Численное решение

Численное решение одномерных уравнений материального и теплового баланса с учетом процессов продольного переноса вещества и тепла и реакции первого порядка с аррениусовской температурной зависимостью проведено в работе [c.305]

Раздел V.9. Относительно вопросов численного решения дифференциальных уравнений см. [c.118]

Проблемы численного решения полной системы уравнений в частных производных, описывающей неподвижный слой катализатора, обсуждаются в приведенной выше статье Бика. Уравнения массо- и теплопереноса в цилиндрическом слое сферических частиц с реакцией, описываемой линеаризованным кинетическим выражением, решены в работе [c.301]

Метод Рунге — Кутта, конечно, не является единственным методом численного решения, но на его примере видны характерные черты всех методов. Более подробное изложение вопроса можно найти в руководствах по численным методам (некоторые из них упомянуты в библиографии в конце главы). [c.116]

B. Э. M илн, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955. [c.118]

Исторически в исследованиях наибольшее распространение получил метод физического моделирования, согласно которому связи между физическими величинами устанавливаются только в пределах данного класса явлений. В таком случае основные уравнения, опис ыв щие процесс, преобразуются в группу критериев подобия, которые являются инвариантными к масштабам реактора. Это позволяет результаты исследований на модели переносить (масштабировать) на промышленный аппарат. Поскольку химический процесс характеризуется одновременно р личными классами физических и химических явлений, то при физическом моделировании его с изменением масштаба физической модели реактора инвариантности критериев подобия достичь не удается. Стремление сохранить при изменении масштабов постоянство одних критериев приводит к изменению других и в конечном счете к изменению соотношения отдельных стадий процесса. Следовательно, перенос результатов исследования с модели реактора на его промышленные размеры становится невозможным. При математическом моделировании указанное ограничение автоматически снимается, так как необходимости в переходе от основных уравнений к форме критериальной зависимости здесь нет, нужно иметь лишь описание химического процесса, инвариантного к масштабам реактора. При этом количественные связи, характеризующие процесс, отыскиваются в форме ряда чисел, получаемых как результат численного решения на электронных вычислительных машинах. [c.13]

Численные решения уравнения Навье - Стокса для промежуточных значений критерия Рейнольдса. Численное решение задачи обтекания твердой сферической частицы впервые проводилось Кавагути [20], который применил конечно-разностный метод, используемый в работе Тома [21] для течения вокруг цилиндра при Re= 10. В дальнейшем этот метод был усовершенствован и в ряде работ развит в релаксационный метод (метод Саусвелла), - см., например, [22]. Дженсоном [4] метод Саусвел-ла был применен к решению уравнений Навье—Стокса для течения вокруг сферы при Re = 5 10 20 и 40. Хамилек с соавторами [23], используя ту же разностную схему, что и Дженсон, построил решение для Re <100. Решение уравнений Навье - Стокса при Re <100 можно найти также в работе Симуни [24], где стационарная задача обтекания сферы рассмотрена с использованием разностной схемы для нестационарных уравнений методом установления. [c.19]

Перри и Пигфорд [4] получили величины мгновенных коэффициентов абсорбции вплоть до значений /к//р = б. К сожалению, для получения средних скоростей абсорбции, по данным этих авторов, необходимо графическое интегрирование. К тому же исследованный интервал значений довольно узок. Хотя выводы из полученных в данной работе результатов скромны, тем не менее следует отметить, что работа Перри и Пигфорда является первым вкладом в область численного решения рассматриваемой проблемы. [c.73]

Рассмотренная в разделе 6.2 проблема не является общей, вследствие заложенного в ее основе частного кинетического уравнения (6.7). Другими ограничениями являются предположение о необратимости реакции и допущение <7=1, которое было рассмотрено в численных решениях (второй порядок реакции не под- [c.74]

Аналитическое решение уравнения (6.14) наталкивается на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений. [c.185]

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ [c.390]

Симплексный метод приводит к численному решению. Аналитического решения не существует, так как положение оптимума не является постоянной функцией переменных [6]. [c.328]

Для наилучшей наглядности, как и при линейном программировании, следует рассмотреть случай с двумя переменными, причем привести также логический ход какого-либо численного решения. Целевая функция может быть представлена линией уровня в плоскости Здесь линия уровня отклоняется от целевой [c.331]

Развитую, легко дифференцирующуюся форму функции (15-60) можно и не получить, а для оптимизации необходимо найти численное решение этой функции. Ступени А и В численного решения градиентным методом приведены> в табл. 15-1, пз которой следует, что значение целевой функции по самому крутому пути, соответствующему ступеням А — В уменьшается от 3150 до 2988. [c.335]

Наличие малого параметра при старшей производной для больших значений Ре создает значительные математические трудности при численном решении уравнения (4.42) даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ. [c.180]

Вычисление С по формуле (4,57) с семью членами ряда ) дает хорошее приближение при г>10 . При г<10 необходимо брать большее число членов. В приложении 3 приведены значения С, начиная с 7 = = 4- 10 " , полученные непосредственно численным решением на ЭВМ уравнения (4.53) при условиях (4.56) (условия (4.56) выполняются при/3 = 0, 6- =0). [c.184]

Значения и, определяемые рядами (4.58) и (4.60) с семью и пятью членами, совпадают в широком диапазоне значений критерия Фурье. Однако численное решение уравнения (4.5 3), приведенное в приложении [c.186]

Как следует далее из рис. 4.2, средние по времени значения критерия Шервуда, полученные из численного решения уравнения (4.42) при Ре = = 20 40 и 80, совпадают со средними значениями критерия Шервуда при Ре = 0 при т = 0,04 0,017 и 0,008. При малых т среднее значение критерия Шервуда при Ре = 0 может быть рассчитано по формуле (4.40). Для данных значений т имеем Xg = 0,989 0,849 0,677 <7(Хэ)=2,23 2,29 2,39 и, соответственно, Гц/г = 5,5 6,4 и 7,5. Поэтому в данном случае вьшолняется оценка (4.68). [c.187]

На рис. 4.5 приведена зависимость 8Ь от г при Ре = О, рассчитанная по формуле (4.40), — кривая 4. Численному решению уравнения (4.24) соответствует кривая 3. Из сопоставления кривых Зп4 следует, что при г = 6,5- 10 величины отличаются незначительно. Поэтому область применимости уравнения (4.40) с точностью до нескольких процентов определяется неравенствами [c.188]

При численном решении уравнения (4.127) при условиях (4.128) вначале интегрировалось обыкновенное дифференциальное уравнение [c.202]

Возможность применения приближенного метода равнодоступной поверхности проверялась в работе [398] на примере численного решения задачи массообмена сферической частицы, осложненного гетерогенной химической реакцией первого порядка. [c.273]

Краевые условия (8.15), (8.16) соответствуют случаю, когда требуется определить степень извлечения для заданной высоты колонны Н. Численное решение краевой задачи требует значительного машинного времени. Меньшее время требуется для расчета высоты противоточной колонны, соответствующей заданной степени извлечения (охлаждения) [c.302]

Таблицы численных решений уравнений (8.14), (8.20) приведены в приложении 2. [c.303]

Рассматриваемая математическая проблема даже в рамках модели пленочной теории очень сложна. Поэтому, получить аналитическое решение проблемы в paMKa. i пенетрационной теории пока невозможно. Правда, для рассматриваемой проблемы применимы численные методы и современная вычислительная техника позволяет довольно легко получать численные решения. [c.72]

Численные решения были проведены Перри и Пигфордом [4], Брианом и Хассельтаймом [5] и Пирсоном [6], Рассмотрим кратко эти решения. [c.73]

О,со) от Ьа11рс й) -Величина последней переменной достигает в большинстве случаев 7. Значение Ьц/сд варьируются от 0,1 до 5,0 (этот верхний предел довольно низок) значения Ог// варьируются от О до 5 (случай 02 = О кажется не имеет физического смысла). Маловероятно, чтобы численные решения такого рода были использованы для целей проектирования. Их полезность заключается главным образом в возможности сравнения с величинами, получающимися из уравнения (6.21), которое практически используется для расчетов. В этом отношении представляется довольно исчерпывающей работа Бриана, Хорли и Хассельшайма и по результатам этой работы может быть рассмотрена применимость уравнения (6.21). [c.74]

Гоеттлер и Пигфорд [4] исследовали рассматриваемую в этой главе проблему в режимах быстрой реакции и в переходном режиме от быстрой к мгновенной реакции. Был рассмотрен ряд проме-, жуточных случаев, поскольку реагируют два газа, которые могут иметь различные значения констант скорости k . Действительно, если константы скорости сильно различаются, то при промежуточных значениях времени диффузии для обоих газов может реализоваться не один и тот же режим абсорбции. В частности, если условия мгновенной реакции применимы только для одного газа, то концентрация b жидкого реагента в окрестности границы раздела фаз равна нулю, но другой газ диффундирует за фронтальную плоскость реакции. Привлеченный для решения этой проблемы математический аппарат довольно сложен и Гоетлером и Пигфордом быЛо получено только численное решение для выбранного ряда значений величин, подходящих безразмерных параметров. Общее поведение пока описывается лишь качественно, просто на основе известных физических представлений. [c.115]

Функции /, в предетавляющей интерес области. обычно нелинейны и непрерывны по У/, Х , Х2,. .. Х , СГ,- и Для нахождения численного решения системы (2.1 или корней уравнений (2.2) требуется задание констант О , б/ и входных переменных Х , Х ,. ..,. Число выходаых параметров У/ должно быть равным числу уравнений (2.1) или (2.2). [c.15]

Решение дифференциальных уравнений для двухмерного зернистого слоя представляет значительные трудности. В работе [128] получено численное решение с учетом экзотермической реакции в слое с сильным тепловьш эффектом, однако расчетная разница температур фаз не превышает 2°С при максимальной разности температур слоя и стенки трубы 52 °С.. Определение коэффициентов теплопроводности в зернистом слое на основе двухфазной модели [44] дало результаты на 4% выше, чем для квазигомогенной модели, в интервале Re, = 40 — 500. [c.170]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполиения гранпч1п11х условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы попять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных мап]пнах. [c.215]

Уравнения (9.17) и (9.26), описывающие одномерные процессы совместного течения двух несжимаемых фаз и известные как уравнения Рапопорта-Лиса, представляют собой нелинейные уравнения параболического типа второго порядка. Точные рещения этих уравнений получены лищь для некоторых сравнительно простых частных случаев [7]. Получены инвариантные решения (типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также численные решения на ЭВМ [3, 33, 34, 51, 77]. [c.260]

Указанные системы уравнений были численно решень с использованием данных табл. 2.3. Результаты расчетов сведены в табл. 2.4, где Е, Дж/моль - кажущаяся энергия активации Д - абсолютное значение (в %) среднего отклонения расчетных концентраций серы в продукте (от измеренных в эксперименте) [c.73]

Об этом свидетельствует большое число публикаций, связанных с выявлением основных факторов, влияющих на эффективность работы катализатора в реакторах малого масштаба. К этим факторам относятся массо- и теплоперенос в слое, режим течения жидкой и газовой фаз, радиальное и продольное перемешивание, высота слоя и размер гранул катализатора [ЗО, 63, 64, 119, 120], Неучитывание этих факторов может привести к получению искаженных результатов и соответствующим ошибкам при получении данных для численного решения уравнений математического описания. [c.90]

В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных.решению проблем математического моделирования слоя катализатора с учетом дезактивации, факторов массоперено кинетики основных реакций и пр. В ряде случаев эти модели включают многие показатели физико-химической характеристики сырья i каиализагора вытекающие из необходимости численного решения уравнений, описывающих распределение оров пи радиусу гранулы и по высоте [c.141]

Выражение (VII, 119), разумеется, не всегда может быть получено в аналнтическо форме и то1 да его представляют в виде результатов численного решения задачи максимизации функции Н выбором управляющих воздействий u (I , . . г), т. е. в форме таблиц или графиков. [c.344]

Сопоставим сделанные оценки с результатами численных расчетов. Как следует из графиков, приведенных на рис. 4.2, средше значения критерия Шервуда, полученные численным решением уравнения (4.42) для Ре = 250 и 2500 при т = 0,02, совпадают со средними значениями критерия Шервуда, полученными из решения уравнения Кронига, Бринка (4.53). Согласно формуле (4.66) и табл. 4.2, для т = 0,02 значения Хэ = 0,88 и <7 (лгэ) = 2,27. Отсюда по формуле (4.67) находим Тц/т = = 0,91 для Ре = 250 и Тц/г = 0,091 для Ре = 2500. Таким образом, для указанных случаев условие (4.67) вьшолняется. Отметим, что для Ре = = 2500 условие (4.67) вьшолняется и для г = 2,4 10" (для г = 2,4" 10 " имеем Лэ = 0,427, q (Xg) =2,59 и тц/т = 0,86). [c.187]

В табл. 4.4 приведено Tai e сотоставление Sh с со средними значениями критериев Шервуда Sh и g, найденных из численного решения уравнения конвективной диффузга (4.42) и уравнения Кронига, Бринка (4.53). Выражение (4.49) для Sh j. получено в предположении, что движупдая сила равна разности концентрации на поверхности капли и начальной концентрации. Поэтому оно может быть применено для малых значений г при дополнительном условии С< 1. В связи с этим в табл. 4.4 приведены значения средней концентрации, полученные из [c.187]

В данном случае при любом, сколь угодном большом, но конечном значении Б имеем lim с = 1 и lim с = 0> т- е. как бы ни было велико продольное перемешивание, всегда путем увеличения Z можно добиться степени извлечения, сколь угодно близкой к 100 %. Графики численных решений уравнения (5.102) приведены иа рис. 5.3 и 5.4. На рис. 5.3 приведены в логарифмическом масштабе отношения степени извлечения ifii , рассчитанные по формуле (5.102), к степени извлечения Pl при Б = 0, вычисленной по формуле (5.35). Как следует из рисунка, соответствующие кривые имеют минимум, смещающийся в сторону больших Б при увеличении Z. Согласно уравнению (5.107), величина зтого минимума всегда больше 0,5. Однако, как указывалось вьпие, [c.237]

Переменный коэффициент распределения. Как было изложено в разделе 5.1, расчет процесса массообмена в режиме идеального вьггесне-ния при переменном коэффициенте распределения проводится обычно графическим или численным решением уравнений (5.1)-(5.11) с использованием кривой равновесия и рабочей линии. [c.242]

Результаты погранслойных и численных решений. Рассмотрим процесс хемосорбции при наличии конвекции в объеме сплошной фазы. В этом случае уравнения переноса имеют вид (6.42). Исследуем массообмен, сопровождаемый необратимой химической реакцией первого или второго порядка. [c.271]

В работе [403] представлено численное решение уравнений (6.69)-(6.72) для твердой фазы и газового пузырька при Яе <200 ). На рис. 6.6 приведена зависимость фактора ускорения Ф от у/М для газового пузырька и дано сравнение результатов численных расчетов с данным пе-нетрационной теории [391]. Вычисления в работе [403] проводились при у/М> 1 и привели к значениям фактора ускорения, близким к рассчитанным по пенетрационной теории. Аналогичные вьшоды были сделаны [c.274]

В работе [412] экспериментально исследовался массообмен в единичные капли, осложненный бимолекулярной быстропротекающей реакцией. Результаты экспериментов хорошо согласуются с расчЬтны-ми данными, полученньлш при численном решении уравнений (6.84), (6.85). [c.285]

Численное решение уравнений (8.14), (8.18) для прямо- и противотока при ф = onst и начальных условиях [c.303]

Численное решение уравнений (6.99) с граничными и начальными условиями (6.101), (6.103) и (8.19) проведено авторами совместно с Б. М. Булахом, В. А. Марковым, Е. А. Антоновой и А. Б. Проскуряковым. Результаты ]засчетов для К2=0,р=д = 1 приведены в приложении 4. [c.308]