Метод штрафов

Метод штрафов является более универсальным, чем метод множителей Лагранжа, использование которого возможно лишь при стесняющем условии — выпуклости множества Л. В то же время применение метода штрафов имеет свои недостатки. Коэффициенты в общем случае должны неограниченно возрастать, что приводит к овражному характеру функции (х) и, следовательно, существенно усложняет выполнение ее минимизации. Кроме того, если множество Л не является ограниченным, точнее, если / (х), X Q не ограничена снизу, то выбор начальных величин [c.151]

Следует подчеркнуть, что для поиска условного экстремума функции многих переменных метод штрафов более экономичен, чем метод множителей Лагранжа, так как, во-первых, не приходится увеличивать число подбираемых величин и, во-вторых, он применим к более широкому классу функций. [c.194]

Метод штрафов . Если метод множителей Лагранжа можно трактовать геометрически как метод касательных (к границе Л) плоскостей, а метод уровней — как метод соприкасающихся сфер (или эллипсоидов), то традиционный метод штрафных функций можно назвать методом соприкасающихся параболоидов. В этом методе решения задачи (IV,1), ( ,3), (IV,5) рассматривается следующее однопараметрическое семейство определенных на Л функций [c.150]

К настоящему времени накоплен положительный опыт применения метода штрафных функций для решения ряда практических задач оптимизации. Вместе с тем в сложных задачах при большом числе нелинейных ограничений в виде неравенств, когда точка оптимума может лежать на границах нескольких из этих ограничений, применение способа штрафных функций дало недостаточно хорошие результаты. Дело в том, что неоднозначное изменение минимизируемой функции вследствие периодического появления или исчезновения отдельных функций штрафа приводит к систематическому, очень резкому изменению направлений антиградиента при этом истинное направление спуска теряется скорость спуска замедляется, а время решения на ЭВМ интенсивно растет. Иногда методом штрафов вообще не удается преодолеть зацикливания и получить решение задачи. [c.142]

Рио. 23. Геометрическое представление метода штрафов. [c.150]

Здесь рассмотрено обобщение метода множителей Лагранжа на случай невыпуклого множества Л, представляющее собой своеобразный синтез этого метода с методом штрафов при конечном значении штрафного коэффициента [66]. [c.152]

Остановимся теперь на поисковых алгоритмах, использующих принцип последовательной безусловной минимизации. В связи с тем, что алгоритмы, основанные на методе штрафов подробно изложены во многих работах [103, с. 333—381 104], приведем только алгоритмы метода уровней . [c.153]

Минимум функции (х) должен быть найден с высокой точностью, в противном случае при некотором к можно получить значение Цй + ц большее [х. Исследование этого метода и равнение его с методом штрафов было сделано в работе [105]. [c.156]

При этих условиях метод штрафов , как видно из табл. 25 и 26, оказывается в ряде случаев эффективнее метода уровней . Однако вопрос о предпочтении одного метода другому должен решаться с учетом рассмотрения практических задач. [c.159]

Рассмотрим задачу 1 (см. с. 228). Используем метод штрафов для того, чтобы учесть ограничения типа равенств. Тогда задача 1 сведется к следующей задаче [c.242]

В работе [158, с. 144—151] приведены результаты решения известной типовой задачи Отто и Вильямса с помощью различных методов оптимизации, в том числе метода штрафов , применение которого оказалось безрезультатным. Проведенное нами решение этой задачи посредством метода уровней позволило определить оптимальную точку для всех трех серий начальных значений варьируемых переменных. [c.162]

На первом уровне для численного решения может применяться любой из методов условной минимизации, например, метод штрафов . На втором уровне используется любой из методов безусловной минимизации. В общем случае на втором уровне к изменяются следующим образом [c.230]

Рассмотрим теперь ситуацию, когда некоторые из выходных переменных схемы фиксированы по условиям задачи. В случае применения методов, при которых к схеме подходят как к единому целому, наличие таких ограничений даже только в одном блоке существенно усложняет задачу, поскольку требует использования методов условной минимизации (например, метода штрафов ) для всей схемы. При применении описанных декомпозиционных методов указанные ограничения не намного усложняют решение задачи. Действительно, пусть в блоке т имеются ограничения на выходные переменные схемы [c.240]

Метод оптимизации, основанный на методе штрафов [c.242]

Фактически все изложенные способы приводят к трехуровневой процедуре оптимизации. Однако с помощью метода штрафов можно построить двухуровневые декомпозиционные методы. Действительно, построим сепарабельную штрафную функцию [c.244]

Несравним теперь метод штрафов с методом проектирования градиента. Метод штрафов значительно проще для реализации. Однако из-за того, что минимизируемая функция имеет овраг , он может в ряде случаев привести к медленной сходимости поиска. [c.78]

Однако существенное преимущество этого метода состоит в том, что здесь минимизируемая функция не имеет оврага (если, конечно, сама функция / не имеет оврага ) и на каждой итерации находится наилучшее направление движения прп соблюдении условий (111,2). Отсюда и скорость сходимости этого метода должна быть, вообще говоря, больше, чем у метода штрафов . [c.78]

Для решения этой общей задачи можно применять методы, которые были рассмотрены на стр. 80 и стр. 81. Так, если использовать метод штрафов , то поставленная задача сведется к эквивалентной задаче минимизации функции [c.82]

Для решения этой задачи можно применять метод штрафов и метод проектирования градиента, которые были рассмотрены в главе III. [c.128]

Поскольку метод штрафов не требует каких-либо пояснений, остановимся здесь только па методе проектирования градиента Далее, для простоты предположим, что р = п и функции F. (IV,131) имеют вид [c.128]

Для учета ограничений (IV,139) и (IV,140) воспользуемся развитием метода штрафов Введем функции [c.132]

Для сравнения та же задача решалась методом штрафов . В этом случае минимизировалась величина [c.140]

Сравнение метода, основанного на исключении одной из управляющих переменных, и метода штрафов показывает, что первый метод более эффективен как по количеству итераций, так и по точности выполнения фазовых ограничений. [c.141]

Второй вариант оптимальной задачи решался методом проектирования градиента и методом штрафов . [c.144]

Рассмотрим теперь метод решения оптимальной задачи с постоянной длиной интервала. Это решение осложнялось наличием фазового ограничения (IV, 174), для учета которого использован описанный выше метод штрафов (см. стр. 132). При решении была введена вспомогательная функция [c.147]

Такая интерпретация задачи поможет в дальнейшем строить, функции Р. Ниже изложены три метода конструирования функции Р метод штрафов , метод множителей Лагранжа и так называемый метод уровней.] [c.91]

Идея метода штрафов состоит в следующем сконструировать функцию Р (и, а) так, чтобы она резко возрастала при выходе точки, соответствующей аргументам функций Р, из области В. Тогда при минимизации функции Р изображающие точки не должны намного удаляться от области В. С учетом сказанного функция Р, построенная по методу штрафов, имеет вид [c.91]

Метод обобщенного критерия, называемый также ппогда методом штрафов , заключается в замене задачи отыскания условного оптимума с ограничениями типа равенств (IX,2а) задачей на отыскание безусловного оптимума некоторой новой целевой функции. В качестве новой целевой функции обычно используется выражепис [c.539]

Для решения задач минимизации функции многих переменных при наличии ограничений в виде нелинейных неравенств можно также применить весьма простой в части алгоритма и программы метод штрафов. Суть его заключается в том, что в случае нарушения указанных ограничений к минимизируемой функции прибавляется некоторая положительная величина, подсчитанная ка функция нарушенных ограничений. Тем самым такая система штрафов воздействует на направление изменения тех независимых переменных, которые привели к нарушению системы нелинейных неравенств. При выборе штрафной функции необходимо соблюдэть следующие условия 1) она должна быстро возрастать по мере нарушения ограничений в виде неравенства 2) она должна быть вогнутой, так как иначе могут появиться посторонние решения (локальные минимумы за пределами допустимой области изменения параметров). [c.141]

Таким образом, в методе штрафов символ operat означает на- [c.151]

Так как штрафная добавка обычно разрушает сепарабельность целевой функции, задача 1а не распадается в сумму блочных задач. Следовательно, для достижения декомпозиционности в схеме метода штрафов нужно организовать выполнение процедуры нижнего уровня, чтобы решение задачи 1а получалось в результате оптимизации отдельных блоков. Этого можно добиться несколькими способами. [c.243]

Пусть требуется найти минимум функции z (111,1) нри наличии ограничений в форме неравенств (111,3). Предложен ряд методов решения поставленной задачи. Здесь изложены три часто употребляемых метода метод Фельдбаума метод штрафов и метод проектирования вектора-градиента. [c.78]

Рис. 31. Сравнение точного оитимального решения с решением, полученным методом штрафов

Покажем, что метод Фельдбаума и метод штрафов при условии применения метода градиента приводят примерно к одному и тому же характеру движения в случае достаточно большого к. Действительно, внутри допустимой области Д 2 в соответствии с уравнениями (111,34) и (111,35) имеем [c.80]

Из сказанного видно, что метод Фельдбаума и метод штрафов примерно эквивалентны по быстроте сходимости. В заключение отметим, что из-за зигзагообразного движения изображающей точки при применении обоих методов скорость сходимости процесса часто становится недостаточной. [c.81]

Эта задача может решаться также методом штрафов , причем будет минпыпзироваться величина [c.130]

U на варьируемые параметры г/,, наложены ограничения (IV,136). Как показано ранее, условия (IV,131) эквивалентны условиям в виде равенств (IV, 133), наложенным на варьируемые параметры у . 1аким образом, задача свелась к задаче нелинейного программирования, приведенной в главе III. Для ее решения можно использовать метод штрафов , метод проектирования градиента, либо их комбинацию. Часто ограничения (IV,136) носят более простой вид [c.130]

При применении метода штрафов максимизировалась величина [c.144]

Аналогично предыдущему варианту изображающая точка за три итерации спустилась на поверхность ограничения. Как и предполагалось, движение вдоль поверхности ограничения (IV,172) было зигзагообразным и максимизируемая велцчина увеличивалась крайне медленно. Другими словами, в атом случае метод проектирования градиента оказался значительно эффективнее метода штрафов . [c.145]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология