Геометрия Лобачевского

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идет об интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа. [c.3]

Концепция Клейна рассматривать различные геометрии как теории инвариантов соответствующих групп дала возможность вскрыть глубокие связи между различными геометриями проективной, аффинной, евклидовой и геометрией Лобачевского, которые были построены и изучены к восьмидесятым годам XIX века. Подробное изложение этих вопросов читатель может найти в книге Н. В. Ефимова Высшая геометрия . [c.71]

Система аксиом, лежащая в основе геометрии Лобачевского, получается из системы аксиом евклидовой геометрии заменой аксиомы параллельности новой аксиомой, которая представляет собой предложение, противоположное [c.75]

Ниже мы укажем одну из интерпретаций геометрии Лобачевского, предложенную французским математиком А. Пуанкаре. [c.76]

Поэтому геометрию Лобачевского можно определить как теорию инвариантов группы преобразований Я верх ней полуплоскости [c.78]

В заключение мы предлагаем читателю в качестве весьма полезной задачи сформулировать предмет геометрии Лобачевского с помощью дробно-линейных функций комплексного переменного так же, как это было сделано в 15 для геометрии Евклида с помощью линейных функций комплексного переменного. [c.78]

Окончив в 1887 г. с золотой медалью гимназию, Вениамин Федорович становится студентом физико-математи-ческого факультета Новороссийского университета (в г. Одессе) и на втором курсе по собственной инициативе начинает заниматься геометрией Лобачевского — мало тогда известной и даже еще недостаточно признанной. Настойчивое и углубленное изучение подлинных сочинений великого геометра обогатило молодого студента широким кругом новых идей, повлекших за собой революцию в науке. Оно заложило основы того глубокого проникновения в дух геометрии Лобачевского, которым отличаются многочисленные исследования Вениамина Федоровича в этой области с этих вопросов он начал свою научную работу, им отдал лучшие годы своей научной деятельности, о них он размышлял в последние дни своей жизни. [c.8]

Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии входе ее исторического развития. Ч. 1. Геометрия Лобачевского и ее предыстория. М.—Л., Гостехиздат, 1949, 492 стр. [c.19]

Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития, ч. 2. Интерпретации геометрии Лобачевского и развитие ее идей. М., Гостехиздат, 1956, 344. [c.20]

Серия Геометрия Лобачевского и развитие ее идей . Вып. I— VII Под общей редакцией В. Ф. Кагана, М.—Л., Гостехиздат, 1950—1952. [c.21]

Грубо характеризуя идеи Лобачевского и Римана, можно опираться на то, что в геометрии Эвклида сумма углов треугольника равна 180°, в геометрии Лобачевского она больше 180 , а в геометрии Римана она меньше 180" . [c.157]

К трем ветвям таких геометрий — к геометриям Эвклида, Лобачевского, Римана могут приближаться все геометрические проявления окружающей нас природы. В каждой ветви теоретически может быть бесчисленное или почти бесчисленное множество геометрий. Две ветви — геометрия Эвклида и геометрия Лобачевского пространственно не ограничены. В геометрии Римана есть ее проявления, которые всегда ограничены. [c.182]

Заметим, что Кант считал евклидову геометрию единственно возможной и потому выводимой чисто логическим путем без обращения к эксперименту. Для него евклидова геометрия была примером априорного знания, то есть знания, не нуждающегося в экспериментальном подтверждении своих положений. Само по себе появление новой геометрии не опровергает теорию Канта, хотя и подрывает веру в нее. Для окончательного опровержения требуется доказательство того, что геометрия Лобачевского-Болиаи непротиворечива. [c.93]

Доказать непротиворечивость какой-либо теории представляется на первый взгляд очень трудной, почти невыполнимой задачей. В самом деле, как проследить все мыслимые следствия из аксиом данной теории и убедиться, что никакие два из них не противоречат друг другу К счастью, имеется простой общий метод, который упрощает эту задачу и часто приводит к цели. Вспомним, что противоречивая система аксиом не имеет ни одного реального или мыслимого объекта, который бы ей удовлетворял. Поэтому теория непротиворечива, если удалось найти хотя бы один подобный объект. Именно таким образом в 1860 г. итальянский математик Эженио Бельтрами (1835-1899) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского-Болиаи. Он открыл поверхность, на которой действительно выполняются все аксиомы этой геометрии. Существование такой поверхности и ее свойства вытекают из аксиом геометрии Евклида [c.93]

В этом нет парадокса, поскольку из геометрии Евклида вытекает не истинность геометрии Лобачевского-Болиаи, а только ее непротиворечивость. Поясним, что непротиворечивость является свойством системы аксиом. Непротиворечивыми могут быть одновременно обе системы геометрии. Истинность той или иной геометрической системы аксиом — свойство окружающего нас физического пространства. Поэтому невозможно, чтобы обе системы были истинными, они не могут обе правильно описывать физическое пространство. Работа Бельтрами принесла новой геометрии признание математического сообщества. Все согласились с тем, что геометрия Евклида не единственно мыслимая и не обязательно именно она правильно описывает свойства физического пространства. [c.94]

Собственно говоря, таким же путем шел и Менделеев, хотя воображаемое распределение карточек с элементами и не могло выступать перед ним столь ясно и определенно, как перед раскладывающим карточный пасьянс. Тем не менее, поскольку выяснились уже условия, так сказать, химического пасьянса (группировка элементов по сходству в строчки и по близости атомных весов в столбцы), постольку мысленно могла сложиться и общая картина будущей системы элементов еще до ее полного завершения. А это показывает, что именно творческое воображение должно было играть и безусловно сыграло у Менделеева весьма существенную роль на решающем этапе открытия периодического закона. В связи с этим интересно рассмотреть, как иногда оценивается роль фантазии в научном творчестве. В статье на эту тему Ф. Ю. Левинсон-Лессинг писал, трактуя фантазию как интуицию в смысле бессознательной работы сознртельного интеллекта Атомистическая теория строения вещества, представление о молекулах, кинетическая теория газов, периодическая система химических элементов, закон симметрии в кристаллографии, закон сохранения материи, закон сохранения энергии, неэвклидовы геометрии Лобачевского, Софуса Ли и других, представление об электронах — разве это не яркие проявления интуитивного творчества научной фантазии Эти продукты научной фантазии, правда, вырастали на почве того или иного конкретного материала но они по своему размаху значительно выходили за пределы фактов, давших фантазии толчок в сторону той или иной идеи, и лишь позднее разрабатывались и облекались в форму стройной теории. Особенно замечательно проявление творчества научной фантазии там, где рожденная фантазией идея связана с геометрическими представлениями. Химикам хорошо известно, какой толчок к развитию получила органическая химия от представления о строении бензольного ядра, от родившихся в химической [c.136]

Математическая предпосылка общей теории относительности — неэвклидова геометрия геометрические системы (см. ниже), в которых аксиома параллельных линий отлична от принятой в обычной геометрии. Неэвклндову геометрию впервые создал (1823—1830 гг.) гениальный русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) в последующие годы немецкий математик Б. Риман (1826— 1866) предложил (первое сообщение в 1854 г.) новую неэвклндову геометрию, получившую название геометрии Римана, или эллиптической, в отличие от геометрии Лобачевского, илн гиперболической. [c.532]

Н. В. Ефимова Высшая геометрия . Подробное изложение геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре можно найти в книге А. С. Смогоржевского О геометрии Лобачевского (серия Популярные лекции по математике , выпуск 23). [c.78]

Развитие интерпретаций неевклидовой геометрии. Вводные соображения и первое развитие интерпретаций геометрии Лобачевского (Вступительная статья к циклу работ по интерпретациям неевклидовой геометрии Д. П. Полозкова, [c.20]

Введение. Наиболее важные свойства римановых пространств постоянной кривизны были хорошо изучены еще в прошлом веке благодаря усилиям таких математиков, как Лобачевский, Гаусс, Больаи, Риман, Бельтрами, Пуанкаре, Клейн, Киллинг и других. При этом, если сначала геометрия Лобачевского и эллиптическая геометрия (геометрия Римана) изучались главным образом как неевклидовы геометрии, то затем обнаружилось, что эти геометрии вместе с евклидовой имеют, в сущности, больше общих свойств, чем различий. Как выяснилось, пространства Евклида, Лобачевского п Римана составляют один из наиболее важных и замечательных классов римановых пространств, выделяясь из них наличием постоянной кривизны, соответственно К=0, К <0 и К>0. [c.163]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология