Метод характеристических функций

Отметим, что при использовании метода характеристических функций вдвое сокращается число первичных термодинамических параметров, так как для определения любой характеристической функции используется по одному параметру от каждой степени свободы, характеризуемой двумя параметрами. Кроме того, теплоемкости теряют роль самостоятельных параметров — калорических коэффициентов. Их удается вычислить, взяв вторые производные от Р или О. Такая математическая экономность достигнута фактически за счет многократного использования теорем существования функций состояния 8, и, F, О для нахождения всех возможных взаимосвязей между термодинамическими переменными. [c.66]

Сравнивая выражения (V.235) и (V.236) с соотношением (V.117), убеждаемся в их полной идентичности. Таким образом, метод характеристических функций и метод, основанный на использовании только энтропии, приводит к совершенно одинаковым результатам. [c.174]

Поэтому из многих характеристических функций наибольшее значение в термодинамике приобрели пять — О, Н, F, G и S. Однако еще Максвелл указывал, что на опыте невозможно непосредственно определить функции F(V, Т) или G(p, Т) и извлечь из этого все указанные преимущества. Метод характеристических функций долгое время играл другую роль его использовали в теоретической термодинамике для нахождения уравнений, связывающих между собой различные термодинамические параметры, а свойства конкретных систем по-прежнему описывали с помощью уравнений состояния Др, V, Т) и теплоемкостей. Положение дел изменилось после возникновения статистической термодинамики. Методы статистической термодинамики действительно позволяют вычислять F V, Т) или G(p, Т) для систем, описываемых не слишком сложными молекулярными моделями. Поэтому в статистической термодинамике метод характеристических функций удается использовать в его наиболее полной форме — с помощью одной функции F V, Т) или G(p, Т) найти численные значения всех интересующих нас термодинамических параметров. [c.67]

Таким образом, для нелинейных операторов не разработано универсальных точных методов исследования, подобных методу характеристических функций, который исиользуется при исследовании линейных операторов. Существуют лишь частные методы исследования специальных видов нелинейных операторов. Эти методы, как правило, очень сложны и поэтому здесь рассматриваться не будут. [c.78]

Для решения системы (2.96) характеристическая функция представляется в виде обратной зависимости у( )> которая подставляется в уравнение баланса. Значение с , полученное из балансового соотношения, подставляется в дифференциальное уравнение системы (2.96), которое легко интегрируется, поскольку переменные при использовании метода характеристической функции всегда разделяются [c.115]

Метод характеристической функции имеет существенные преимущества при анализе реальных систем по сравнению с аналитическими методами, основанными, как правило, на упрощенных модельных представлениях о процессе отработки частицы материала. Однако приведенный выше анализ независимости характеристической функции от концентрации целевого компонента в растворителе не является строгим. Поэтому при экспериментальном определении функции О в этом следует убедиться, проводя опыты при различных значениях внешней концентрации. [c.119]

Метод характеристической функции д(у) эффективен в основном для процессов, лимитируемых сопротивлением, внутреннему массопереносу, поэтому сама функция зависит от степени извлечения целевого компонента. Функцию O(y) удобнее применять в случае непрерывных процессов. Кинетическая функция заключает в себе больший объем информации о процессе, содержащийся в зависимости времени полного растворения (тт) от внешних условий, тогда как характеристическая функция полагается инвариантной относительно внешних условий процесса. Если такое предположение не оправдывается, например по отношению к температуре, то вместо одной функции О (у) необходимо рассматривать семейство характеристических функций, [c.119]

При анализе реальных систем метод характеристической функции имеет преимущества по сравнению с аналитическими методами, основанными на упрощенных модельных представлениях об отработке частиц материала. Следует, однако иметь в виду, что приведенный выше анализ независимости характеристической функции от концентрации целевого компонента в экстрагенте не является строгим, поэтому при определении функции в этом необходимо убедиться, проводя эксперименты при различных значениях внешней концентрации. [c.133]

Метод характеристической функции чаще использует- [c.134]

Предельной теоремой можно пользоваться лишь при большом количестве независимых переменных (ру. Если же число их недостаточно велико, то распределение Я(Ф) перестает быть нормальным. Это более сложное распределение можно найти методом характеристических функций Ляпунова. [c.147]

С точки зрения теории вероятности, Qff — некоторая производящая функция моментов и, с другой стороны, некоторая вероятность. Так как она представляет собой, как ясно из (1.9в), свертку, описанная процедура является видоизменением метода характеристических функций или производящих функций моментов для доказательства предельных теорем (см. Математическое приложение). [c.21]

Метод характеристических функций Массье-Гиббса 213 [c.213]

Характеристические -функции используются для описания и анализа сверхтонкой структуры [17—19] широко известны теоретические расчеты формы линии, основанные на вычислении функции релаксации системы [20, 21]. Здесь мы применяем метод характеристических функций для анализа сложных неразрешенных спектров ЭПР. [c.26]

Раньше использовали преимущественно уравнения состояния, но сейчас все более широкое применение находит метод характеристических функций. [c.40]

Читатели обязательно должны освоить метод характеристических функций. Этот метод находит себе применение и при решении других термодинамических проблем, связанных с развитием, равновесием и стабильностью термодинамических систем (глава XI). [c.235]

При термодинамическом исследовании физических явлений используются два метода так называемый метод цикла и метод характеристических функций. Метод цикла заключается в том, что для отыскания необходимых зависимостей выбирают цикл, к которому применяют первый и второй законы термодинамики и с их помощью устанавливают определенные закономерности. [c.10]

Метод характеристических функций (или метод термодинамических потенциалов), разработанный Гиббсом, состоит в том, что на основании объединенного уравнения первого и второго законов термодинамики, для термодинамической системы при различных условиях вводят некоторые функции состояния, так называемые характеристические функции, дифференциалы которых обладают свойствами полных дифференциалов. При использовании этих функций или их частных производных удается получить необходимые для анализа термодинамические зависимости. [c.10]

Метод характеристических функций, или метод термодинамических потенциалов, основан на определении минимума или максимума характеристических функций. Конкретным примером использования этого метода является вывод закона действия масс (гл. 6, 2), а также уравнения изотермы Вант-Гоффа (гл. 6, 3). [c.113]

Метод характеристических функций, предложенный в свое время Гиббсом, в настоящее время представляет собой мощное орудие исследования, используемое физиками и химиками. [c.127]

Метод характеристических функций шщ>око распространен и наиболее часто употребляется в химической термодинамике и термодинамике гетерогенных систем. [c.133]

Процесс вычисления по методу характеристических функций сводится к следующему [c.147]

Предельная теорема и метод характеристических функций распространяются и на зависящие друг от друга величины tpj, f,, 93,... в том случае, если их взаимосвязь (корреляция) выражена слабо. Критерием малости корреляции может служить близость, среднего значения произведения ср сру к произведению средних значений р/-<ру. Действительно, если случайные величины, о которых идет речь, вполне независимы друг от друга, порядок действий — умножение и вычисление средних значений — роли играть не может и, следовательно, ф/-сру = 9/ Фу. Отклонение разности <ру—<р/-(ру от нулевого значения характеризует степень связи переменных. Пока tp <ру — предельная теорема и метод характеристических функций остаются практически справедливыми. [c.147]

При недостаточно большом количестве атомов распределение отражений по единичным структурным амплитудам можно найти методом характеристических функций. Однако, как правило, опыт подтверждает, что для структурных амплитуд нормальное распределение справедливо. Задача, следовательно, заключается только в нахождении параметров U и А. [c.149]

Термодинамическое исследование физических явлений основывается на использовании начал термодинамики. Само применение начал термодинамики для решения физических задач осуществляется двумя способами. В соответствии с этим различают два метода термодинамики метод циклов (круговых процессов) и метод термодинамических потенциалов (или метод характеристических функций). [c.99]

Метод термодинамических потенции юв, или метод характеристических функций, был развит Гиббсом. Исходным в этом методе является основное уравнение термодинамики [c.101]

Основной метод теоретического определения эффективных коэффициентов переноса в зернистом слое, которым мы будем пользоваться в последующих разделах этой главы, состоит в следующем. На основе выбранной модели слоя рассчитывают статистические характер истики процесса переноса трассирующего вещества в зернистом слое. В наиболее интересных случаях нельзя найти функцию распределения времени пребывания слоя или пространственного положения трассирующего вещества в явном виде. Этого, однако, и не требуется для решения поставленной задачи, так как наиболее удобной характеристикой процессов гидродинамического перемепш-вания являются статистические моменты, определяемые с помощью метода характеристических функций. Эффективные коэффициенты переноса определяются из сравнения вычисленной дисперсии распределения с дисперсией, соответствующей диффузионной модели слоя. Вычисление высших статистических моментов, характеризующих отклонение формы распределения от нормального закона, дает возможность установить пределы применимости диффузионной модели. [c.221]

Метод характеристических функций. Излагаемый здесь материал представляет собой обобщение метода, который уже был использован выше в применении к двугрупповым расчетам. Ради простоты изложения ограничимся рассмотрением системы уравнений (8.374), которая является частным случаем системы (8.371). При этом поток в каждой группе любой из зон записывается в виде линейной комбинации функций, соответствующих рассматриваемой геометрии [c.382]

На рис, 2.1 приведена рассчитанная на ЭВМ зависимость общей ширины линии ДлГр в единицах Ахг от отношения Axnl xr. Видно, что эта зависимость нелинейна. В работе [6] удалось найти аналитическую связь между Алл, Ахг и АХр, воспользовавшись методом характеристических функций. [c.46]

Метод характеристических функций был разработан с большой строгостью и изяществом в замечательных трудах Гиббса (1826—1878) и независимо от него, но менее полно и в менее общей форме несколько позже — Г е л ь м г о л ьт-цом и Планком. Эгот метод требует довольно длительных предварительных вычислений н кажется начинающим несколько сложаым, но в конечном счете он приводит к очень простым основным уравнениям, из которых разнообразные термодинамические соотношения мо1ут быть получены быстро и чегко. Его преимущества перед методом циклбв особенно убедигельно проявляются при решении сравнительно сложных термодинамических задач. Многие курсы термодинамики построены целиком на методе Гиббса в тех или других вариантах, пользуясь циклом лишь для получения основного уравнения второго начала. [c.124]

Метод характеристических функций Массье — Гиббса [c.218]

Таким образом, используя метод характеристической функции, мы сравнительно простым путем получили ранее известные (но выведенные с помош,ью более громоздких математических преобразований) результаты, касаюш иеся влияния модуляции на моменты и предельную (при б) форму линии, а также новый, весьма суш ественный для нас результат, показываюпщй, что при сравнительно небольших амплитудах модуляции вызванное ею упшрение кожно аппроксимировать гауссовой функцией [c.207]

Закон действия масс можно вывести термодинамическим путем, который не требует каких-либо представлений о механизме реакции (о соударении молекул). Воспользуемся для вывода методом характеристических функций и рассмотрим в условиях равновесия (р=сопз1, Т==сопз1) гомогенную газовую реакцию типа [c.121]

Поправки в формуле, связанные с первБш допущением, были введены А. И. Китайгородским, применившим при выводе формулы метод характеристических функций Ляпунова. Распределение P X)dX было получено Китайгородским в форме [c.286]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология