Коши

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

При фиксированной температуре мы получим теперь В совместных уравнений, которые должны быть разрешены относительно Л равновесных степеней полноты реакций. Интересно отметить, что любое предварительное упрощение этих уравнений путем возведения их в различные степени и умножения друг на друга эквивалентно линейному преобразованию исходной системы реакций. Таким образом, как и следовало ожидать, эквивалентные системы реакций приводят к одним и тем же равновесным составам. Можно показать, что эти уравнения всегда имеют единственное решение, так как их якобиан существенно положителен. Общее доказательство этого утверждения связано с применением неравенства Коши однако в случае двух реакций доказательство элементарно и будет дано ниже как упражнение. Поскольку при расчете равновесия сложного процесса вычисления могут быть громоздкими, важно следить за тем, чтобы число расчетных уравнений было минимальным. Для этого следует рассматривать только независимые реакции и использовать в качестве переменных их степени полноты. [c.58]

Пусть функция и задана на начальной кривой Г(,, проходящей через точку (Хд, /о) и требуется ее определить в некоторой окрестности Г(,, т. е. решить задачу Коши для уравнения (п. 9). В общем случае можно вычислить первые и высшие производные из уравнения (п.9) в точке (Х(), о). Тогда функцию и можно найти на близкой соседней кривой посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности точки на начальной кривой. [c.411]

Здесь ЛДик — доза, вызывающая гибель 50% подопытных животных при нанесении химического соединения на кожу, мг/кг ПКпр крол — пороговая концентрация, вызывающая нарушение проницаемости капилляров у кролика при внутрикожном введении вещества различной концентрации в 0,9 % растворе, мМ/м ПКр кош — пороговая концентрация, вызывающая у кошек слюноотделение при 15-минутном воздействии, мг/л ПКр крол — пороговая концентрация, вызывающая изменение частоты дыхания у кролика при 15-минутном воздействии, мг/л ПКр чел — пороговая концентрация, вызывающая неприятпые субъективные ощущения у человека при 1-минутном воздействии, мг/л ПКр кр — пороговая концентрация, вызывающая у крыс при 4-часовом вдыхании изменения по одному из показателей частота дыхания, прижизненная окраска тканей легких нейтральным красным красителем, острота обоняния , клеточная реакция легких и верхних дыхательных путей, мг/м . [c.33]

В первом случае решение сводится к задаче Коши и может быть выполнено численными методами интегрирования, например методом Рунге — Кутта, во втором — к аналитическому решению через преобразования Лапласа. Последний вариант более целесообразен, так как позволяет получить явную зависимость теоретической дифференциальной функции распределения времени пребывания частиц в реакторе от t, N ж К. [c.86]

Если при противотоке задается степень извлечения 1 2 д или 51с, связанные соотношением (5.74), то вместо краевой задачи можно решать задачу Коши, что требует значительно меньше машинного времени. Так как 1 с СУв > 1 )/(> в > ) то граничные условия при 2у = 0 имеют вид [c.244]

Для прямотока решение краевой задачи может быть сведено к задаче Коши при заданной степени извлечения лишь без учета продольного перемещивания, т. е. при =0. В этом случае уравнения (8.14) решаются при граничных условиях [c.302]

Решение краевой задачи как для противотока, так и для прямотока может быть получено методом последовательных приближений. Дпя этого решают задачу Коши, определяя величину Vi таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (8.15) или (8.16). Нахождение Kj методом последовательных приближений может быть запрограммировано. [c.303]

Как и при отсутствии циркуляции, краевая задача в рассматриваемом случае может быть сведена к задаче Коши при противотоке и дпя = 0 — при прямотоке. При прямотоке задаваемые значения и связаны соотношением (8.24). [c.304]

Обозначим задаваемую долю степени извлечения от ее максимального значения для колонны конечной высоты через = с/( с)макс = (1 — У )С/(1+т). Отсюда находим граничные условия задачи Коши [c.310]

Изменение свободной энергии в данной реакции оказывается точно таким же, как в элементе с давлением водорода 10 и 1 атм, потому что отношение кош(ентраций в обоих случаях одинаково. По мере протекания реакции и выравнивания концентраций свободная энергия, приходящаяся на моль реакции, уменьшается. (Аналогично, определенная масса воды, падающая с плотины высотой 2 м, способна совершить меньшую работу, чем такая же масса воды, падающая с плотины высотой 20 м. См. рис. [c.162]

Поскольку внутренняя энергия U есть функция состояния, ее дифференциал является полным. Согласно теореме Коши, порядок дифференцирования безразличен, и из (1.26) сразу следует первое уравнение Максвелла [c.27]

Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у , откуда следует, что решение у(у , I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

Максимальное число наборов экспериментальных данных (число решений задачи Коши) при вычислении целевой функции в задаче идентификации на каждом этапе — не более 6. [c.205]

В этом случае, начиная интегрирование с точки 1 , можно решить задачу Коши при начальных условиях [c.119]

Численное решение математической модели прямоточного ДЖР идеального вытеснения не представляет большого труда, так как сводится к решению задачи Коши. Постановка задачи не отличается от случая противоточного ДЖР и заключается в определении вели- [c.145]

Метод геометрического программирования основан на нера-веисгвс Коши (3.331), согласно которому среднее геометрическое / положительных чисел /1, П., не превышает их среднего арифметического с учетом весовых коэффициентов Л , (V,.....бу [c.257]

Будем считать, что эта система имеет решение, притом единственное. Наиболее часто такое решение находят численными методами, которые сводят краевую задачу к задаче с граничными условиями на одном конце (задача Коши). Если, например, к—р граничных условий заданы при х = а, ар условий — при X = Ь (фиксированные условия), то, выбрав р произвольных условий при X = а, будем решать задачу с условиями при а = а (при этом р условий при X = Ь яе используются). Произвольные условия при X = а меняют таким образом, чтобы рассчитываемые У (Ь) удовлетворяли отброшенным фиксированным условиям. [c.148]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Усовершенствованный метод Эйлера—Коши заключается в том, что при вычислении следующей точки интегральной кривой производится усреднение тангенса угла наклона кривой в двух прилежащих точках. В этом случае тангенс угла наклона находится [c.355]

Рие. 55. Графическая иллюстрация метода Эйлера—Коши [c.355]

Порядок построения решения в методе Эйлера—Коши представлен на рис. 55. Через точку (х,, у ) проводится касательная до пересечения с прямой х = Х1+ . В этой точке пересечения вычисляется тангенс угла наклона касательной 2 и из точки ( , / ) проводится прямая Ад, тангенс угла наклона которой есть среднее арифметическое тангенсов углов наклона прямых А1 и А , т. е. [c.355]

Из сравнения (12—16) и (12—24) мо/кно заключить, что видоизмененные формулы Эйлера согласуются с разложением в ряд Тейлора с точностью до членов стенени /г включительно, т. е. обеспечивают точность на порядок выше, чем формула (12—17). Можно также показать, что формула Эйлера—Коши с итерационным уточнением на каждом шаге нозволяет получить точность порядка к [271. [c.356]

Существует несколько дгетодов численного решения подобных задач. Простейшим из них является метод Ньютона [8—12], который сводится к тому, что задаются начальные условия на одном из концов реактора. При этом, решая задачу Коши методом последовательных итераций, подбирают недостающие граничные условия на другом конце реактора. Однако в случае, когда система обладает большой чувствительностью, метод Ньютона требует значительного числа итераций, а иногда становится вообще неиршодным. В этом случае рационально использовать метод квазилипеариза-ции [13] или метод Вольфа [14, 15]. [c.118]

Уравнения (7.81), (7.82) численно решались для противотока в работе [414]. Для упрошения краевой задачи решалась задача Коши для заданной степени извлечения, т. е. вместо граничных условий (7.85), (7.86) принимались граничные условия [c.298]

Соотаошение (8.62) дает возможность свести краевую задачу Щ1я противотока к задаче Коши, если необходимо найти высоту колонны, соответствующую заданной степени извлечения из сшюшной фазы (Рс = = 1 — 1 1. Максимальная степень извлечения для колонны бесконечной высоты при [c.310]

Кош ар ский Б. Д. н др. Автоматические приборы, регуляторы и управляющие машины. М., Мяшиыостроенне , 1968. [c.354]

Сказанное остается справедливым и в случае, когда имеются поперечные градиенты концентрации и температуры. И в этом случае задача Коши для системы параболических уравнений ( 11.44) и ( 11.45) всегда имеет единственное устойчивое решение. Явления неустойчивости могут в принципе возникнуть под влиянием продольного перемешивания потока, однако в достаточно протяженных реакторах этот эффект незначителен. ПрйТюследовании процессов в зернистом слое учет продольного перемешивания сводится к учету [c.336]

Это объясняется гем, что п - си МВ блокируют поры угля и действие антиполимеризатора рс и пространяе- сл, главным образом, на внеинюю поверхность гранул, з то кошо кт с низкомолекулярными [c.85]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология