Функции многих переменных

Математическое описание каталитического крекинга в движущемся слое использовано для определения режимов действующей установки, максимизирующих выходы бензина и суммы светлых углеводородов. Для поиска оптимума использовали программу поиска экстремума функции многих переменных [1]. При поиске подбирали следующие режимные показатели производительность установки, температуру сырья на входе в реактор, температуру катализатора на входе в реактор, циркуляцию катализатора. Подбор осуществляли внутри диапазонов, определяемых технологическими ограничениями по производительности 35—50 т/ч, температуре сырья на входе в реактор 455—490°С, температуре катализатора на входе в реактор 480—530°С и кратности циркуляции катализатора 75—110 т/ч. Результаты расчетов поиска оптимальных условий выходов бензина и суммы бензина и дизельного топлива приведены в табл. 19. [c.142]

Сравнение методов Зайделя — Гаусса, симплексного и других показывает, что для поиска экстремума функции многих переменных эффективен лишь активный поиск по наиболее короткому пути от исходной точки к экстремальной области- Такой поиск в общем случае разбивают на следующие три этапа [c.186]

Экстремумы функций многих переменных [c.92]

Особые точки и линии целевой функции. Как известно (см. главу 111), необходимым условием экстремума функции многих переменных является выполнение системы равенств [c.484]

Аналитические методы сводятся к непосредственному определению параметров точки экстремума функции многих переменных. Легко установить необходимые условия экстремума. Если изменять только один из X, например х- , то у будет функцией только одной переменной с экстремумом в точке х = Х - Но в этой точке производная у по х, должна обратиться в нуль. Следовательно, для функции многих переменных необходимые условия экстремума запишутся в виде [c.177]

Первый член в последней скобке представляет относительное сопротивление жидкой, а второй — газовой фазы. Поскольку коэффициенты массоотдачи /Ср и /с являются функциями многих переменных, то из (11.43) можно заключить, что на сопротивление массопередаче воздействует не только равновесный коэффициент т, но и другие условия процесса. [c.77]

Частная производная, развернутая по известному отношению между частными производными от функций многих переменных [2], может быть написана следующим образом [c.127]

Метод сканирования длителен, но осуществим для функции одной переменной- Если ж(з его применять для функции многих переменных, то число расчетов оказывается столь большим, а их осмысливание настолько затруднительным, что практическое использование этого метода становится, как правило, бессмысленным- Так, если у t (ж , и можно проверить каждый из х в р точках, то у придется определять раз для к переменных необходимо у опреде.лить р раз. [c.184]

Для непрерывной функции многих переменных R R [xi , х. ,. , . , Хп) [c.92]

Скорость химической реакции является функцией многих переменных параметров системы, таких как, например, температура, состав реагирующей смеси и т. д. Для определенной реакции вид этой функциональной связи не зависит от способа определения скорости реакции. При изменении этого способа следует ввести в выражение скорости реакции коэффициент пропорциональности. [c.206]

Следует подчеркнуть, что для поиска условного экстремума функции многих переменных метод штрафов более экономичен, чем метод множителей Лагранжа, так как, во-первых, не приходится увеличивать число подбираемых величин и, во-вторых, он применим к более широкому классу функций. [c.194]

Очевидно, 5 = 8 (К), з = з (К), и целью подбора констант является нахождение такого вектора Ко , при котором значение 8 или з будет минимальным. Естественный путь решения этой задачи ([7], см. также гл. VII—X этой книги) заключается в задании плохого набора констант Ко, расчете при этом наборе значения з и далее поиске минимума 8 как функции многих переменных. Методы поиска минимума я будут рассмотрены в главе VI. Здесь же отметим следующее. В силу ошибок измерения величин [c.43]

Другой возможный метод нахождения решения нелинейной системы (У.1) заключается в переходе к поиску экстремума функции многих переменных. Если ввести такую функцию Р, что [c.144]

Существует большое число модификаций градиентного метода поиска экстремума функций многих переменных, учитывающих искривление поверхности градиента или то, что при попадании на гребень ( овраг ) движение по градиенту оказывается медленным и неустойчивым. Данные о применении этих методов для расчетов равновесных составов имеются в обзорных работах [15—-17]. [c.110]

Пример У1-3. Определение экстремума функции многих переменных методом наискорейшего спуска. [c.219]

Поисковые методы для функции многих переменных [c.184]

Задача поиска экстремума функции многих переменных, заданной уравнением у = 1 х, ), значительно сложнее, [c.184]

Поисковые методы экстремума функции многих переменных принято делить на локальные и нелокальные. Первая группа [c.184]

Рассмотрим выполнение этих этапов для функции многих переменных- [c.186]

Довольно просто можно обобщить рассматриваемую процедуру стохастической аппроксимации на случай поиска экстремума функции многих переменных. Такой поиск можно осуществлять обычным градиентным методом. Его итерационная процедура для детерминированного поиска охарактеризована выше (стр. 189). При стохастической аппроксимации выбор величин х- ,. .., х па шаге п + 1 поиска проводится по соотношению вида (VI.23) для каждого из X. [c.198]

Уже отмечалось, что производные 1 по х ж х можно найти методами численного интегрирования. Решение последней системы относительно величин х во всех промежуточных точках экстремали дает решение вариационной задачи. Хотя такое решение достаточно сложно (см- поиск экстремума функции многих переменных), оно требует меньших затрат машинного времени, чем решение краевой задачи. [c.214]

Применение метода наискорейшего спуска (подъема) в экспериментальных исследованиях для определения оптимальных условий осуществления процесса рассмотрено в главе I. Определение экстремума функции многих переменных, когда эта функция находится не в результате эксперимента, а при расчете по математическому описанию, рассмотрим на примере расчета констант скоростей по результатам эксперимента. [c.219]

Подчеркнем, что при поиске экстремума функции многих переменных последовательность поиска остается той же. Вначале по точкам I и а, находят вектор А . [c.223]

Математическое описание каталитического крекинга в движущемся слое использовано для определения режимов действующей установки, максимизирующих выходы бензина и суммы светлых углеводородов. Для поиска оптимума использовали программу поиска экстремума функции многих переменных (см. главу VI). [c.369]

Аналогично для функции многих переменных ф(г/, Хи. .., Xk) =0 [c.69]

Поисковые методы, и соответственно методы нахождения равновесных составов по системам типа (П1.2), можно разделить на две основных группы 1) прямой поиск, когда при помощи некоторой итерационной процедуры ищут непосредственно решение системы (III.2) 2) непрямой поиск, когда используют хорошо разработанные и достаточно универсальные методы нахождения экстремума функции многих переменных Ф при этом нужно сформулировать такую функцию составов Ф(Л/ь. .., Л р), чтобы равновесный состав N1,.... Ир определял экстремум этой функции. [c.106]

Непрямые методы основаны на переходе от решения системы алгебраических уравнений к объединяющей их функции многих переменных. Так, если ввести следующие функции [c.108]

Методы поиска экстремума функции многих переменных хорошо разработаны, и их применение оказывается более простым, чем применение прямого метода поиска. Наиболее часто используют какой-либо вариант градиентного поиска. [c.109]

Рассмотрим выполнение этих двух этапов для функции многих переменных общего вида Ф = Ф(л 1.....Хр). Если вблизи исходной точки аппроксимировать сложную зависимость ф=ч = Ф(хь. ..,л р) линейным уравнением [c.109]

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Если [c.131]

В общем случае уравнения функциональных связей представляют собой неявные функции многих переменных вида [c.41]

Еш е более важное зпачение приобретает выбор метода численного анализа при решении задач оптимизации. Поиск оптимума функций многих переменных является обычно задачей крайне трудоемкой, поэтому эффективность использования различных методов зависит от класса функций и накладываемых ограничений [1]. [c.33]

Важным этапом в решении задач обработки экспериментальных данных является выбор метода отыскания наилучших значений параметров искомой зависимости. По существу задача определения наилучших значений параметров зависимости, минимизирующих определенную оценку, является задачей минимизации функции многих переменных. В тех случаях, когда искомая зависимость ищется в форме нелинейной функции, решение этой задачи может представить определенные трудности, поскольку приходится применять общие методы решения задач отыскания минимума функции лшогих переменных — методы нелинейного программирования [1]. Лишь когда искомая зависимость Р (х , а ,..., а ) является линейной функцией параметров aj (/ = 1, 2,..., з), например, при отыскании аппроксимирующего полинома, наилучшие значения параметров а ( = 1, 2,..., х), в особенности при использовании критерия оценки среднеквадратичного отклонения (11—8), могут быть найдены относительно просто, для чего используется метод, называемый методом наименьших квадратов (см, стр. 319). [c.299]

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Пусть у = ф(х, Оц, (XI,... а ) является дифференцируемой [c.92]

Необходимым условием экстремума функции многих переменных, как известно является равенство нулю дифференциала этой ( 1унк-ции в экстремальной точке, т. е, [c.140]

Функции многих переменных могут иметь овраги с размерностью, превышаю1цей 1. Наглядное графическое изображение таких случаев отсутствует, однако формально многомерный овраг можно определить как область значений независимых переменных, в которой функция R (х) вдоль нескольких направлений в п-мерном пространстве имеет малую скорость изменения, тогда как вдоль остальных направлений скорость изменения этой функции сравнительно высока. [c.484]

Приведенные выше методы оптимального гюиска для функций многих переменных имеют малую эффективность при наличии оврагов у целевой функции. Для примера рассмотрим функцию двух переменных [c.518]

Рассмотренные методы минимизации функции многих переменных имеют универсальный характер. Однако для минимизации функций вида (3.137) наиболее эффективны методы, учитывающие нх специфику. Так, можно получить разумное приближение к матрице вторых производных в цену вычисления лишь градиента. Рассмотрим такой подход на примере минимизации суммы квадратов. Пусть требуется минимизовать [c.222]

Хотя условие равновесия можно записать в форме MnnHMy ма О (или F) или в форме закона действующих масс, не следует думать, что эти формы принципиально различаются. В обоих случаях используют одни и те же общие соотношения химической термодинамики и термодинамические функции веществ Но метод минимизации О (или F) формулируется таким образом, что он непосредственно подготовлен для использования процедуры нахождения решения численным методом на ЭВМ путем поиска минимума функции многих переменных и программируется так, что не требует последовательного выполнения этапов А — Г традиционного подхода. [c.113]

При выполнении вариантов расчета после достижения определенного значения п следует вычисление как функции п и х, причем г определяется факторами Ка и а. Оба указанные фактора являются в свою очередь сложными функциями многих переменных. Величины этих факторов не могут быть надежно определены в отдельности в независимых опытах и затем использованы для расчета производственного барабанного фильтра. По-видимому, значение 1=Сг+1/сг может быть надежно определено только в опытах при разделении данной суспензии в установленных условиях на производственном фильтре в виде функции от п. При этом приобретает характер макрофактора, измеряемого с достаточной для практики точностью при условии, что величины +1 и сг в опытах на производственном фильтре возможно установить однозначно. Однако не следует забывать, что на барабанных фильтрах с внещней поверхностью фильтрования существует между зонами образования осадка и промывки небольшая зона обезвоживания это несколько влияет на величины с,+1 и с.-. [c.229]

При нахождении экстремума унимодальных трансцендентных функций многих переменных, выраженных в неявном виде, а также при обработке результатов оптимизации о.чень удобен метод независимого спуска, предполагающий подобие симплексной записи целевой функции в подобластях. Структуру предлагаемого метода проследим по БС — МНСР (рис. 85). Поиск экстремума (согласно схеме минимума) целевой функции включает в себя три осиопных последовательных этапа [c.286]

Предлагаемый метод может применяться при поиске экстремума лишь тех целевых функций, для которых сохраняется подобие их симплексной записи во всей области изменения переменных, что является главным недостатком метода. Но даже и в этом случае можно использовать метод для предварительного ограничения, сужения облаати поиска экстремума, в особенности для функций многих переменных, с последующим уточнением экстремальной точки другим методом. [c.290]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология