Аналитическое решение

Предложенный читателям атлас составлен на основе тщательного изучения (промысловых и лабораторных экспериментов, графо-аналитических решений и исследований) термодинамического состояния различных пластовых нефтегазовых систем в реальных условиях (на месторождении Песчаный-море) и состоит из шести частей. [c.114]

Все проблемы, рассмотренные в этой главе, сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы уже замечали, что в некоторых случаях аналитическое решение невозможно, н решать задачу приходится численными методами. Существуют стандартные программы решения уравнений такого типа на вычислительных машинах. Тем не менее, знакомство с численными методами интегрирования уравнений полезно химику-технологу по двум важным причинам. Во-первых, вопреки распространенному мнению, вычислительная машина не умеет думать , и потому небезопасно давать ей задание, не имея понятия о том, как она его будет выполнять. Во-вторых, иногда возможно и даже желательно проводить вычисления вручную. Метод, который мы сейчас рассмотрим, применим к решению любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения, описывающие неизотермические процессы. Проиллюстрируем этот метод на примере одного уравнения и системы двух уравнений. [c.114]

Аналитическое решение уравнения (IX.104) возможно только в случае изотермической реакции первого порядка. На рис. IX.25 показаны решения этого уравнения при фиксированном М и различных Рд. Здесь виден постепенный переход от режима идеального [c.298]

Аналитическое решение задачи расчета противоточного реактора с внутренним теплообменом (использующее ту же аппроксимацию температурной зависимости константы скорости реакции) дано в работах [c.303]

Аналитическое решение этой задачи отсутствует за исключением случаев, когда п = О или и = 1. [c.54]

Допущение об однородном составе жидкой фазы, очевидно, полностью несостоятельно, когда рассматривается режим мгновенной реакции. Из этого следует, что, если учесть обратимость реак ции и рассматривать равновесное значе ние с, как функцию положения и времени, то задача становится настолько сложной, что не поддается аналитическому решению. Практически реакции, которые можно рассматривать как мгновенные, часто являются необратимыми, поэтому выводы в следующих разделах можно рассматривать как общие. Следует напомнить, что очень быстрые реакции не обязательно должны быть необратимыми в разделе 14.2 будет рассмотрен вопрос о мгновенной обратимой реакции. [c.59]

Аналитическое решение проблемы в рамках пенетрационной теории довольно громоздко, но принципиально оно просто дубли- [c.114]

Аналитическое решение При пренебрежении инерционным [c.25]

Математический анализ двухмерного потока много легче и проще, чем трехмерного. В связи с этим для обтекания совокупности цилиндров — в отличие от совокупности шаров — получено несколько аналитических решений [21]. Иногда последние довольно хорошо описывают результаты экспериментов при продувании волокнистых материалов. [c.33]

Зная коэффициент диффузии D, можно отсюда рассчитать распределения концентраций и интенсивность Процессов перемешивания в аппарате. С другой стороны, величину D можно определить и выявить влияние на нее режимных параметров, сопоставляя полученные аналитические решения при разных значениях D с распределением концентрации, измеренным в спе- [c.84]

Имеются аналитические решения для концентрации в потоке, текущем через трубу с зернистым слоем, при подаче вещества на вход в виде импульса [116], ступенчато [127] и в виде синусоидального возмущения [45]. [c.170]

Для аналитического расчета числа тарелок в секциях рассматриваемой колонны необходимо найти координаты точек пересечения прямых концентраций с кривой равновесия. Эта задача может быть решена и графически, путем экстраполяции кривой равновесия и оперативных линий за пределы квадрата концентраций, но аналитическое решение по уравнениям (III.95) и (III.114) оказывается более простым. [c.205]

Более наглядным, чем аналитическое решение, является графическое изображение решения, представленное на фиг. 76. В нем показана зависимость годовых расходов V от скорости охлаждающей воды с. Изображенные кривые характеризуют показатели, получен-174 [c.174]

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений удается получить лишь в ограниченном числе простейших очень сильно идеализированных случаев, например в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте бесконечной протяженности с постоянным дебитом. [c.37]

В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с применением ЭВМ. Достаточно хорошо разработаны численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидромеханики. При этом упомянутые аналитические решения играют очень важную роль на них опробуются численные методы. [c.37]

Такая задача сводится к решению трехмерного уравнения Лапласа для давления (см. 1 этой главы) с соответствующими краевыми условиями и не имеет простого аналитического решения. Для получения простой расчетной формулы для дебита может быть использован следующий приближенный прием. Будем моделировать горизонтальную скважину в горизонтальном (А-А) и вертикальном (В В) сечениях, соответственно а) линейным стоком длины 21 с постоянной плотностью Я = й/(21) (б-общий объемный расход жидкости в стоке) или б) точечным стоком радиуса г , расположенным посередине между двумя плоскостями. [c.127]

Уравнения (5.20) и (5.27), выведенные при использовании двучленного закона фильтрации, довольно сложны и даже приближенное аналитическое решение этих уравнений представляется проблематичным. В то же время, решение этих уравнений с использованием ЭВМ достаточно просто. [c.139]

Все приближенные решения и методы их получения можно разделить на два основных класса аналитические и численные. Приближенные аналитические решения, так же как и точные, получаются в форме определенных функциональных зависимостей входных и выходных величин. Полученные аналитические выражения представляют большую ценность как удобный инструмент для анализа математической модели и изучаемого объекта. Однако при практическом использовании аналитического решения необходимо выполнять определенный объем нередко чрезвычайно трудоемких вычислительных процедур. Численные методы, в отличие от аналитических, с самого начала ориентированы только на получение численных значений искомых величин для конкретных значений входных данных без установления вида их функциональных зависимостей. [c.380]

Так как уравнение (6.6) или (6.8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны. Некоторые из них уже были рассмотрены применительно к задачам упругого режима (метод последовательной смены стационарных состояний, метод интегральных соотношений, метод усреднения). [c.183]

Аналитическое решение уравнения (6.14) наталкивается на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений. [c.185]

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (6.8) линейным, т.е. линеаризовать его, то оно упростится-для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения. [c.185]

Четвертый этап-рещение поставленной задачи, т.е. нахождение искомых величин (функций) по заданным входным данным (аргументам, коэффициентам в уравнениях). Во всех случаях принципиальный интерес представляет получение точных аналитических решений, устанавливающих определенный вид функциональной зависимости между искомыми величинами, аргументами и параметрами математической модели. Однако получить аналитическое решение удается далеко не всегда. В этих случаях строятся приближенные решения. [c.380]

Аналитические решения рассмотренных выше дифференциальных уравнений первого и второго порядка известны лишь для частных случаев с единичными простыми реакциями в изотермических условиях. Поэтому для интегрирования их в настоящее время используются в основном численные методы и решение производится на ЭЦВМ [6, 7, 68]. [c.43]

Интегрируя уравнения (III.12)—(III.14) в общем виде, а затем отыскивая с помощью граничных условий (111.15)— (И 1.20) константы интегрирования, получим решения этих уравнений, которые для данного процесса будут единственными. Однако, такое нахождение единственности решения является громоздким. К тому же аналитическое решение из-за нелинейности уравнения реакционной зоны можно получить лишь в немногих случах. [c.45]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Такая система уравнений учитывает все величины, характеризующие работу элемента процесса, и вместе с начальными и краевыми условиями в принципе пригодна для полного описания элемента процесса. Однако практическое ее применение ограничено вследствие трудности получения аналитического решения. Обычно для быстрого инженерного расчета приходится прибегать к упрощениям этой системы уравнений. [c.143]

И, во-вторых, аналитические решения даже в простых случаях довольно сложны и сравнительно редко применяются в инженерной практике . [c.296]

Преимущество метода Биндера — Шмидта заключается в том, что в случае изменения во время процесса температуры окружающей среды 0 и коэффициента теплоотдачи а это изменение можно учесть графически, путем соответствующего перемещения точки R. По сравнению с аналитическим решением, в котором во избежание сложности [c.299]

Симплексный метод приводит к численному решению. Аналитического решения не существует, так как положение оптимума не является постоянной функцией переменных [6]. [c.328]

Во всех приведенных выше рассуждениях молчаливо предполагалось, что существует возможность получения аналитического решения уравнений Эйлера. В действительности дело обстоит иначе. Ниже обсуждаются вычислительные аспекты, относящиеся к решению уравнения Эйлера [c.213]

Именно вследствие необратимости реакций приведенные выше уравнения можно последовательно интегрировать одно за другим. Если первая реакция идет но и-му порядку, уравнения по-прежнему разрешимы, однако в том случае, когда одна из промежуточных реакций имеет порядок, отличный от первого, аналитического решения, вообще говоря, не существует. Для обратимых реакций вопрос несколько более запутан. Мы рассмотрим его в следующем разделе, применив метод анализа систем реакций первого порядка, предложенный Уэйем и Претером. [c.105]

Было получено единственное аналитическое решение, основанное на модели пленочной теории [1—3]. Опубликованы некоторые диаграммы численных результатов [4—6] для пенетрационной теории по модели Хигби и обращено внимание на задачу, позволяющую использовать некоторые результаты пленочной теории для проведения анализа пенетрационной теории [7—9]. В работах [6, 10] рассмотрена возможность квазиасимптотического решения и достигнут некоторый успех для особых случаев. Почти все работы в этой области основаны на допущении о простой кинетике реакции второго порядка [c.69]

Исследуем аналитическое решение, которое может быть получено при некоторых упрощающих предположениях в соответствии с моделью пленочной теории, когда кинетика выражается уравнением (6 7). Это решение было дано ван Кревеленом и Хофтайзе-ром [1]. [c.69]

Рассматриваемая математическая проблема даже в рамках модели пленочной теории очень сложна. Поэтому, получить аналитическое решение проблемы в paMKa. i пенетрационной теории пока невозможно. Правда, для рассматриваемой проблемы применимы численные методы и современная вычислительная техника позволяет довольно легко получать численные решения. [c.72]

Для частиц несферическои формы [10] аналитические решения в стоксовом приближении удалось получить лишь в случае эллипсоида. Сила сопротивления описывается такой же формулой (П. 10), как и для шара, только с заменой d на эффективный диаметр d, выражаемый через три полуоси эллипсоида с помощью двух эллиптических интегралов. Для очень сплющенного эллипсоида вращения (практически диска диаметра d) d = 0,85 d, когда диск расположен перпендикулярно потоку, и d = 0,566 d, если он расположен вдоль потока. [c.28]

Отсюда следует, что при малых Не, так же как и для упомянутых в предыдущем разделе задач, для которых были получены аналитические решения (например, течение внутри труб, обтекание шара), перепад давления на единицу длины в зернистом слое прямо пропорш онален средней скорости по- тока й а вязкости ц текущей жидкости или газа, обратно пр -пордионален квадрату определяющего размера. частиц слоя [c.33]

Так, Энгелунд [85] получил аналитические решения для некоторых частных случаев течения при двухчленной зависимости для коэффициента сопротивления (11.61). Христиановйч [86] показал, что в пределах сохранения постоянного показателя степени, т.е. когда на данном интервале коэффициент сопротивления может быть аппроксимирован степенной зависимостью /э = В Re с I = onst, задачи нелинейного режима течения могут быть решены через зависимости для соответствующих вязкостных режимов (/ = 1) с внесением определенных поправок. [c.71]

Смокер [12] предложил так преобразовать координаты диаграммы / — X, чтобы точки пересечения А (а , гр, г/ь гр) и В (аг гр 2/ь р) оперативной линии и кривой равновесия заняли в новой системе координат положения (1,1) и (0,0) соответственно. Цель такого преобразования координат состоит в том, чтобы создать благоприятные условия для применения расчетной техники, использованной Фенске и Андервудом нри исследовании режима полного орошения. В самом деле, прямая попытка совместного аналитического решения уравнений (IV.91) и (IV.92) приводит к громоздким выражениям, вследствие осложняющего влияния второго слагаемого в правой части уравнения оперативной линии. В преобразованной же системе координат оперативная прямая пройдет через точки (0,0) и (1,1) и, следовательно, отрезок, отсекаемый ею на оси ординат, или иначе говоря, второе слагаемое в ее уравнении станет равным нулю. [c.207]

Приведем также для примера аналитическое решение уравнения (6-53), которое описывает конвективный поток совместно с диффузией. Этот случай очень важен, например для абсорбции газа жидкостью на орошаемой стенке или для таких случаев, как контактирование газа с тонкой пленкой равномерно стекаюш ей жидкости. Согласно рис. 6-6, примем в первом приближении, что скорость Уо конвективного потока постоянна по всему поперечному сечению колонны. Концентрация абсорбируемого компонента на границе жидкости, где координата х = О, составляет Сд, а при X — оо равна концентрации [c.72]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология