Взаимная спектральная плотность

Рис. 11.2. Нормированная случайная ошибка оценок спектральной плотности и модуля взаимной спектральной плотности.

Рис. 3.6. Типичная взаимная спектральная плотность.

Здесь (со) — взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов (ш) — спектральная плотность входного сигнала W (о) — передаточная функция объекта без запаздывания. [c.324]

Расчет линейных систем часто проводят, пользуясь преобразованием Фурье и полученными с его помощью частотными характеристиками линейных звеньев. В этом случае вместо корреляционных функций удобнее использовать их преобразования по Фурье — спектральную и взаимную спектральную плотности. Спектральная плотность подсчитывается по формуле [c.158]

Покажем, как по корреляционным функциям непрерывно вычисляются коэффициенты разложения взаимной спектральной плотности. Результирующие формулы для спектральной плотности входного сигнала могут быть получены аналогично. [c.173]

Будем вычислять взаимную спектральную плотность входного сигнала х и выходного сигнала у в форме [c.173]

Двусторонняя взаимная спектральная плотность этих двух случайных процессов определяется тогда с использованием Х У,. но не ХУ, соотношением [c.65]

Улучшение сходимости разложения взаимной спектральной плотности [c.177]

Более точно было бы называть функцию (8 3 22) взаимной спектральной плотностью Однако ради краткости мы будем пользоваться н термином взаимный спектр . — Прим. перев [c.103]

Взаимные ковариационные функции и взаимные спектральные плотности интерпретируются сходным образом, но последние дают желаемые результаты в виде функции от частоты, а не через точечные моменты. Этот факт очень сильно расширяет диапазон возможных интерпретаций и в последние годы привел к росту применений спектрального анализа к инженерным задачам в тех областях, где ранее использовались корреляционные методы. [c.77]

График типичной взаимной спектральной плотности приведен на рис. 3.6. [c.64]

Взаимные спектральные плотности [c.77]

Таким образом, время распространения х =(Цс входит во взаимную спектральную плотность как линейный фазовый сдвиг в соответствии с формулой (3.41) [c.77]

Заметим, что формула для взаимной спектральной плотности не изменилась по сравнению с формулой (4.9), а соотношение для спектральных плотностей не совпадает с уравнением (4.8) только в точках, где б1([) 0. В частности, если / принимает дискретные равноотстоящие значения с шагом 5е = 1/7 , то Й1(/) =0 во всех точках, кроме /=0, где 61 (0) =Г. [c.93]

Поскольку при анализе систем с несколькими трактами взаимная ковариационная функция позволяет выделить отдельные тракты, то ту же информацию можно извлечь и из ее преобразования Фурье, т. е. взаимной спектральной плотности. [c.133]

Разумеется, анализ прохождения сигнала по одному дисперсному пути можно провести и с помощью взаимных спектральных плотностей (когерентности и фазы) способом, изложенным [c.153]

В частотной области соответствующая взаимная спектральная плотность, согласно формуле (4.9), имеет вид [c.164]

Согласно соотношениям (3.15) и (3.30), взаимная ковариационная функция и взаимная спектральная плотность процессов Уl t) и У2 t), определенных уравнениями (7.24), имеют вид [c.168]

Следовательно, запаздывание Т1 можно определить либо по взаимной ковариационной функции, либо по взаимной спектральной плотности из формул (7.25). [c.168]

Согласно формуле (7.25), запаздывание тг1 двух выходных сигналов Уl t) и 1/2(О> вызванных одним входным сигналом, можно вычислить, исходя из взаимной ковариационной функции или взаимной спектральной плотности г/1 (О и г/2 (О- Практически чаще используется взаимный спектр (когерентность и фаза), так как это дает определенные преимущества при решении задач, связанных с учетом влияния шума на выходе, о чем будет сказано ниже. Из выражения (7.37) следует, что в идеальном случае при отсутствии внешнего шума на выходах имеют место равенства [c.175]

При вычислении частотной характеристики (передаточной функции) оценки амплитудной и фазовой характеристик следует находить с помощью формулы (11.24), содержащей оценку взаимной спектральной плотности. [c.291]

Функции спектральной и взаимной спектральной плотности исходных реализаций в соответствии с формулами (10.5а) — (10.5в) определяются равенствами [c.255]

В этой главе рассматриваются ошибки оценок статистических характеристик случайных процессов. Предполагается, что обрабатываемые данные представляют собой реализации стационарных эргодических или переходных процессов и анализ производится на цифровой ЭВМ. Полученные результаты касаются оценок различных зависящих от частоты характеристик линейных систем с одним или несколькими входными процессами. К ним относятся спектральные и взаимные спектральные плотности, функции обычной, частной и множественной когерентности, когерентный спектр выходного процесса, оптимальные амплитудная и фазовая характеристики и другие связанные с ними функции. [c.277]

Согласно формулам (11.20) и (11.21), нормированные случайные ошибки оценок спектра и модуля взаимной спектральной плотности задаются формулами [c.282]

Смещение оценок спектральной и взаимной спектральной плотности, по которым вычисляются частотные характеристики. [c.291]

Если же оценка амплитудной характеристики находится через взаимную спектральную плотность в соответствии с формулой [c.296]

Это соотношение еще раз демонстрирует преимущество метода, основанного на использовании взаимной спектральной плотности, так как ему соответствует случайная ошибка, меньшая в 1/ уху П раз. Отношения случайных ошибок этих двух оценок, полученные по формуле (11.71) при различных значениях у хуЦ), приведены в табл. 11.10. [c.297]

Преобразование Фурье взаимнокорреляционной функции, называется взаимной спектральной плотностью [c.158]

Химико-технологические, тепловые и многие другие объекты регулирования часто обладают запаздыванием. Наличие запаздывания в объекте приводит к тому, что взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов носит колебательный характер, так как включает множитель К подобному же результату приводит и инерционность объекта, состоящего из ряда последовательно включенных апериодических звеньев. Обе эти причины во временной области соответствуют сдвигу кривой взаимнокорреляционной функции вправо. Чем правее расположен центр тяжести площади взаимнокорреляционной функции относительно оси т = О, тем с большей частотой колеблются действительная и мнимая части взаимной спектральной плотности. Между тем практически при всех разложениях вида (VH. 28) первые их члены имеют монотонный характер. Чтобы обеспечить хорошее приближение взаимной спектральной плотности при небольшом числе членов разложения, удобно перейти от приближения функции Sxy i(u) к приближению функции [c.177]

Здесь С2а, С2а.+ коэффициенты разложения действительной и мнимой частей спектральной плотности (мнимая часть появляется при вычислении взаимной спектральной плотности) ф2а, , Фзач- , — [c.178]

Для иллюстрации общей интерпретации взаимных спектральных плотностей рассмотрим простую задачу распространения сигнала в бездисперсной среде (рис. 3.11). В гл. 4 будет показано, что взаимная спектральная плотность входного сигнала x(t) и выходного сигнала у(1) подобна взаимной ковариационной функции, заданной формулой (3.71), и имеет вид [c.77]

В работе [11.2] получена также формула для дисперсии оценки G y(f)l модуля Озд(/) взаимной спектральной плотности при вычислении ее по па парам отрезков реализаций xit) и г/(I), каждая из которых имеет общую длину To6m=ndT. При этом предполагается, что обе реализации принадлежат процессам, спектры которых в пределах интервалов Af=lfT можно считать примерно постоянными, x t) и y t) имеют двумерное нормальное распределение. При этих условиях формула для дисперсии оценки спектральной плотности имеет вид [c.281]

Если оценки спектральной и взаимной спектральной плотностей вычислены путем усреднения оценок, полученных по % неперекрывающимся отрезкам исходных реализаций, то случайная ошибка оценки функции когерентности имеет вид [c.288]

Если оценки спектральной и взаимной спектральной плотностей вычислены путем усреднения оценок, полученных по Пй неперекрывающимся отрезкам исходных реализаций, то случай- [c.289]

У хуЦ) и п<г, при которых получается оценка амплитудной характеристики со случайной ошибкой в[ Яж ,(/) ]=0,10. Из табл. 11.6 видно, что, как и в случае оценивания функции когерентности (табл. 11.4), при достаточно больших значениях оценка амплитудной характеристики обладает меньшей случайной ошибкой, чем оценки спектральной и взаимной спектральной плотностей, по которым она вычислена. Например, при -у ад О.бО и =100 имеем е[Ожж] =0,10 и 8[1бзд ]=0,11, тогда как е[ Нху ] 0,035. [c.292]

Рассмотрим общий случай системы со многими входными процессами и одним процессом на выходе (см. рис. 8.1 или 10.5). Все реализации должны измеряться одновременно и в одном масштабе времени. Как показано в разд. 10.1, прежде всего нужно заменить исходную модель моделью с условными процессами на входе. Сглаженные оценки 6г/(/) спектральных и взаимных спектральных плотностей вычисляются по исходным реализациям, каждая из которых разбивается на пц неперекрывающихся отрезков. Все другие характеристики вычисляются по формулам, приведенным в разд. 10.3. При последовательном вычислении характеристик условных процессов величина Па уменьшается на единицу на каждом шаге. При вычислении оценки функции множественной когерентности для системы с д входами число усреднений равно не п , а —д. [c.297]