Центральная предельная теорема

Законы распределения случайных величин могут быть разными [1], однако наиболее распространен нормальный закон распределения (распределение Гаусса). Объясняется это тем, что часто случайная величина X представляет собой сумму большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин. По центральной предельной теореме такая сумма имеет нормальный закон распределения, хотя законы распределения отдельных слагаемых могут отличаться от нормального [1]. Закон распределения суммы тем ближе к нормальному, чем больше число слагаемых и чем равномернее их вклад . Нормальный закон распределения выражается формулой [c.118]

В центральной предельной теореме доказывается, что распределение случайной величины т) при больших п стремится к нормальному с параметрами а — Мт) и а = Физический смысл теоремы состоит в том, что сумма большого числа одинаковых не-зависимых случайных величин имеет приближенно нормальное распределение. [c.56]

На этапе организации эксперимента очень важна проблема достаточности выборки наблюдений. В силу асимптотического характера центральной предельной теоремы статистика требует как можно большего числа экспериментов, однако экспериментатор всегда ограничен в этом отношении — эксперимент, как правило, либо долог во времени, либо сложен в организации. Если еш,е учесть, что функция распределения ошибок может иметь самый различный вид, то ясно, что эта проблема должна решаться каждый раз особо. Слишком общая постановка если не невозможна, то, по крайней мере, не представляет реального интереса. [c.358]

В основе описанной методики дискриминационного планирования лежит допущение о нормальном распределении результатов измерений. Поэтому в качестве значений наблюдаемых переменных целесообразно применять средние из многократно воспроизведенных измерений в точках х , поскольку в силу центральной предельной теоремы при достаточно большом числе повторений арифметическое среднее имеет распределение, близкое к нормальному. [c.172]

Таким образом, для успешного решения задачи определения функции распределения времени пребывания в реакторе необходимо огрубление истинной гидродинамики процесса, позволяющее оценить суммарное влияние всех многообразных действующих факторов на перемешивание потока. Здесь приходит на помощь основное свойство распределений случайных величин, выражаемое центральной предельной теоремой теории вероятности. Согласно этой теореме, распределение случайной величины, подверженной влиянию многочисленных слабых факторов, должно быть близко к нормальному закону. Установления распределения, близкого к нормальному, следует ожидать в достаточно протяженных системах, где элемент [c.207]

Этот факт непосредственно следует из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Однако дисперсия предельного закона, а также число ячеек, на котором происходит приближение к нормальному распределению, существенно зависят от свойств микрораспределения. Из определения коэффициента асимметрии следует, что 8к( > < 1 нри N (где 1/ 5 = 8k ). Очевидно, [c.224]

При расчете показателей надежности ХТС постепенные отказы можно учесть, если известен закон распределения времени безотказной работы элементов, связанных с постепенным изменением параметров [10, 72, 101]. Это достаточно хорошо описывается нормальным законом распределения, так как соблюдаются условия центральной предельной теоремы (влияние множества случайных факторов) и отсутствует преобладающий фактор. [c.192]

Это допущение можно рассматривать как аналог условия Ляпунова в центральной предельной теореме, и по смыслу оно означает, что за малые промежутки времени более вероятны малые отклонения, чем большие. Экспериментальное исследование спектра фронта гидродинамического возмущения, предпринятое в ряде работ [10—12], показывает, что плотность функции распределения по скоростям частиц дисперсной среды быстро убывает по мере удаления от центра распределения. Последнее подтверждает принятое допущение. [c.353]

Понятие о законе больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова. [c.153]

Математик. Это так называемая центральная предельная теорема теории вероятностей. Она выполняется, если суммируемые случайные величины независимы, обладают конечными математическими ожиданиями и примерно одинаковыми дисперсиями. [c.23]

Математик. Совершенно верно Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, число суммируемых независимых случайных величин стремится к бесконечности.. [c.26]

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА [c.33]

В табл. 3.2 приведены сводные результаты предварительной обработки статистической информации по группе технологических установок НПП. Распределения рассматриваемых случайных величин подчиняются нормальному закону (по отдельным продуктам это иллюстрируется данными, приведенными в приложении). Объективно это связано с тем, что рассматриваемые параметры отражают множество независимых случайных факторов — в этом случае в соответствии с центральной предельной теоремой закон распределения сколь угодно близок к нормальному. Необходимо отметить, что с учетом фактической точности исходной статистической информации, на основе которой определяются законы распределения в технико-экономических расчетах, и ограничений, налагаемых на условия функционирования производственно-экономических объектов, может осуществляться и приближенная замена одних законов распределения другими. [c.96]

Упражнение. Покажите, что результат (1.7.7) в действительности совпадает с полученным из центральной предельной теоремы. [c.36]

Реальное распределение свойств металла в пределах переходной области испытывает влияние множества факторов, в том числе случайных и потому не поддающихся детерминированному учету. Статистическое распределение физико-механических свойств (а следовательно, и величины начального локального электродного потенциала) металла в переходной области может подчиняться различным законам распределения, которые, однако, в пределе при достаточно большом числе случайных факторов весьма быстро приближаются к нормальному закону распределения, как это установлено центральной предельной теоремой Ляпунова. [c.217]

Центральная предельная теорема 3 3 Глава 2. Случайные события 37 [c.1]

Центральная предельная теорема утверждает, что если даже Рх х) не гауссовы, а какие-либо другие распределения с нулевыми средними и конечными дисперсиями а , уравнение (1.7.1) остается справедливым в пределе г оо. На этом замечательном факте основана определяющая роль распределения Гаусса во всех областях статистики. [c.34]

Различные наборы строгих математических условий, ори которых справедлива центральная предельная теорема, можно найти в учебниках. Однако тому, кто занимается физикой, важнее качественно понимать область ее применимости, с этой целью мы добавим несколько замечаний. [c.36]

Графики зависимости (х) от х для у= 1, 2, 3 и 10 приведены на рис 3 9 Для у=1 плотность вероятности имеет бесконечную ординату при х = 0 VI стремится к нулю, когда х стремится к бесконечности. Для у = 2 плотность вероятности является экспонентой, а для V 3 плотность вероятности принимает унимодальную форму Заметим, однако, что для малых V распределение очень несимметрично По мере того как V возрастает, плотность вероятности начинает выглядеть все более и более похожей на нормальную, как это и предсказывается центральной предельной теоремой Первые два момента случайной величины полученные из [c.104]

Графики верхней и нижней границ v/xv(l—а/2) и г/л (а/2) приведены иа рис 3 10 для с =0,01, 0,05 и 0,2 и для 3 V 100. Отметим, что верхняя и нижняя границы в (3 3 10) очень чувствительны к справедливости предположения о нормальности [3], в отличие от вероятностных границ среднего значения, которые можно построить, исходя из нормального закона, в силу центральной предельной теоремы [c.106]

Равенства (6.3 10) показывают, что по крайней мере для гармонических частот дисперсия этой оценки равна константе, независящей от объема выборки Это объясняет тот факт, что выборочные оценки дисперсии случайной величины zz(fk) не уменьшаются с увеличением объема выборки, как видно из табл 6 1 Важно отметить, что даже для негауссовского процесса Zi случайные величины A(f) и B(f) будут приближенно гауссовскими в силу центральной предельной теоремы Поэтому величина zz(f) будет иметь распределение, близкое к -распределению с двумя степенями свободы, независимо от того, какое распределение у процесса Zi [c.282]

Обратите внимание, что все приведенные выше соотношения получены в предположении, что данные распределены по нормальному закону, а величина а известна. На практике так бывает крайне редко. В типичном случае ни точная форма закона распределения, ни стандартное отклонение неизвестны. Тогда, если объем выборки велик (как правило, достаточно п > 30), то, в соответствии с центральной предельной теоремой, величина X распределена приблизительно как М ц,(т /п), и [c.431]

Заканчивая обсуждение микроструктуры аэрозоля, можно отметить, что причина, по которой нормально-логарифмические распределения более адекватно, чем степенной закон Юнге, описывают спектр размеров частиц аэрозоля, возможно, кроется в свойстве центральной предельной теоремы. Из этой теоремы следует, что если статистическая переменная есть результат процесса, в котором выход пропорционален уже достигнутой величине переменной, то ее статистическое распределение должно быть нормально-логарифмическим. Поскольку процессы, определяюш.ие выживание аэрозольной частицы в воздухе, действительно являются функцией приобретенного ею размера, то нормально-логарифмическое распределение является, по-видимому, естественным свойством этой системы. По этой же причине реальную кривую распределения счетной концентрации любой сложности можно аппроксимировать суперпозицией нескольких логарифмически-нор-мальных распределений в соответствии с числом независимых кооперирующих источников [301]. [c.32]

Поскольку проекция каждой частицы г — случайная величина, к системе применена центральная предельная теорема Ляпунова, и распределение среднего значения проекции % является нормальным распределением с математическим ожиданием л = 6/2 и дисперсией = 6 /12 N. При этом функция [c.239]

Первоначально предложенное мною выражение возникло чисто эвристически просто из характерного вида повернутых экспериментальных кривых. Это уравнение изотермы сорбции некоторые теперь считают эмпирическим, тогда как другие говорят о теории объемного заполнения микропор . Я не знаю такой теории и считаю, что она еще не создана, хотя п имеются отдельные теоретические попытки, которые еще нельзя признать теорией в строгом смысле слова. Возможно, что найденное уравнение изотермы действительно следует считать эмпирическим и что гауссову форму здесь надо рассматривать как счастливую находку. Не исключено, что она оправдывается в результате действия центральной предельной теоремы теории вероятности благодаря чрезвычайно сложной структуре системы. Однако теоретические попытки следует продолжать, хотя трудность, связанная с неопределенностью структуры микропористых сорбентов, ограничивает возможности. В этом отношении всякие отступления от предложенной изотермы имеют огромное значение для развития теории. [c.407]

Существует ряд методов, которые отличаются способом выбора дискриминирующих точек. Большинство этих методов опирается на явный вид функции распределения для наблюдаемой величины у. В данной главе рассмотрены только процессы с одной независимой наблюдаемой переменной. В силу центральной предельной теоремы, как правило, принимают, что наблюдаемые величины имеют нормальное распределение с плотностью вероятности следующего вида [c.218]

Это оправдано одним из основных положений теории вероятности — центральной предельной теоремой, утверждающей, что закон распределения суммы большого числа независимых случайных величин близок к нормальному, по какому бы закону [c.417]

Закон нормального распределения. Центральная предельная теорема. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется нормальным, если ее дифференциальная функция /(ж) определяется формулой [c.285]

Для описания распределения экспериментальных данных чаще всего используют именно нормальное распределение. Опыт показывает, что для большинства физико-химических величин оно может служить достаточно хорошим приближением. Из центральной предельной теоремы теории вероятностей следует, что во многих случаях величины, рассчитываемые из большой выборки результатов прямых экспериментальных наблюдений, хорошо подчиняются 1юрмальному закону независимо от характера распределения исходных данных. Чем больше объем выборки, тем ближе распределение производных от нее величин к нормальному. В частности, даже в тех случаях, когда распределение исходных данных отличается от нормального, выборочное распределение среднего из п результатов с ростом п стремится к нормальному, имеющему среднее 1 и дисперсию с /п. Распределение суммы 5 = Хг + Х2 +. .. + Х большого числа независимых случайных величин, где каждое слагаемое Х, [c.424]

Если XI, х-1,. . — ряд независимых переменных, каждое из которых распределено произвольным образом, но с общим центром, то при большом числе переменных величина z = Х2 г +-г,1 будет распределена вокруг того же центра (распределение приближается к гауссовскому). Это свойство было доказано и носит название центральной предельной теоремы [3, 7]. Практически даже три или четыре переменных, быстро комбинируясь, будут давать распределение Гаусса. В результате практически большинств1 симметричных распределений не отличимы от гауссовского. [c.124]

Выборочные оценки. Очевидно, что точное измерение какой-либо интересуюшш нас величины на практике невозможно. Результаты в отдельных опытах (значения измеряемой величины) всегда несколько отличаются друг от друга. Эти результаты можно рассматривать как случайную величяну , которая характеризуется некоторой не известной нам функцией распределения. С другой стороны, как следует из предыдущего раздела, точным значением измеряемой величины является ее математическое ожидание, и в формулу для расчета М входит функция распределения этой случайной величины. Возникает естественный вопрос об определении из опытных данных (по существу — из недостаточного количества сведений) наиболее достоверного значения измеряемой величины. Эта задача в математической статистике решается на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. [c.56]

Одним из способов улучшения отношения сигнал/шум, позволяющим обойти естественные ограничения спектрометра, является накопление и усреднение сигналов. Мы воспользуемся тем, что можем записать один и тот же спектр несколько раз. Сигналы ЯМР каждый раз появляются на одном и том же месте, и, таким образом, их интенсивность растет пропорционально чнслу повторений. При этом судьба случайно возникающего шума немного сложнее он не усредняется , как это часто ошибочно полагают, но растет медленнее, чем сигнал. Фактически через п повторений амплитуда сигнала увеличивается ровно в п раз, а амплитуда шума при этом увеличивается примерно в у/п раз. Таким образом, отношение сигнал/шум улучшается как Доказательство того, что шум растет как квадратный корень из числа экспериментов, нетривиально, и если этот вопрос вас интересует, то обратитесь к центральной предельной теореме в учебниках по статистике. [c.25]

Плотность вероятносч и случайной величины Tv называется t-распределением Стьюдента с v степенями свободы и, подобно нормальной плотности, она симметрична относительно начала координат. Влияние замены а в (3 3.11) на S, как это сделано в (3 3 12), выражается в том, что изменчивость случайной величины Т возра-сгает, и, следовательно, -распределение Стьюдента более размыто, чем нормальное распределение Однако, по мере того как v увеличивается, распределение S все более и более концентрируется около а, и поэтому pa пpeдeлeниe стремится к стандартному нормальному распределению (3 2 8), как это вновь следует из центральной предельной теоремы [c.108]

Поскольку данное уравнение не интефируется в элементарных функциях из-за необходимости вычислять на каждом шаге интеграл ошибок, то в вычислительном алгоритме приходится хфибегать либо к итерационным методам, либо к использованию табличных данных. И то, и другое приводит к увеличению времени вычислений и к накоплению ошибки округления, которая из-за очень большого числа шагов может привести к значительной погрешности. Поэтому в практике используются упрощенные зависимости для генерации псевдослучайных смещений частицы. Возможность использовать данные упрощенные зависимости базируется на центральной предельной теореме теории вероятности [17]. В [14, 18, 19] при моделировании движения газовых пузырей в барботажной колонне предлагаются следующие зависимости [c.164]

Для определения параметров и выбора оптимальных условий проведения испытаний необходимо знание законов распределения моментов оконнания последовательной процедуры. Поэтому уже в основополагающей монографии А. Вальда [1] этому вопросу уделено необходимое внимание. Сформулированный там закон распределения для планов с несимметричными порогами, получивший наименование закона Вальда [1], основан на использовании центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечную дисперсию, при количестве наблюдений, стремящемся к бесконечности. Положительной стороной указанного закона Вальда является его универсальность, так как для значения вероятности Р у < уд) числа испытаний 2/, не превышающих некоторую заданную величину Уд, сохраняется одинаковое выражение [c.116]

Общая схема метода Монте-Карло. Пусть и — какая-то неизвестная величина, которую необходимо вычислить. Попытаемся найти такую случайную величину g, чтобы математическое ожидание М[ 1 = U и дисперсия Z)[ ] = Ь . Для этого рассмотрим N случайных величин 1, 3,. . ., gjvi распределения которых совпадают с распределением Ес.ии N достаточно велико, то, согласно центральной предельной теореме вероятностей, распределение суммы [c.242]

Формула (б) справедлива, как упоминалось, при условии нормальности распределений опытных данных. Однако не ксишчены случаи, когда условия центральной предельной теоремы Ляпунова могут не выполняться. Так, например, по данным Клэнси, приводимым Налимовым в своей монографии [э]f среди изученных 250 распределений только в 10-15% случаев имело место нормальное распределение, а в остальных случаях наблюдались весьма существенные отклонения. Нужно отметить, что если лсследователь работает с неоднородным материалом, обуславливающим доминирующее влияние некоторых случайных величин, не подчиняющихся распределению Гаусса, то экспе риментальше результаты не будут иметь нормального распределения [ 9,[. [c.437]

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, в измерениях и т. п. В частности, оказывается, что закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, близок к нормальному распределению. Этот факт, называемый центральной предельной теоремой, был доказан выдаюш,имся русским математиком А. М. Ляпуновым [c.288]

Распределение случайных ошибок измерения. Пусть производится измерение некоторой величины. Разность х — а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого количества факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникаюш,ие при округлении, и т. п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически действуюш,их факторов (например, неисправности приборов, завышаюш,их при каждом измерении показания приборов), приводяш,их к систематическим ошибкам, то МО случайных ошибок равно нулю. [c.288]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология