Условие Липшица

Прежде всего, отметим, что функции F , Gj удовлетворяют так называемым условиям Липшица , которые мы представим в следующей форме [c.265]

Полученная таким образом замкнутая система дифференциальных, интегральных и алгебраических уравнений при соответствующих начальных условиях и составляет полную математическую модель ДЖР. Подобная система уравнений, как правило, не имеет аналитического решения п должна решаться численными методами. В случае противоточного реактора начальные условия задаются на обоих концах реактора и поэтому речь идет о решении краевой задачи. Эта задача всегда имеет решение [6], так как выполняется условие Липшица [7]. [c.118]

Чтобы применить дифференциальное исчисление к решению задачи, необходимо ввести несколько ограничений. Функции f, fi, Gi должны быть дважды непрерывно дифференцируемы и должны удовлетворять условиям Липшица. При заданных векторах входа, проектных переменных и неопределенных параметров выходной вектор определяется единственным образом. [c.216]

В случае прямой кинетической задачи вектор f всегда удовлетворяет условию Липшица по всем п компонентам вектора у, поэтому можно доказать, что решение задачи Коши существует и оно единственно [188]. [c.130]

В общем случае нахождение аналитических решений уравнений кинетики сложных реакций вызывает значительные трудности, особенно при дробных порядках. Правые части уравнений (1.8) непрерывны вместе с первыми частными производными и удовлетворяют условиям Липшица, поэтому решение системы (1.8) суще-ствует единственно и устойчиво для любого набора начальных концентраций Сг(0). [c.17]

Утверждение (а) теоремы 7.6 можно уточнить. Если число Л, использованное в (7.7) для определения метрики на il, совпадает с Л из условия (SS2) для Г2, то отображение тг удовлетворяет условию Липшица, т. е. существует такое С > О, что [c.161]

Легко видеть, что для любых функций и Х таких, что Х п Х g С" [О, Г], выполняется неравенство ( —/СХ, < а гЦ Xi— Х2Ц, где а — вещественная константа, не зависящая от ц. (Это вытекает из того, что функции F, G и 11 , удовлетворяют условиям Липшица.) Норма здесь определяется, как обычно Ц X (i) = max дг (О U 6 Ю- Т 1 ( = U п). [c.144]

X (0) на Хм (0)(М= N. М = Л/ + 1) и равенства (284), а также из того, что функции Р (/, (X, X), О и т])/ удовлетворяют условиям Липшица. Подставим в (285) вместо NN + 1 и отнимем из получившегося тождества тождество (285). К полученному выражению применим формулу конечных приращений Лагранжа [c.151]

Это неравенство непосредственно вытекает из вида оператора /Сг и из того, что функции S ( , fx, I/, X) и G U, X) удовлетворяют условиям Липшица. (Поэтому оператор К2 также удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица, равной L). [c.162]

Если V (X, 1) удовлетворяет в Q условию Липшица по X и Р (X, t) непрерывна в й по совокупности своих аргументов, то, как показано в [19], V (X, ) имеет производную в силу системы и [c.173]

Теорема . Пусть 1. Правые части системы дифференциальных уравнений заданы при I [О, Т], У ( " — эвклидово л-мерное пространство) — вещественные и непрерывные функции и пусть функция Р 1, У) удовлетворяет условию Липшица по всем своим аргументам кроме первого. Функции Ву I) и Бу ( ) вещест венны и суммируемы при [О, Г]. [c.184]

E — эвклидово п-мерное пространство),— вещественные непрерывные вектор-функции, удовлетворяющие условиям Липшица ф/ — по всем своим аргументам, а W и — по всем аргументам кроме двух первых. [c.186]

Теорема 3. Пусть функция S t, ц, и, X), заданная при t [О, Т), и Е , X Е ( " — эвклидово п-мерное пространство), удовлетворяет, кроме оговоренных выше условий, и условиям Липшица по всем своим переменным, кроме двух первых. [c.192]

Замечание 2. Функции % и G , заданные при t [О, Г], и Е , X удовлетворяют также условиям Липшица -ф,- по всем переменным, а G по всем, кроме двух последних. [c.192]

Очевидно, что /щ(0 являются непрерывными вектор-функциями, заданными на [О, Т, причем при [г <С (I ( х) они все ограничены и лежат в шаре радиуса г , т. е. II С/т (О II <С х- Выше мы показали, что Um.it) определяется однозначно. Покажем, что существует Цо такое, что при р < ро РЯД Но + ((/1 — и о) - — сходится равномерно на промежутке [О, Т (цо берем таким, что Ро <С Р ( г))-Так как функции 5 (1, р, и). О,- ([/), ф/ (и) удовлетворяют условиям Липшица, то оператор К (и, 1, <) тоже удовлетворяет условию Липшица. Сходимость этого ряда следует из неравенства [c.193]

Функции и Wj удовлетворяют условиям Липшица -ф,-по всем своим переменным, Wj и G —по всем, кроме двух первых. Пусть далее функции Wj непрерывны и вещественны. [c.200]

Итак, два последних результата устанавливают сверхлинейную скорость сходимости метода Давидона — Флетчера — Пауэлла к локальному минимуму, если а,- в (76) определяется точной линейной минимизацией и хс сходится к X при условии (61). Например, пусть минимизируемая функция / "- 1 равномерно выпукла и дважды непрерывно дифференцируема в Е", причем выполнено условие Липшица с р = 1 [c.283]

Теорема 1 допускает различные обобщения. Одно из них заключается в отказе от требования непрерывной дифференцируемости решения. Ее утверждение остается справедливым и для решений, в которых функции U, р, р предполагаются лишь удовлетворяющи.ми условию Липшица. Это дает возможность использовать теорему единственности применительно к движениям со слабыми разрыва.ми. [c.137]

Это определение равносильно тому, что в каждой точке вектор скорости и = (и, у) направлен по касательной к линии тока, проходящей через эту точку. В симметричной записи (4) не предопределяется, какая из переменных, X или у, является независимой, а какая — зависимой. Область течения, в которой вектор скорости удовлетворяет условию Липшица по обеим переменным и -ь г О, однократно покрыта семейством линий тока. Их изображение на плоскости Л (ж, у) дает наглядное представление [c.219]

Теперь рассмотрим некоторые определения и теоремы, характеризующие топологический ход траектории Х () в /-мерном пространстве состояний Хи Хг,.... .., [93,224]. Будем предполагать, что рассматриваемое дифференциальное уравнение (3.1) удовлетворяет условию Липшица, гарантирующему однозначность решений. Однозначность означает, что через каждую точку Хко, /о проходит одна и только одна интегральная кривая. Для обыкновенных точек [c.45]

Пусть g E -< — отображение, дифференцируемое в откритом, выпуклом множестве D, содержащем точку х, для которой g ( ) симметрична и положительно определена, и выполнено условия Липшица [c.279]

Требование (VIII. 13) выполняется для любых и, х% если функция F x) определена для всех значений х и удовлетворяет условию Липшица с константой а<1. Выражение VIII. 13) как раз и представляет собой это условие. Оно будет заведомо выпол- [c.190]

Поскольку тг удовлетворяет условию Липшица, для любой функции А е 4° (fi), т.е. любой гельдеровской функции с показателем а на пространстве Г2 выполняется включение А о тг G , где в = [c.161]

Вопросы сходимости рассмотренного метода частично затронуты в [3]. Можно показать, что стационарная точка алгоритма, определяемая соотношениями (12)-(17), удовлетворяет необходимым условиям экстремума для задачи (2)-(4), Кроме того, показывается, что соответствующигл выбором параглетров е , э , 0 можно обеспечить ее устойчивость. Для этого достаточно, например, потребовать, чтобы задача (12) при любых фиксированных а , и была задачей выпуклого прогршлмирования, а функции ь ), р (х ,ь ), у (х ,Ъ ), определенные задачей (17), удовлетворяли условию Липшица. [c.105]

Если векторное поле u задано в некоторой области ii с Д , непрерывно в П и удовлетворяет условию Липшица по х, то область Q однократно покрыта семейством интегральных кривых уравнения (1). Эти кривые являются, таким образом, мировыми линиями частиц газа в пространстве событий / (х, f). Их проекции на пространство / (х) называются тра ектория-ми частиц. Следует иметь в виду, что термин траектории часто употребляется и для самих мировых линий частиц, что обычно не приводит к недоразумениям. [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология