Метод градиентов

Чтобы решить задачу отыскания области оптимальных условий ведения процесса, используют метод градиента, но при этом в отличие от классического приема отыскания кратчайшего направления градиента путем сравнения пробных шагов по каждому из варьируемых факторов, направление градиента определяют с помощью методов дробного или полного факторного эксперимента. Такое сочетание позволяет в условиях случайных возмущений проводить поиск оптимально. Из векторного анализа известно, что градиентом функции отклика г/ = / х , [c.158]

Таблица 4.6. Результаты использования метода градиента (метод крутого восхождения) [ 75]

Традиционный метод градиента основан на линейной аппроксимации поведения функции вблизи исходной точки. Существует большое число модификаций градиентного метода, в которых применяется нелинейная аппроксимация поведения функции вблизи исходной точки. В методах нелинейной аппроксимации поиск состоит из двух чередующихся этапов 1 — нелинейная аппроксимация вблизи исходной точки, аналитическое определение улучшенного решения по нелинейному параболическому уравнению 2 — перемещение для поиска в найденную улучшенную точку [4]. Такой метод использован, в частности, при определении 10 коэффициентов математического описания платформинга [51. [c.190]

Рпс. 1Х-25. Поиск оптимума методом градиента с постоянным шагом при наличии оврага . [c.519]

Были проведены расчеты по методу градиента с целью оптимизации температуры, давления, состава впрыскиваемого продукта и [c.181]

В методе градиента направление шага обусловливается величинами частных производных оптимизируемой функции в рассматриваемой точке. Всегда следует иметь в виду, что градиент ортогонален к поверхности постоянного уровня функции цели только в точке его вычисления, да и то с определенным приближением, поскольку производные обычно находятся с помощью приближенной формулы (IX, 33). [c.496]

Рис. 1Х-12. Характер движения к оптимуму в методе градиента с мало (а) и большой (б)

Рнс. IX-36. Сравнение метода градиента и метода случайных направлений / — область более высокого быстродействия метода случайных паправлепий // — область более высокого быстродействия метода градиента. [c.546]

Формула (IV,103) лежит в основе метода проектирования градиента [31, с. 134—135]. Ясно, что этот метод по скорости сходимости эквивалентен методам градиента и наискорейшего спуска при отсутствии ограничений. Поэтому интересно обобщить на данный случай методы переменной метрики, дающие большую скорость сходимости. [c.192]

Методы направленного поиска позволяют избежать этого недостатка. Рассмотрим градиентный метод для определения экстремума функции 5 (с(жо), Т хо), и,(Хо), с х), Т(х), v,(x), f(r, х), Vi r, х), Р х)) при отсутствии каких-либо ограничений. Процесс оптимизации по методу градиента заключается в определении направления наискорейшего изменения функции и некотором перемещении по этому направлению в прямую или обратную сторону. Направление наискорейшего изменения функции определяется направлением вектор-градиента оптимизируемой функции. Существенной чертой определения наискорейшего изменения является численное вычисление производных функций д /дс ха), д 1дТ хо), d ldv, xa),. .., которое производится следующим способом д 1ду х ) = [ с хо),. .., yi(Xo)+At/i,. .., Ui(Xo), с(х), Т(х), u x), f r, х), Уг г, х), Р х),. . . ) с Хо), У Х ), , UiUo), с, Т, UJ, /, U2, -.. )]/A /j, где Ai/j— приращение по оптимизируемому параметру, шаг изменения у, у, может быть любым из (Xo), Т Хо), vJ Xa),. ... в качестве шага по оси у выбирают [c.361]

Перейдем теперь ко второй группе методов. Часто используемый прием — это соединение метода Ньютона с одним из методов, имеющих более широкую область сходимости, например, с методом градиента. Тогда вначале работает метод градиента, а метод Ньютона применяется на последнем этапе минимизации, когда с помощью метода градиента уже получено хорошее начальное приближение. [c.269]

Здесь будут рассмотрены наиболее распространенные методы спуска метод градиента и метод наибыстрейшего спуска. [c.66]

Таким образом, задача сводится к отысканию минимума функции п переменных F (iJ) (Iq)). Поиск этого минимума можно выполнить при помощи одного 1ГЗ методов нахождения экстремума функции конечного числа переменных. Отметим, в частности, что при использовании метода градиента на каждой итерации необходимо п раз решать систему 2п порядка (для определения п производных оптимизируемой величины). [c.188]

Будем двигаться по /с-ой прямой с постоянным шагом в сторону уменьшения функции / до тех пор, пока в последующей точке функция f не станет больше, чем в предыдущей. После этого поделим шаг пополам и продолжим аналогичный процесс из точки, где функция / приняла наименьшее значение и т. д. Условия окончания поиска минимума на /с-ой прямой можно принять в данном случае такими же, как условия (П1,12) в методе градиента. [c.70]

Если применить для минимизации таких многоэкстремальных функций метод градиента или наибыстрейшего спуска, то поиск может окончиться в одном пз локальных минимумов, если начальная точка не лежит в области притяжения [c.71]

Описанные выше локальные методы градиента и наискорейшего спуска малоприменимы для минимизации функций, имеющих овраги . Действительно, рассмотрим, например, использование метода градиента для минимизации функции, линии уровня которой изображены на рис. 23. Пусть закон изменения коэффициента пропорциональности Ш дается формулой (111,13) и спуск привел в точку Л1- Направление вектора-градиента перпендикулярно касательной к линии уровня в данной точке. Поэтому в результате шага по направлению антиградиента следующей точкой спуска может оказаться точка А а, расположенная на другом склоне оврага , в которой функция принимает большее значение, чем в точке А х- Вследствие этого [см. формулу (П1,13)] коэффициент Ш поделится на два, хотя изображающая точка находится далеко от минимума. Такая ситуация может повториться несколько раз в результате шаг сделается достаточно малым и поиск либо остановится в соответствии с критерием (П1,12) далеко от минимума, либо продолжится с очень малой скоростью. [c.73]

Для того чтобы не происходило остановок поиска далеко от минимума, можно изменить метод градиента следующим образом. Пусть последовательные приближения по-прежнему подсчитываются по формулам (1П,10), но коэффициент Ы в процессе поиска пока не меняется. Тогда изображающая точка будет двигаться в пространстве так сначала она спустится к оврагу , а потом начнет переходить с одного склона оврага на другой, медленно передвигаясь к минимуму (см. рис. 23). Около минимума направленно движение точки прекратится и она будет беспорядочно колебаться около минимума. Только затем коэффициент /г- можно уменьшить, после чего продолжить описанный процесс заново и т. д. [c.73]

Внутри области выполнения условий (111,3) спуск производят обычным методом градиента. При нарушении некоторых из условий (1П,3) изображающая точка движется по направлению, противоположному направлению вектора-градиента суммы тех функций фу, для которых условия (П1,3) не выполняются. Закон движения запишется в этом случае следующим образом [c.79]

Используя формулу (111.10) метода градиента для функции [c.80]

Анализ описанных методов спуска показывает, что наиболее трудоемкой частью расчета при проведении спуска является определение производных функции f (и ,. . и . Эти производные вычисляют либо на каждом шагу, как в методе градиента, в задачах с ограничениями, либо через некоторое количество шагов, как в методе наискорейшего спуска. [c.83]

Последовательные приближения (IV, 129) при применении метода градиента вычисляются по формулам [c.127]

Т ). Для поиска применяли метод градиента с подстройкой коэффициента пропорциональности, учитывающий [см. выражение (111,10) и (111,15)1 ограничения типа (IV,175). Необходимые производные [c.147]

Недостатком градиентного поиска является то, что при его использовании можно обнаружить только локальный м н п и-м у м г елевой функции. Для того чтобы найтн у функции другие локальные минимумы, необходимо производить поиск из других начальных гочек. Таким образом, с помощью метода градиента каждый лока.л1)Ный минимум целевой функции можно охарактеризовать некоторой областью притяжения , обладающей тем свойством, что при задании начального состояния в границах этой области метод градиента всегда приводит в один и тот же локальный минимум. [c.497]

Пр][ применении метода градиента на каждом шаге нужно определять значения всех частных производных оптимизируемой функции по всем независимым переменным. Е]сли расчет одного значения данной функции требует значптельг[ого объема вычислений, то время поиска оптимума, особенно при большом числе независимых переменных, может быть весьма большим. [c.497]

Уравнение (IX,73), как и аналог метода градиента в форме уравнений (IX,51), можно применять для отыскания экстремальных точек целевой функции R (х), определяемых его интегрированием. В0си0Л1)30вавшись конечно-разностными выражениями для производных, нетрудно записать также и дискретный аналог этого алгоритма. [c.503]

При использовании метода градиента с переменной величиной niara в случае спуска на дно оврага шаг может также уменьшиться насто.чько, что поиск прекратится па большом расстоянии от минимума. Если же в методе градиента применяется постоянный шаг, то ири этом возникает рыскание по склонам оврага (рис. 1Х-25) и иеремеигение к минимуму ироисходит с весьма малой скоростью. [c.519]

Сделана попытка сравнить методы градиента, папскорейшего спуска и поочередного изменения неременных для функции цели квадратичной формы. Показано, что средние потери иа поиск для всех этих методов примерно одинаковы, если принять, что в методе градиента и методе поочередного изменения переменных используется одни и тот же шаг спуска. [c.545]

Рассмотрим градиентный метод для простейшего случая определения экстремума функции многих переменных 3(л ь Хг,..., Хп) при отсутствии каких-либо ограничений. Процесс оптимизации по методу градиента заключается в определении направления наискорейшего изменения функции 3 и в некотором перемешенин по этому направлению в прямую или обратную сторону. Направление наискорейшего изменения функции определяется направлением вектор-градиента оптимизируемой функции, которое всегда совпадает с направлением возрастания функции. Компонентами градиента дЗ/дХ° в какой-либо точке рассматриваемой области, заданной параметрами (л °, х°,. ... л °), являются частные производные функции д31дх°, дЗ дх, д31дх°. Отметим, что градиент дЗ/дХ° всегда перпендикулярен к поверхности равных значений функции 3 в рассматриваемой точке. [c.128]

Бокс предложил пользоваться при оптимизации методом градиента, или скорейшего спуска В окрестности выбранной точки ставятся четыре опыта—два при постоянном давлении и два при постоянной температуре. Затем рассчитывают направление, в котором конверсия возрастает наиболее быстро, т. е. нахс яг направление градиента конверсии. С этой целью новые опыты при новых значениях давления и температуры проводят до тех пор, пока не будет достигнуто увеличение выхода. Далее снова находят направление градиента при помощи четырех измерений в окрестности последней полученной точки и проводят исследования в этом направлении. [c.362]

Методы второго типа — это методы градиента, наискорейшего спуска, Ньютона—Рафсона и их модификации. Методы третьего типа, связанные с вычислением вторых производных, не находят широкого применения из-за трудностей вычисления вторых производных. Здесь можно упомянуть лишь метод Флетчера—Пауэлла, который является методом первого порядка, но использует оригинальную аппроксимацию вторых производных Дэвидона, чем обеспечивает более высокую скорость сходимости, чем градиентные методы. [c.179]

Варьирование координат при итерациях осуществляется по-разному. Пафтали [51] и Нойман [52] применяют одновременное изменение всех координат в соответствии с методом градиента при П1нимизации свободной энергии или с его модификацией. [c.28]

Один из таких методов, тоже сугубо эмпирический, был предложен Бароши [152]. Согласно этому методу, градиент потерь давления на преодоление сил трения в двухфазном потоке определяется по формуле [c.87]

При применении метода градиента направление движения в каждой точке JJi последовательности (111,4) совпадает с направлением напбыстрейшего убывания функции /, т. е. с направлением антиградиента функции/ . Величины Аи в данном случае пропорциональны (с обратным знаком) компонентам вектора-градиента и поэтому итерационная формула (111,7) имеет вид [c.66]

Как видим, характер спуска здесь аналогичен характеру спуска при применении метода градиента [см. уравнение (1П,10) при = onst = 1,. . ., г] [c.79]

Покажем, что метод Фельдбаума и метод штрафов при условии применения метода градиента приводят примерно к одному и тому же характеру движения в случае достаточно большого к. Действительно, внутри допустимой области Д 2 в соответствии с уравнениями (111,34) и (111,35) имеем [c.80]

Пусть в начальной точке С/ выполняются все неравества (111,3). Начнем минимизировать функцию / из точки 7 одним из методов спуска , не учитывающим ограничений. Примем для определенности, что это будет метод градиента. [c.81]

Процесс поиска оптимального управления можно выполнить методом градиента аналогично тому, как это деялось в предыдущем случае. Отрезок tgtl разбиваем точками 1,. . ., на части, на которых и (О определяем попеременно условиями ( 11,24) или ( 11,25). Предполагаем,%что N выбрано достаточно большим и ( 1) рассматриваем как функцию переменных 1,. . Частные производные 5x1 ( )/5 ,, как и прежде, вычисляем по формулам (IV,130). [c.183]

Если для оптимизации схемы (см. рис. 42) применять неносред-ственно метод градиента, то потребуется определять производные [c.197]

Однако в случае движения по градиенту, вычисленному с помощью формул (VIII,33), шаг поиска делается по направлению наибыстрейшего роста функции Ф при условии, что все связи ( 111,27) между звеньями выполняются в линейном приближении. Поэтому при использовании метода градиента необходимость в процедуре последовательных приближений возникает не на каждом шаге поиска, а периодически через несколько шагов, число которых определяется степенью некорректности линейной аппроксимации соотношений ( 111,26) и величиной шага поиска. Сама процедура последовательных приближений на всех шагах, кроме первого, окажется в значительной степени облегченной и потребует малого числа итераций, поскольку последовательные приближения начинаются из точки, близко расположенной к поверхности, задаваемой равенствами ( 111,27). [c.206]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология