Кривая бифуркационная

Бифуркационные значения параметров можно найти, если заметить, что кривые N if°, Гдо, i o) точках бифуркации имеют вертикальную касательную. Продифференцируем уравнение (2.79) по ]>го(где / = [c.92]

В более общем случае, когда правые части дифференциальных уравнений содержат несколько параметров, можно говорить о бифуркационных кривых, поверхностях, гиперповерхностях, разделяющих пространство параметров на области, внутри каждой из которых топологическая структура фазового портрета остается неизменной. Определение такого разбиения пространства параметров и характера бифуркаций, происходящих на границах областей, является завершающим этапом качественного исследования динамической системы. [c.137]

Анализ характера равновесных кривых на рис. 2.2 показывает, что идеальный вертикальный дисперсный поток может существовать в виде двух основных состояний или режимов. Возможность существования у дисперсного потока двух различных режимов, связанных с наличием двух корней уравнения, описывающего равновесное движение частиц, была впервые обоснована в работе [155]. Первому режиму на бифуркационной диаграмме соответствуют ветви кривых равновесия, лежащие справа от бифуркационной кривой (2.82), что аналитически можно записать следующим образом [c.94]

Второму режиму отвечают ветви кривых равновесия, лежащие слева от бифуркационной кривой, или [c.94]

Как и бифуркационная диаграмма режимов (см. рис. 2.2), график на рис. 2.9 для выбранных конкретных значений коэффициентов I и п вьшолняется только до значений р°, не превышающих приблизительно 0,6, что соответствует плотной упаковке твердых сфер. Однако, поскольку качественный характер кривых сохраняется и для капель и пузырей, допускающих течения с более высокими значениями 1/ °, кривые на рис. 2.9 построены до <<5° = 1. [c.117]

Определение числа стационарных состояний и влияния значений параметров на это число иногда заметно облегчается благодаря использованию так называемой бифуркационной диаграммы— кривой, связывающей значение какого-нибудь из параметров с координатой стационарного состояния . [c.65]

Нетрудно убедиться, что бифуркационные значения параметров для первого перехода соответствуют ветви О/С, а для второго перехода — ветви LK кривой, изображенной на рис. И1-17. [c.89]

Построим на плоскости уо кривую, определяемую уравнением (111,49) (см. рис. 111-19, пунктирная линия) она будет проходить через экстремумы бифуркационных диаграмм, что очевидно из способа, которым было получено соотношение [c.94]

В качестве примера рассмотрим случай взаимного расположения кривых, изображенный на рис. П1-23 (бифуркационная диаграмма проведена пунктиром). При выбранном значении ус система имеет три положения равновесия, из которых среднее — седло (точка С). [c.96]

Теперь нужно выяснить смысл областей, на которые разбивается плоскость Уо, Хо этими кривыми. Для осуществления этой цели необходимо обратиться к плоскости у , Уо и рассмотреть соответствующее каждому варианту взаиморасположение кривых Д = О, а = О и бифуркационных диаграмм. Пример такого взаиморасположения (однако с привлечением лишь одной бифуркационной диаграммы) был приведен на рис. П1-23. [c.98]

На рис. III-26 показаны возможные варианты бифуркационной диаграммы. Если изменяется только параметр xq, то изображенные кривые соответствуют значениям < o" [c.105]

Определение числа стационарных состояний и влияния значений параметров на это число облегчается использованием бифуркационной диаграммы — кривой, связывающей значение какого-нибудь из параметров с координатой стационарного состояния (по терминологии теории управления такая кривая называется статической характеристикой исследуемого объекта). [c.229]

Рассмотрим способ построения бифуркационной кривой. Пусть поведение системы (реактора) описывается уравнениями [c.229]

Пусть при удалении от равновесия а увеличивается. Допустим, что исходно а = соответствует стационарной точке устойчивый узел системы (18.17) (область I на рис. 18.1). При увеличении а мы проходим по некой ветви стационарных состояний л == л (а). Эта ветвь состояний будет устойчивой, т.е. включать устойчивые стационарные точки до тех пор (участок / кривой), пока а не достигнет бифуркационного (бифуркация — раздвоение) значения а. При а = а система теряет устойчивость (например, за счет того, что функционал Ляпунова перестает быть положительно определенным) на рис. 18.1 это означает переход системы из области I Б одну из неустойчивых областей Н или V. При дальнейшем увеличении а движение пойдет вдоль неустойчивой ветви (участок 2 кривой х(а) , где также возможны переходы между областями неустойчивости. Основной критический момент в изменении свойства системы достигается, таким образом, при бифуркационном значении а = а, когда система теряет устойчивость. Существенно, [c.370]

Во всех точках верхней и нижней ветвей 5-образной кривой б значения производных правых частей соответствуюших дифференциальных уравнений отрицательны, а для промежуточного участка положительны. Таким образом, термодинамические критерии устойчивости стационарного состояния совпадают с соответствующими математическими признаками. При этом значению управляющего параметра а, которому соответствует кривая а на рис. 18.3, отвечает только одно устойчивое стационарное состояние, а значению а, описывающему кривую б, — два (I — верхняя и II — нижняя ветви кривой б). Очевидно, что можно найти и бифуркационное значение параметра а. Это значение соответствует ситуации, при которой последовательная трансформация 8-образной кривой у А, а) из вида а в б впервые приводит к Л (х, а )/ёЛ -> оо или ё х, а )/ёх -> оо. [c.376]

Значение Ь р = 1 является критическим, бифуркационным. Парабола Л = + 1 на плоскости а, Ъ отделяет устойчивые области от неустойчивых при Ь > Ь р = + 1 система имеет неустойчивые узлы или фокусы, при Ъ < Ь р = + 1 — устойчивые узлы или фокусы. Самой параболе Ъ = = + 1 отвечают центры — при этом значении Я.1, г = <11 и система выполняет незатухающие колебания. Кривые, отделяющие область фокусов от области узлов, находятся из условия равенства нулю корня квадратного в (15. ), [c.501]

Таким образом, состояние равновесия на бифуркационной кривой устойчиво, если Ф(/. 7, Ф/ (/. Я )<0 [c.173]

Значения параметров, при которых выполняется условие (5.8), следуя Пуанкаре, назовем бифуркационными, а соответствующие точки на кривой (5.3) точками бифуркации. [c.174]

Таким образом, точки квази стати ческой кривой Ф = О, для которых Ф = О, являются точками бифуркации, а соответствующие значения параметра нагрузки q бифуркационными значениями. Бифуркационными являются также значения q, при которых кривая f q) уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к вертикальной прямой. [c.174]

С помощью бифуркационной диаграммы достаточно просто определить устойчивость состояния равновесия. Состояние равновесия, определяемое точкой кривой на рис. 5.2 и 5.3, устойчиво, если данная точка лежит над заштрихованной областью, в противном случае состояние неустойчиво. Устойчивые точки на кривой указаны крестиками. Следует отметить, что при движении вдоль бифуркационной кривой характер состояния (устойчивого [c.174]

Квазистатическому процессу нагружения (f = 0) соответствует мгновенная бифуркационная диаграмма (кривая 1 на рис. 5.5— 5.7) [c.176]

Бифуркационную кривую длительного нагружения получим, приняв f — О при / — схз (кривая 2 на рис. 5.5 и 5.6) [c.176]

Неустойчивость в условиях длительного нагружения при ограниченной ползучести соответствует предельной точке А на кривой 2 при некотором значении д = д р, меньшем критического значения р на бифуркационной кривой мгновенного нагружения (см. рис. 5.6). Нагрузку кр называют длительной критической нагрузкой. [c.176]

Используя специфику рассмотренной математической модели, в явном виде в плоскости параметров (k.i, k-i) получены бифуркационные кривые. Анализ их взаимного расположения, представленного на рис. 5, позволяет дать классификацию ст. с. [c.161]

Фазовые портреты. Бифуркационные кривые Ьа, д разбивают плоскость параметров на шесть областей. Соответствующие фазовые портреты (рис. 6) показывают, что одновременно могут существовать не более трех ст. с. Из них устойчивыми могут быть либо два ст. с., либо одно. Построение каждого фазового портрета при некотором фиксированном наборе параметров осуществлялось [c.161]

Бифуркационная диаграмма располагается в полосе, образуемой двумя параллельными прямыми к первой прямой Ус = Уs кривая неограниченно приближается при Уs - 0 вторая прямая [c.132]

Способ построения бифуркационной кривой таков. [c.59]

При положительном коэффициенте Д зависимость / (С" ) имеет вид, представленный на рис. 32, а. Если Д —ЕН<0, то парабола не имеет корней (кривая 1). в связи с чем бифуркационных значений С не существует. [c.225]

Если Д2—ЕН>0, то парабола пересекается с осью абсцисс в точках 21 и 22, которые соответствуют бифуркационным значениям концентрации газовой фазы (кривая 2). [c.225]

Если Ш—РЯ<0, то функция (Та) не пересекается с осью абсцисс (кривая 1), поэтому бифуркационные значения постоянной времени вообще отсутствуют. [c.228]

Рис. 2. Некоторые бифуркационные кривые, характерные для задач гидродинамической устойчивости

Нас будет интересовать, как изменяется характер движения в системе при изменении параметров до и Рсо- Построим так называемую бифуркационную диаграмму — кривые 5до, со)=0 на плоскости > до< при различных значениях Усо- Здесь - корень уравнения (2.79) или значение объемной концентрации дисперсной фазы в состоянии равновесия. Для движения твердых частиц в жидкости в режиме Ньютона (и =1,78, /=0, Рд>Рс) подобная диаграмма представлена на рис. 2.2 в интервале значений [0,1]. Значения лежащие за пределами ЭТОГО интервала, лишены физического смысла. Для других систем (жидкость—жидкость, газ-жидкость) и режимов движения частиц качественный характер бифуркационной диаграммы не изменяется. Однако следует иметь в виду, что для твердых частиц диаграмма вьшолняется только для значений <р°, соответствующих состоянию плотной упаковки, т. е. до V 0,6. Для деформируемых частиц предельные значения <р° могут быть порядка 0,9 и даже вьпые. [c.91]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

Стационарное состояние системы характеризуется равенством притока и расхода переносного компонента. Решение уравнения (1.35) в условиях стационарности Рх х, г/)=0] при различных значениях управляющего параметра а представлено в графической форме на рис. 1.8 там же дана бифуркационная диаграмма процесса х=х а). При а <а<.а2 мембранная система имеет два различных устойчивых стационарнв1х состояния, расположенных на верхней (т. 3) и нижней (т. 1) ветвях бифуркационной кривой, и одно неустойчивое (т. 2) на промежуточном участке этой кривой. Если исходное стационарное состояние расположено на нижней ветви (т. В), то по мере роста а особая точка смещается вправо по фазовой диаграмме при этом происходит монотонное приближение к новому значению концентрации компонента х. При а = аг возможна потеря устойчивости (т. А) и скачкообразный переход А—А в новое состояние с другим значением х. Аналогичный скачок В—В с верхней ветви на нижнюю наблюдается при а = а]. [c.36]

В работах [23, 52] проведен анализ некоторых моделей реакторов с использованием численных методов, построены бифуркационные кривые, позволяюнще судить о числе решений задачи для псевдоожижениого слоя катализатора, а также в неподвижном слое. Критерии устойчивости стационарных решений, доказанные в [1, 3—5, 19, 21, 22, 30(1, позволяют в ряде случаев решать вопрос об устойчивости стационарных решений, соответствующих различным ветвям бифуркационных кривых, не прибегая [c.92]

Граничный случай, когда прямая у = onst касается кривой (5.12), соответствует изменению числа состояний равновесия в системе. Значения параметра, при которых происходит изменение числа состояний равновесия в системе, называют бифуркационными, а соответствующие им точки кривой (5.12) - точками бифуркации. Если мы будем медленно [c.83]

Рис. 16.3. Временные зависимости концентраций субстратов (а) и соответствующие бифуркационные. Кривые колебательных режимов (б) в системе с обратной связью (РДФ - фруктозодифосфат, ФбФ - фрукгозо-6-фосфат)

Для 0 = 0-, D Ф д ииееи dfildqоо. При этом один из корней характеристического уравнения (5.18) равен нулю (к = 0) и системе соответствует бифуркационная точка кривой равновесных состояний. При значениях О = О) = О имеем особую точку типа узла или точки ветвления решения. [c.175]

Уе кривая, проведенная пунктиром на рис.2 проходит через экстремумы бифуркационных диаграмм. Отсюда вытекает, что если мы пронумеруем все с.р. в порядке, нбитример, возрастания ординаты ( или, что все равно, убывания абсциссы), то четные с.р. будут седлами, а нечетные - узлами или фокусами. [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология