Множество выпуклое

Таким образом, в дальнейшей предполагается, что либо множество выпукло, а / х) вогнута в б [т. е. / (а ) имеет в 5 единственный минимум , либо начальное приближение выбрано достаточно близко от минимума. [c.30]

Будем предполагать, что функционал J — строго выпуклый (и непрерывный в надлежащем смысле — для упрощения рассуждений соответствующих определений формулировать не будем), множество — выпуклое и замкнутое тогда задача (4.599) имеет решение и притом только одно, а описываемые ниже алгоритмы будут — при надлежащей стратегии формирования очередной итерации через предыдущие — сходящимися. [c.283]

В силу (а) множество Кф всех гиббсовских состояний не пусто и, как мы видели после доказательства теоремы 1.8 это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества К гиббсовских состояний, полученных в (Ь), содержится в А ф. Предположим, что К ф Кф. Тогда существует функция А ем мера <т е Кф, для которых [c.38]

Это общее свойство совокупности вероятностных мер, инвариантных относительно некоторой группы гомеоморфизмов компактного множества. Выпуклость и компактность I очевидны. Если а — какая-нибудь т-инва-риантная мера, то мера сг тоже т-инвариантна. Отсюда следует, что I — симплекс Шоке (см. приложение А.5.5). [c.62]

Как и при доказательстве теоремы 3.7 устанавливается, что множество выпукло, компактно и содержится в I, а множество [c.144]

Необходимые условия, которым должны удовлетворять U и Р, представлены при следующих допущениях 1) U есть замкнутое, выпуклое, ограниченное множество Р —ограниченное, конечное множество точек 2) i )(i/, Р) и частные производные Р) по и непрерывны в U для всех РеР. [c.218]

Для решения задачи линейного программирования (4.3.12) — (4.3.14) в [64] применяется специальная итерационная процедура, нестандартность которой заключается в том, что она требует задания такого набора векторов, выпуклая комбинация которых хорошо аппроксимировала бы множество допустимых вариаций OU. Кроме того, необходимо задание ограничений на коэффициенты линейной комбинации, аппроксимирующей вариацию управления ou t), i T. Значения этих коэффициентов определяют также окрестность управления u t), t .T, в которой линеаризованная задача (4.3.9) — (4.3.11) является допустимым приближением исходной задачи, т. е. линейные члены разложения функционала остаются главными. [c.196]

Теперь перейдем к изложению алгоритма для решения задачи (4.3.24). Идея алгоритма состоит в том, что на каждой итерации решается задача i/ ->-min не на всем множестве D, а на выпуклой оболочке его k точек ft г + 1. одной из которых является предыдущее приближение, а другие получены на итерациях как решения линейных задач, т. е. вычислены по формуле (4.3.28) при разных 6й, построенных по формуле (4.3.27) с различными векторами g. Обозначим через у , i = = 1,2,. .., S, точки из D, на выпуклой оболочке которых будем искать точку с минимальной нормой, а через а,- и i, i = I, ky k s, — коэффициенты выпуклой комбинации, с помощью которых представляются старое и новое приближения, соответственно. [c.198]

Вычислим искомое управление — решение задачи (4.3.24)—как выпуклую комбинацию к управлений, приводящих в крайние точки множества D, через которые представляется оптимальная точка y D [c.199]

Каратеодори в теории выпуклых множеств следует утверждение о том, что управление является кусочно-постоянным. [c.51]

Метод множителей Лагранжа. Рассмотрим здесь задачу минимизации (IV, ) при ограничениях типа (IV,3). Пусть множество А является ограниченным, замкнутым и выпуклым. Введем функцию Лагранжа [c.146]

Метод уровней . В данном и следующем параграфах мы будем анализировать общую задачу минимизации (IV,1), (IV,3), (IV,5), не предполагая множество Л выпуклым, а лишь замкнутым и ограниченным. Как и ранее, изложение проведем с привлечением двойственных переменных — функционалов над Z. [c.148]

Метод штрафов является более универсальным, чем метод множителей Лагранжа, использование которого возможно лишь при стесняющем условии — выпуклости множества Л. В то же время применение метода штрафов имеет свои недостатки. Коэффициенты в общем случае должны неограниченно возрастать, что приводит к овражному характеру функции (х) и, следовательно, существенно усложняет выполнение ее минимизации. Кроме того, если множество Л не является ограниченным, точнее, если / (х), X Q не ограничена снизу, то выбор начальных величин [c.151]

Если > о, множество Л локально выпукло в окрестности г (ж ) если же О, существует конечное у 5> (, для [c.153]

В предположении, что /, ф, (г = 1,. . ., р), гр/ (/ = 1,. . ., 5) есть выпуклые непрерывно дифференцируемые функции и 5 — ограниченное множество, доказана сходимость алгоритма к решению исходной задачи оптимизации при 81, 82 ->0. Заменив (IV,52), (IV,53) поиском точного экстремума функции Ф , (х), получим последовательность сходящуюся к [д, слева. [c.158]

Пусть g . Е Е —отображение, дифференцируемое в открытом, выпуклом множестве D Е и пусть g (х ) положительно определена для некоторого х О, И g (х) непрерывна в х. Предположим далее, что сходящаяся к X последовательность г, d D определяется рекуррентным соотношением [c.282]

Предположим, что множество II, определяемое условиями (VI,4), является ограниченным и выпуклым. Из выражения (VI, 49) вытекает, что [c.126]

В заключение следует отметить, что в книге рассматриваются только детерминированные локальные методы поиска. Методам случайного поиска посвящена книга [12 ]. Методы глобального поиска рассматриваются в работе [13, с. 491—525]. Таким образом, в дальнейшем предполагается, что либо множество 5 выпукло и / (х) выпукла на 5, т. е. / (х) имеет в 5 единственный минимум, либо начальное приближение выбрано достаточно близко от минимума. [c.20]

Рассмотрим задачу минимизации (IV, 1) при ограничениях типа (IV, 3), полагая Q = Е . Пусть множество Л является замкнутым и выпуклым. Введем функцию Лагранжа [c.108]

В заключение сделаем два замечания. Первое касается принятого здесь предположения о выпуклости множества А. Оно является существенным. Действительно, при наличии в окрестности решения так называемого зазора между А и его выпуклой оболочкой (см. рис. 14), приведенный выше алгоритм, определяющий шах min [c.113]

Ф (х, к), даст в качестве решения точки х, которым в пространстве Z соответствуют точки / или 2 [(f (х) Ф О ], в то время как действительному решению соответствует точка z. Снять требование выпуклости множества Л удается при использовании, так называемой модифицированной функции Лагранжа, к рассмотрению которой мы обратимся в конце этого раздела. Второе замечание связано с выполнением некоторой процедуры минимизации функции Ф (х, Afe) на шаге 2 алгоритма метода множителей. Применяемые для этой цели алгоритмы носят, как правило, локальный характер. В этой ситуации метод множителей может привести к локальному решению х исходной задачи, либо вовсе не дать решения. [c.113]

Рассмотрим общую задачу минимизации (IV, 1), (IV, 3), (IV, 5), предполагая множество Л лишь замкнутым (выпуклость А необязательна). [c.114]

Вернемся к задаче (IV, 1), (IV, 3). Обоснованное применение метода множителей Лагранжа возможно лишь при условии выпуклости множества Л, выполнения которого, в общем случае, трудно ожидать и проверка которого при решении реальных задач практически неосуществима. Здесь будет рассмотрено обобщение метода множителей Лагранжа на случай невыпуклого множества Л, представляющее собой своеобразный синтез этого метода с методом штрафов при конечной величине штрафного коэффициента [79]. В этом разделе по-прежнему будем считать множество Л замкнутым, предполагая, что в точке X выполнено условие регулярности отображения ф (х) [80, с. 74—75]. Более того, будем считать, что границу множества Л в окрестности точки z (х ) можно аппроксимировать формой [c.119]

Более универсальными методами построения множества Парето, пригодными и в отсутствие выпуклости Л, являются методы последовательной безусловной минимизации ( уровней , штрафных функций, модифицированной функции Лагранжа), которые применяются к решению задачи минимизации одного из критериев, например /. с ограничениями, определяемыми функциями ф всех прочих критериев. [c.235]

Для упрощения обозначений рассмотрим случай R в качестве опорного выпуклого множества Т примем единичный квадрат с вершинами [c.205]

Пусть Т — замкнутая выпуклая оболочка множества 2, которую будем считать невырожденной, и пусть Р — конечномерное пространство действительнозначных функций, заданных на Т. [c.210]

Для написания условия стационарности З по переменной к используем выпуклость 3 по к и предположение о выпуклости но известной [15] теореме о точке стационарности (минимума) выпуклого функционала на замкнутом выпуклом множестве имеем [c.280]

Первый подход предполагает вьщеление множества корректности — компакта допустимых решений. Это возможно при некоторой дополнительной информации о решениях (гладкости, выпуклости функции, величине погрешности). [c.112]

Как показано в [16], при ограниченных и выпуклых допустимых множествах (2.14) вектор х >0, удовлетворяющий ограничению можно представить в виде выпуклой линейной комбинации конечного множества крайних точек [c.24]

Из (о-инвариаптности этого симплекса (а в общем случае — многогранника) уже без дополнительных предположений следует существование в нем хотя бы одного стационарного состояния системы (3.6). Доказательство можно получить с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке любое непрерывное отображение замкнутого ограниченного выпуклого множества в себя оставляет неподвижной хотя бы одну точку этого множества. Однако таких условий недостаточно, чтобы гарантировать устойчивость н единственность стационарного состояния. Для этого необходимо сделать более детальные предположения о структуре функций WJ ). (Заметим, что до сих пор рассматривались ограничения, налагаемые лишь общими контрольными условиями.) Введем теперь следующее предположение будем считать, что в простейшем изотермическом случае функция WJ ) подчиняется закону действия масс и каждой /-й стадии можно сопоставить два неотрицательных коэффициента, к таких, что справедливо соотношение [c.116]

Второв равенство следует потому, что Ь (х, X) линейно относительно Я. Если область Я является целым пространством, что и сделано посредством выбора ограничений множества 8, то 7 (Я) выпукла для всех Я. [c.320]

Метод с расширенной функцией Лагранжа. Вернемся к задаче (IV,1), (IV,3). Обоснованное применение метода множи-те.чей Лагранжа возможно лишь при условии выпуклости множества Л, выполнения которого в общем случае трудно ожидать и проверка которого при решении реальных задач практически неосуществима. [c.152]

Функция / (х) навывается выпуклой на выпуклом множестве Z), ели для любых х, I/ 6 и а [О, 1 ] [c.263]

Наконец, примем, что функция g (х) определена и дифференцируема (ио Гато) в некотором открытом выпуклом множестве В, т. е. якобиан g (х) пли, что то же, гессиан /" (г) минимизируемой функции / (х) удовлетворяет соотношению [c.274]

Пусть g E -< — отображение, дифференцируемое в откритом, выпуклом множестве D, содержащем точку х, для которой g ( ) симметрична и положительно определена, и выполнено условия Липшица [c.279]

Определение. Совокупность, состоящая из множества точек 2, области Т — замкнутой выпуклой оболочки 2 и нростран-ства функций Р, заданных на Т, по отношению к которому 2 является Р-разрешимым, называются конечным элементом и обозначаются через (2, Г, Р). [c.207]

Вариант данного метода (по существу совпадающий с описанным на основании теоремы о трех перпендикулярах, но процедура вычислений другая) заключается в том, что после вычисления га(1/(гг ) производится проектирование соответствующей прямой на границу (когда ц принадлежит границе и далее идет минимизация функционала вдоль этой прямой. Вычислительные сложности в данном варианте (помимо операции ортогонального проектирования прямой) обусловлены тем, что при движении вдоль соответствующей прямой может произойти выход за пределы множества [/ (внутрь попасть нельзя в силу выпуклости 7 ), поэтому в таком случае необходимо перейти с одной границы С/ на другую (возможно, меньшей размерности — ребро). Если ограничения нелинейны, то сначала в точке и производится линеаризация, после чего проектирование направления антиградиента производится на гиперплоскость, касательную к границе множества в точке после минимиза- [c.284]

Аналогичная по математической постановке задача линейного программирования с переменными векторч толбцами, заданными на выпуклых множествах, приведена в работе [14]. Показана принципиальная возможность применения декомпозиционной процедуры для данного типа задач. В результате решения определяются как основные переменные, так и значения элементов матрицы условий. Применение принципа декомпозиции для решения задачи линейного программирования с переменными параметрами модели (обобщенная задача линейного программирования) рассмотрено в работах [15, 16]. Особенностью алгоритма является то, что в процессе решения осуществляется одновременный поиск вершин выпуклых многогранников, на которых заданы варьируемые векторы, и значений интенсивностей технологических процессов. [c.15]

Другое направление решения задачи линейного программирования с переменными векторами условий, заданными на сепарабельных выпуклых множествах, связано с предварительным определением всех вершин допустимых значений технологических коэффициентов и последующим формированием и решением задачи линейного программирования, в которой для процессов с переменными технологическими коэффициентами рассматривается несколько вариантов, полученных в результате определения вершин [17-20]. Одна из первых задач подобного типа [17] включала элементарный случай варьирования технологических коэффищ1ентов, когда область их допустимых значений представляла собой многогранник, образованный пересечением и-мерного параллелепипеда одной гиперплоскостью. [c.15]

Варьируемость векторов Л у представляет дополнительные возможности улучшения решения, поскольку может быть поставлена задача целенаправленного поиска в пределах выпуклых множеств Су таких значений Я при которых максимизировались бы /-е относительные оценки с . [c.31]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология