических характеристик по совокупности термических уравнений состояния, содержащей большое число уравнений, позволяют обоснованно судить о достоверности расчетных значений калорических и акустических свойств. Следует учитывать, что все оценки получены в предположении отсутствия систематических погрешностей в исходньЕх экспериментальных данных. В таком случае величину х можно рассматривать как оценку истинного значения термодинамической функции X по выборке из генеральной совокупности. С другой стороны, оценка х, рассчитываемая по формуле (3.81), является суммой достаточно большого числа N независимых случайных величин, ни одна из которых не доминирует над остальными. Поэтому на основании центральной предельной теоремы Ляпунова оценка х сама представляет собой случайную величину, подчиняющуюся закону нормального распределения, и среднюю квадратическую погрешность для [c.191]