Стационарные точки

Для устойчивости стационарного состояния необходимо, чтобы малые отклонения от равновесной температуры приводили к таким изменениям, которые возвращают реактор в стационарное состояние. Это означает, что если температура становится несколько меньше стационарной, скорость тепловыделения Q y) начинает превышать скорость теплоотвода Q2 y) если же температура незначительно превысит стационарную, то Q2 yX будет больше Ql y). Иными словами, для устойчивости стационарною состояния необходимо выполнение неравенства [c.67]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Р отрицательно (т. е. уменьшается). Поскольку г ( , Г) = О на равновесной кривой = (Г), кривая Р , Т) = О должна лежать ниже равновесной. Кривая С( , Т) = О, конечно, пересекается с (I, Г) = О в стационарной точке ( ,, Т . Существенную [c.175]

Так как в пределах одного класса диаграмм характер траекторий фазовых процессов может быть иным, предложено различать диаграммы по типам их особых точек, которые соответствуют чистым компонентам и азеотропам различной размерности в симплексе составов. Тип особой точки может быть выявлен изучением траекторий фазового процесса, стационарные точки которого в точности соответствуют особым точкам диаграммы. Таким процессом, в частности, является процесс равновесной дистилляции. В работах [29—36] были исследованы локальные закономерности траекторий процесса равновесной дистилляции в окрестности особых точек. [c.193]

Если поток стационарный, то выражение упростится до [c.51]

Если поток пе изменяется во времени (стационарный), то накопления или отдачи происходить не будет. Следовательно [c.53]

Если на границе D(l) нет стационарных точек для [c.118]

При существовании граничных стационарных точек проблема стабилизации решений оказывается существенно более сложной. Ее решение можно найти в [42]. Однако граничные стационарные точки- в реальных системах встречаются редко, поэтому для практических целей, как правило, достаточно утверждения 5. Подчеркнем еще раз, что утверждения 1—5 получены из закона действия масс [c.118]

Рис. 7.1. Зависимость координат стационарной точки от параметра о.. При а = о наблюдаются три стационарных состояния

Пусть в окрестности стационарной точки существует функция V (У1, Ур), для которой V (О,. .. 0) = 0 lim viy ,. .., Ур [c.165]

Система (V.23) может рассматриваться как приближенная для системы (V.22) в окрестностях стационарной точки (у, = 0). Действительно, разлагая f (у , Ур) в ряд по степеням у ,. .., Ур и обрывая его на линейных членах (что допустимо ввиду малости i/i,. .., Ур вблизи стационарной точки), перейдем к уравнению (V.23 б), где [c.165]

В связи с этим приближением возникают две трудности. Во-первых, Р может принимать наибольшее значение скорее на границе допустимой области, чем в стационарной точке, если изменения нараметров ограничены. Во-вторых, Р может иметь несколько [c.308]

Стационарная точка функции (22) задается соотношениями [c.31]

На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции многих переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по сфере его применения. Во-первых, при большом числе оптимизируемых параметров рассматриваемый метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений (3.1.1). Задача решения системы уравнений (3.1.1) только в простейших случаях оказывается легко разрешимой. В практических задачах оптимизации адсорбционных установок число переменных Х1, как правило, велико. Во-вторых, условие определения экстремума, выраженное зависимостью (3.1.1), является необходимым, но недостаточным для решения задачи. В самом деле, выражение (3.1.1) определяет положение стационарных точек внутри области, среди которых кроме экстремальных могут быть особые точки типа седла . Учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является весьма сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане [51—53]. В-третьих, рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений аргументов. Между тем, как показывает соответствующий анализ, многие параметры и характеристики адсорбционных установок имеют свои оптимальные значения именно на границах допустимой области их изменения. Следовательно, требуется дополнительный анализ значений минимизируемой функции 3(х, х2.....х ) на границах допустимой области изменения параметров хи Х2,. . Наконец, четвертый недостаток рассматриваемого метода состоит в ограниченности его применения классом задач, в которых оптимизируемые параметры, определяющие значение минимума или максимума функции, независимы, т. е. хи Х2,. .., х [c.123]

Необходимые условия экстремума состоят в равенстве нулю всех первых частных производных от . В результате получается (п т) уравнений с (п т) неизвестными X и Ь. Решение этих уравнений относительно переменных X п Ь позволяет определить положение стационарной точки. Таким образом, использование вспомогательной функции Ь(Х,А) и Вспомогательных множителей Л позволяет заменить задачу с дополнительными условиями вида (3.1.2) задачей без дополнительных условий. [c.124]

Прп некоторых значениях параметров в системе (8) и при достаточно малом е в системе (7) возникают автоколебания. Динамическая спстема (8) имеет довольно сложный фазовый портрет, может иметь до пяти стационарных точек, допускает существование устойчивых и неустойчивых периодических решений. Для определения констант предложен следующий метод. Прп некоторых значениях параметров стационарное решение теряет устойчивость, и из него зарождается устойчивое периодическое решение. При дальнейшем изменении парциального давления это решение опять переходит в устойчивую стационарную точку. Таким образом, можно выписать четыре уравнения для определения стационарных точек, два условия на линеаризованную задачу, характеризующие зарождение и исчезновение колебаний, четыре уравнения для скоростей реакции (измеряемых в эксперименте) и их производных, два уравнения для периодов зарождающихся колебаний. Как показывают расчеты, эти уравнения позволяют определить все константы, входящие в уравнения. При [c.88]

Если 2" (л ) О, то 2 имеет стационарную точку, которая удовлетворяет уравнению [c.201]

Знак неравенства (часто вызывающий недоразумения) относится к случаю, при котором возможны только односторонние виртуальные смещения и поэтому нельзя решить, является ли равновесное значение энтропии стационарной точкой в математическом смысле. Разъясним соотношения на примере и рассмотрим для этого распределение вещества между двумя фазами и . В частности, можно представить распределение вещества между двумя несмешивающи-мися растворителями (например, бензол и вода). Распределение может быть описано с помощью параметра [c.78]

I. При постоянном давлении температура кипения как функция состава имеет стационарную точку тогда и только тогда, когда жидкость и пар имеют одинаковый состав. [c.159]

Так как точка по предположению не является стационарной, то gk = ВЦ) Ф О, откуда следует, что не ортогональна всем столбцам матрицы В к- Следовательно, вектор = О и есть [c.141]

Отсюда в точке v Лагранжиан Ф (Л, и) имеет экстремальную точку (либо минимум, либо стационарную точку). Опыт показывает, что Лагранжиан Ф не всегда характеризуется минимумом в экстремальной точке. Так, в работе [134] действительно было найдено, что в задаче оптимизации реальной схемы Лагранжиан имел не минимум, а стационарную точку. [c.232]

У функций Фу может вообще не быть стационарных точек (например, в случае, когда Фу линейно зависит от некоторых переменных Vj и на эти переменные нет ограничений). [c.232]

Пусть теперь точка А , расположена на границе. В частном случае она случайно может также оказаться стационарной точкой для функции Н . Однако если она не является стационарной точкой, то согласно условию (У,36) в этой точке функция должна иметь локальный максимум. Конечно, необходимо учитывать обе возможности. [c.160]

Решение системы (V,13) эквивалентно нахождению стационарной точки функции F. Тогда изложенному методу можно дать такую формулировку. Для решения задачи (1,1), (1,2) необходимо решить систему (V,17), причем на каждой итерации при решении этой системы придется определять стационарную точку функции F. Так, если на к-ой итерации решения системы (V,17) получены значения переменных то на этой итерации для вычисления [c.93]

Рисуя, как и раньше, стрелки, указывающие направление, в котором перемещается нестационарное решение, видим, что траектории закручиваются вокруг точек 5, и 5з, но не вокруг точки > 2. Изогнутые стрелки,проведенные вблизи 82, показывают, что решения удаляются от этой точки. В действительности имеются две и только две траектории, которые входят в точку 82- линия Х82, идущая сверху, и линия 8 , идущая снизу. Они, конечно, физически нереализуемы, так как малейшее возмущение отклонит траекторию решения в сторону точек 51 или 5д. Линия Х82У является сепаратрисой, так что процесс, начавшийся с любого исходного состояния, лежащего слева от нее, приходит к стационарной точке 1, а справа — к точке 3 . [c.177]

Если поток постоянен во времени (стационарный), то dpidt = О и уравнение неразрывности можно записать следующим образом [c.50]

Проведенный анализ показывает, что функция Н (Т) может иметь стационарную точку максимума лиень при выполнении условий (VII,375). В противном случае максимальное значение Н (Т) достигается при одном из предельных значений температуры (VII,358) Т, или 7 .,. [c.379]

Анализ термодинамических критериев эволюции и стабильности подтверждает напратвлепный характер и устойчивость конечного состояния про-цесса селекции в модели Эйгена. Анализ термодинамических свойств автока-талитических уравнений, описывающих динамику превращений в гиперциклах Эйгена, провести труднее в силу нелинейного характера кинетики. Оказывается, что для двух- и трехчленных циклов стационарное состояние асимптотически устойчиво, в то время как стационарная точка четырехчленного цикла представляет собой центр , т. е. находится на грани устойчивости. Пятичленный цикл дает неустойчивое стационарное состояние с возможностью выхода из него на траекторию предельного цикла [85]. [c.312]

Решение задачи оптимизации определяется интегрированием системы (IX,51) 1 ак стационарная точка системы уравнений, т. е. совокупность значений переменных Xj, ие изменяющихся в процессе продолжающегося интегрирования, при этом получается траектория x t), приводящая к оптимуму кратчайпшм путем из задан-Hoi o ИСХ0ДН010 состояния. Эта траектория при практическом реше-ппи задач оптимизации может иногда иметь самостоятельный интерес. [c.500]

При решении практических задач исследование устойчивости системы уравнений (IX,51) в общем случае может оказаться весьма сложным. Поэтому проще всего попытаться найти решение данной системы в достаточно больиюм интервале интегрирования. При этом в процессе интегрирования не лишним является контроль изменения величины оптимизируемой функции R [л (/)1, который может показать наличие или отсутствие стационарной точки в процессе наблюдения за значением R (/). Разумеется, при этом возможны также случаи, когда при различных начальных условиях системы уравнений (IX,51) будут определяться разные локальные минимумы функции R (д ). [c.503]

Рассмотрим предельный переход в закрытых, т. е. изолированных, но неадиабатических системах (как правило, это системы, у которых характерные времена реакций, а соответственно и тепловыделения соизмеримы с характерными временами тенлопотерь). В этом случае состояние в стационарных точках уже не подчиняется описанию (3.53), уравнение (3.53а) исключается, условие (3.536) записывается как равенство генерации и стока компонента [c.158]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

В качестве независимой переменной выбрана мольная доля этилового спирта. Стационарная точка, в которой в соответствии с oбoбщeннымJ законом Гиббса— Коновалова может протекать фазовая реакция и в которой, согласно [c.159]

Пусть в оптимальном режиме управляющие переменные принимают значения и (к). Если точка [и (/с),. . ., и к) лежит внутри открытой области В (не на границе), то в данной точке выполняются равенства (У,31) или дНЧди (к) =0, т. е. точка А , является стационарной точкой функции (в этой точке функция Н может принимать максимальное или минимальное значенпе, а также иметь седло). [c.160]

Таким образом, для нахождения оптимального режилга нужно в данном случае решить совместно системы разностных уравненпй (V,3) и (V,32) с краевыми условиями (V,5) и (V,33). При этом на каждом блоке управляюш,ие переменные выбираются из условия, чтобы они были либо координатами стационарной точки функции Я ", если она расположена внутри или на границе области D, либо координатами локального максимума функции Н, если он расположен на границе допустимой области. [c.161]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология