Фазовый портрет

Рис. VII.17. Фазовый портрет реактора с единственным стационарным режимом-

Рис. VII.19. Фазовый портрет реактора с тремя стационарными режимами.

Еслн полимеризационный реактор обладает пятью положениями равновесия, из которых два — седла (С1 и С2), а три — устойчивые узлы (/, //, ///), то его фазовый портрет в простейшем случае имеет вид, изображенный на рис. IV-б. [c.132]

Существенное значение имеет изменение фазового портрета при увеличении параметра х. Предположим, что стационарный режим устойчив ири л, большем некоторого критического значения х, но обладает некоторыми нежелательными особенностями при < 1. [c.182]

На рис. VII.20 показаны фазовые портреты прп различных значениях .I для системы, поведение которой при отсутствии регулятора иллюстрируется рис. 11.19. Для среднего стационарного режима при отсутствии регулятора Ь М — N = = . -. =-2,25. Параметр Ь равен 2, так что уравнения (VII.85),( 11.86) принимают вид [c.182]

На рис. IV-2, б и IV-2, в показаны два варианта фазового портрета реактора для области III плоскости уо, р, соответствующей выполнению неравенства р < ехр [(v — 1 )/уо]. Рис. IV-2, б относится к случаю, когда р + ц < I рис. IV-2, s — к случаю, когда р 4- р. > 1. [c.127]

Чтобы получить представление об устойчивости исследуемой системы в большом, необходимо выяснить качественную структуру расположения ее фазовых траекторий, т. е. построить фазовый портрет системы. [c.121]

Фазовый портрет позволяет судить о всей совокупности процессов, которые могут осуществляться в системе при всевозможных начальных условиях. Построение фазового портрета является конечной целью качественного исследования динамической системы, для выполнения которого не нужно находить ни точного, ни приближенного решения уравнений системы. [c.121]

Но главное даже не в этом, а в том, что при использовании одних лишь численных методов нельзя поручиться, что не будут упущены какие-нибудь тонкие детали фазового портрета, представляющие практический интерес. Поэтому применению численных методов обязательно должно предшествовать качественное исследование изучаемой системы. [c.122]

Чтобы построить фазовый портрет динамической системы, необходимо определить взаимное расположение не всех фазовых траекторий (что практически невозможно и совсем не нужно), а только некоторого конечного числа так называемых особых траекторий . [c.122]

Выяснив, на какие ячейки разделена фазовая плоскость системы и как эти ячейки расположены относительно друг друга, мы можем считать известным ее фазовый портрет. При этом для того, чтобы выяснить характер поведения фазовых траекторий, полезно, а иногда необходимо, узнать, как они ведут себя при неограниченно увеличивающихся значениях х у. [c.122]

При отображении на сферу Пуанкаре фазового портрета исследуемой системы, описываемой уравнениями [c.123]

Уо]<р<1, исследуемая система имеет два положения равновесия. Фазовые портреты системы для подобласти //б, соответствующей устойчивости второго положения равновесия [c.128]

И ЕЕ СВЯЗЬ С ХАРАКТЕРОМ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ [c.125]

В некоторых случаях для построения фазового портрета системы достаточно знать, какова ее устойчивость в малом и каков характер поведения фазовых траекторий в удаленных частях фазовой плоскости. Рассмотрим подобные случаи, встречающиеся при исследовании моделей неизотермических реакторов. [c.125]

Рис. IV-2, а представляет собой фазовый портрет реактора для области I плоскости параметров г/о, р, т. е. при р> 1. Он показывает, что фазовые траектории, соответствующие любым начальным условиям, уходят в бесконечность реактор абсолютно неустойчив, и все происходящие в нем процессы заканчиваются тепловым взрывом. Таким образом, прямая р = 1 в плоскости параметров г/о, Р (см. рис. HI-8) является границей теплового взрыва. [c.127]

В остальных случаях для по-стро ия фазовых портретов необходимо использовать некоторые сведения о предельны. циклах и бифуркациях динамических систем. Эти сведения в самом кратком изложении приводятся ниже. [c.133]

Рис. 1У-2. Варианты фазового портрета реактора полунепрерывного действия (реакция типа ЛX — В, 1-й случай).

Рис. 1У-3. Фазовый портрет реактора, обладающего единственным устойчивым положением равновесия.

Рис. 1У-4. Фазовый портрет реактора при наличии седла и двух устойчивых положений равновесия.

Отсюда следует, что при устойчивости положения равновесия фазовый портрет реактора в простейшем случае будет иметь вид, изображенный на рис. 1У-3. [c.131]

Поскольку все фазовые траектории входят внутрь прямоугольника без контакта, то при существовании единственного устойчивого положения равновесия (область / плоскости параметров Уа, Л о, рис. Ш-24) фазовый портрет изучаемой модели аналогичен фазовому портрету реактора полунепрерывного действия, изображенному на рис. 1У-3. При наличии же седла и двух устойчивых положений равновесия (область 3 плоскости Уй, -Го, рис. П1-24) фазовый портрет исследуемой модели может иметь вид, показанный на рис. 1У-4. [c.132]

Рис. 1У-6. Фазовый портрет полимеризационного реактора при наличии двух седел и трех устойчивых положений равновесия.

Представим себе, что бифуркации происходят при значениях параметра 01, 02, 0з,. .. если откладывать значения 0 вдоль некоторой прямой, можно разбить ее на отрезки, разделяемые точками бифуркации. Внутри каждого отрезка система является грубой, в точках бифуркации — негрубой, после перехода через точку бифуркации в ту или иную сторону — снова грубой, но уже с другой топологической структурой фазового портрета. [c.137]

Отсюда следует, что рис. -3 и -4 можно рассматривать, как возможные варианты фазовых портретов полимеризационного реактора, обладающего соответственно одним устойчивым положением равновесия или тремя положениями равновесия, из которых неустойчиво только седло. [c.132]

В более общем случае, когда правые части дифференциальных уравнений содержат несколько параметров, можно говорить о бифуркационных кривых, поверхностях, гиперповерхностях, разделяющих пространство параметров на области, внутри каждой из которых топологическая структура фазового портрета остается неизменной. Определение такого разбиения пространства параметров и характера бифуркаций, происходящих на границах областей, является завершающим этапом качественного исследования динамической системы. [c.137]

Рис. 1У-2—1У-6 представляют собой фазовые портреты химических реакторов, которые удается построить, зная только устойчивость в малом и устойчивость на бесконечности. [c.133]

Наличие устойчивых предельных циклов в фазовом портрете исследуемой системы является необходимым и достаточным условием того, чтобы система была автоколебательной. [c.134]

Наряду с устойчивыми предельными циклами фазовый портрет грубой системы может содержать неустойчивые предельные циклы — такие, как изображенный на рис. 1У-8 цикл, охватывающий устойчивое положение равновесия. В окрестности неустойчивого цикла все фазовые траектории, как расположенные внутри, так и снаружи, удаляются от него. Отсюда видно, что [c.134]

Для построения фазового портрета системы необходимо определить, содержит ли ее фазовая плоскость предельные циклы, сколько их, какова их устойчивость и расположение. Большой практический интерес представляет также вопрос об амплитуде и периоде автоколебаний, соответствующих устойчивым предельным циклам. [c.135]

Следует отметить, что при выполнении этого критерия на фазовой плоскости, вообще говоря, может суи ествовать не один устойчивый предельный цикл, а нечетное число циклов, вложенных друг в друга, из которых устойчивых на один больше, чем неустойчивых. Поэтому, когда в подобных случаях на фазовом портрете изображают один устойчивый предельный цикл, то обычно указывают, что портрет приведен с точностью до четного числа циклов. [c.136]

При описании изменения фазового портрета системы при этой бифуркации примем для простоты, что уравнения системы содержат лишь один параметр. [c.138]

На рис. ГУ-13, й, б, в показано, как изменяется фазовый портрет системы в результате рассматриваемой бифуркации. Два простых цикла (рис. 1У-13, а) сближаются и в момент бифуркации сливаются в полуустойчивый предельный цикл (рис. 1У-13,б). При дальнейшем изменении параметра в том же направлении полуустойчивый предельный цикл исчезает (рис. 1У-13,в). [c.141]

Рис. IV-19. Фазовые портреты реактора полунепрерывного действия при существовании автоколебаний (реакция типа 1-й случай).

Фазовые портреты исследуемой системы при наличии автоколебаний изображены на рис. 1У-19. Рис. 1У-19, а относится к случаю р + ц < 1, рис. 1У-19, б —к случаю р + [c.147]

Здесь и далее фазовые портреты автоколебательных систем приводятся с точностью до четного числа циклов. Это замечание относится также к фазовым портретам системы (IV, 4), изображенным на рис. [c.147]

Таким образом, для того чтобы выяснить, каково поведение фазовых траекторий на бесконечности, нужно исследовать особые точки на экваторе сферы Пуанкаре. После этого для получения полного представления о характере фазового портрета системы рассматривают ортогональную проекцию одного из полушарий сферы Пуанкаре, обычно нижнего (южного) полушария, на плоскость, касаюшуюся южного полюса, т. е. рассматривают расположение фазовых траекторий в круге Пуанкаре. [c.124]

В разбиении плоскости Д, а (см. рис. 1-5) на области неиз-менТюй топологической структуры фазового портрета кроме прямой Д = О участвует полупрямая А > О, с = О, при переходе через которую происходит смена устойчивости фокуса. На плоскости других пара.метров ей соответствует кривая, уравнение которой может быть получено из условий а = О, Д > 0. [c.139]

АВТОКОЛЕБАНИЯ В ХИМИЧЕСКИХ PEЛKTOPAv ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ РЕАКТОРОВ, [c.145]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология