Дифференциальное исчисление

IV. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков. [c.149]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Основные правила дифференцирования [c.98]

Некоторые формулы дифференциального исчисления [c.101]

Чтобы применить дифференциальное исчисление к решению задачи, необходимо ввести несколько ограничений. Функции f, fi, Gi должны быть дважды непрерывно дифференцируемы и должны удовлетворять условиям Липшица. При заданных векторах входа, проектных переменных и неопределенных параметров выходной вектор определяется единственным образом. [c.216]

Для нахождения решения по модели с ограничениями в виде равенств и небольшого числа управляемых переменных может быть использовано дифференциальное исчисление, например, метод множителей Лагранжа. В других случаях применяют методы зкспериментальной оптимизации метод случайного поиска, метод многофакторного анализа, одношаговый метод и метод наискорейшего спуска. [c.158]

П. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. [c.148]

Доказательство первого утверждения опирается на основную теорему дифференциального исчисления. Если г есть функция двух переменных л и г/, то для того, чтобы бесконечно малое изменение г было полным дифференциалом 2, необходимо и достаточно, чтобы в выражении [c.38]

Дадим теперь более конкретное толкование физического смысла величин р , которые были названы химическими потенциалами и которые до сих пор рассматривались просто как коэффициенты пропорциональности между изменением энергии системы dU 11 изменением соответствующего числа молей г-го вещества в системе. Для этого вспомним основную формулу дифференциального исчисления. Если г есть функция многих независимых переменных Xi, х ,. .., [c.49]

Преимущество первого метода состоит в том, что он не требует использования дифференциального исчисления. Однако второй метод более простой и требует меньщей математической интуиции он более широко применяется для решения аналогичных задач. [c.194]

Для решения этой задачи привлекается аппарат дифференциального исчисления. Его применение основано на следующем предположении если абсолютные погрешности ал, достаточно малы в сравнении со значениями самих величин, а функция / [c.838]

Решение этих задач осуществляется с помощью методов дифференциального исчисления. Пусть нам нужно оценить погрешность величины у (например, количества определяемого вещества), являющейся функцией нескольких аргументов хи х ,..х (например, объема и концентрации раствора титранта, объема анализируемого раствора и т. д.) [c.130]

Общая теория ошибок —специальная область прикладной математики, использующая математический аппарат дифференциального исчисления и посвященная различным аспектам оценки погрешностей косвенных измерений. Косвенными принято называть такие измерения, результат которых находится не в ходе прямого эксперимента, а путем расчета с помощью конкретных функциональных зависимостей, у которых в качестве аргументов выступают результаты тех или иных прямых измерений. [c.116]

Для решения поставленных выше задач привлекается математический аппарат дифференциального исчисления. Его применение основано на следующих предположениях если абсолютные ошибки измерения отдельных аргументов Ал ,1 достаточно малы в сравнении с самими величинами л ,-, а функция / непрерывна во всей области измерений, то абсолютная ошибка функции Аг/ тоже мала. Поэтому, если абсолютные ошибки аргументов рассматривать как малые приращения йх,, то соответствующая ошибка функции примет вид йу, а связь между ними будет задана соотношением [c.117]

Это уравнение е должно смущать читателя даже в том случае, если он не научал дифференциального исчисления и не знаком с уравнениями такого вида. Выражение, стоящее в левой части уравнения (10.1), есть скорость данной реакции — уменьшение концентрации реагирующего вещества в единицу времени. Выражение в правой части показывает, что эта скорость уменьшения концентрации пропорциональна самой концентрации, [c.278]

Поскольку число микросостояний велико, W можно рассматривать как непрерывно изменяющуюся величину и можно применить методы дифференциального исчисления. В действительности более удобно находить максимум натурального логарифма от Так как все Мг велики, то вначале мы используем приближенную формулу Стирлинга для исключения факториалов в уравнении (17.1). Формула Стирлинга [c.528]

Пользуясь известной теоремой дифференциального исчисления, можно на- [c.141]

Покажем это на примере произведения двух величин г = ху. Пусть абсолютные погрешности х и у составляют Лх и Ау тогда относительная ощибка будет х = Дх/х (в долях от х) соответственно для у. 5у = Лу/у. Примем (это наиболее частый практический случай), что абсолютные погрешности много меньше самих величин Дх х, Ау у, тогда значения Дх и Ду в математическом плане можно трактовать как дифференциалы Лх к ду к использовать аппарат дифференциального исчисления. Максимальная абсолютная ошибка исследуемого произведения Дг = Д(х.у) = б(х- ) = у йх + хбу. Относительная ошибка произведения 5г = А(ху)/(ху) = (у<1х + хйу)/ ху) = <1х/х + 6у/у = 8х + + 8у. Таким образом, максимальная относительная ошибка произведения равна сумме относительных ошибок сомножителей. Иначе говоря, она больше, чем относительная ошибка любого из сомножителей. И если один из сомножителей взят с погрешностью 1%, то произведение не может получиться точнее, сколько бы цифр ни высвечивалось на дисплее калькулятора или компьютера. И записывать результат нужно с тем числом значащих цифр, которое отвечает погрешности рассчитанной величины. При этом последняя из записанных цифр указывает абсолютную погрешность если, например, записано 1,25, это означает, что найденная величина равна 1,25 0,01 а если записано 1,250, то, значит (должно означать ), что расчет произведен с большей точностью, и найденная величина равна 1,250 0,001. [c.44]

Метод применения дифференциального исчисления к изучению различных процессов состоит в том, что данный процесс мы разбиваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем протекающим равномерно. При этом приращение функции, определяющей ход явления, Д1ы заменяем ее дифференциалом. [c.16]

Решение химической задачи мы привели к математической задаче нахождения функции [ю заданному ее дифференциалу. Эта задача обратна той, которая ставится в дифференциальном исчислении, где требуется найти производную или дифференциал по дайной функции. В дифференциальном исчислении отыскиваются бесконечно малые изменения переменной величины, соответствующие бесконечно малым изменениям другой величины на основании данного закона, связывающего эти две величины, т. а. когда известна функциональная зависимость между этими величинами. [c.35]

Методы дифференциального исчисления применяются, главным образом, при рассмотрении таких явлений, при которых состояния тел и их свойства непрерывно изменяются. [c.5]

Всякой формуле дифференциального исчисления Р (х)--=Цху, ёР(х) = 1(х)ёх соответствует формула интегрального исчисления [c.36]

Во всех этих методах подходя г к решению проблемы, пользуясь дифференциальным исчислением, и потому они особенно пригодны для насадочных колонн. [c.65]

Для доказательства своих гипотез Ньютон использовал громоздкий геометрический метод. Некоторые полагают, что он избегал применять методы интегрального и дифференциального исчисления, так как опасался, что современники могут не понять его. Ньютон сделал также несколько интересных замечаний в своих Следствиях . [c.22]

Достаточно полный перечень термодинамических соотношений, полученных на, основе анализа функций состояния методами дифференциального исчисления, можно найти в монографиях по термодинамике, например в [1]. [c.21]

Прежде чем перейти к изложению отдельных задач оптимального проектирования, необходимо хотя бы коротко коснуться основных. математических методов оптимизации. К классическим методам решения экстремальных задач относятся методы дифференциального и вариационного исчислений. С помощью дифференциального исчисления можно решать дискретные задачи (т. е. задачи с конечным числом параметров) как при отсутствии ограничений, так и при наличии ограничений типа равенств (метод множителей Лагранжа) . [c.129]

Напишем по известному правилу дифференциального исчисления выражение для производной (д 11/дМ2)ру. [c.30]

По правилам дифференциального исчисления [c.67]

Для этой цели используют дифференциальное исчисление, приравнивая производные С по а и 6 к О и решая относительно а и Ь. [c.607]

В курсах дифференциального исчисления доказывается, что пло-шадь сектора РОО (рис. Х1У-1) составляет [c.402]

Большие успехи были достигнуты в области механики, математики, астрономии и физики. Г. Галилей (1564—1642) основал механику. Его ученик Э. Торричелли (1608—1647) открыл существование атмосферного давления. Б. Паскаль (1623—1662) продолжил исследования Э. Торричелли. Хр. Гюйгенс (1629— 1695) создал волновую теорию света. Крупнейший вклад в механику и астрономию внес И. Ньютон (1643—1727). Он опубликовал в 1687 г. свою знаменитую работу Математические начала натуральной философии . В конце XVII в. Г. В. Лейбниц (1647— 1716) и И. Ньютон открыли дифференциальное исчисление. Все эти и другие открытия ознаменовали наступление эпохи первой научной революции. [c.30]

Такой подход не противопоставляется и не препятствует применению известной линейной модели оптимизации производственной программы НПЗ. Рассчитанные с ее помощью оптимальные суточные производительности трех ведущих установок следует рассматривать как ограничения, в рамках которых реализуются дополнительные возможности максимизации объема чистой прибыли специфическими средствами линейной оптимизации производственной программы При этом предварительное определение нелинейными методами суточ ных производительностей АВТ, каталитического крекинга и рифор минга почти не уменьшает реальное число степеней свободы линейнот модели. Вычислительная техника дифференциального исчисления обес печивает исследование на максимум чистой прибыли всего бесконечно го множества всевозможных сочетаний производительности указанных установок. Решение нелинейной модели оказывается чрезвычайно устойчивым. В то же время линейная оптимизация опирается всего на два-пять вариантов режима работы, которые лишь случайно могут выявить оптимальное сочетание производительности установок в пределах этого важнейшего комплекса. [c.518]

Затем обычными приемами дифференциального исчисления найдем 2т, при котором имевт максимум [c.105]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология