Спектральные оценки

Равенство (3 2 21) является важным результатом, который будет использован в гл 6 для вычисления ковариации между сглаженными спектральными оценками [c.99]

Сглаживание спектральных оценок [c.289]

Гл 5 содержит некоторые элементарные понятия теории случайных процессов, такие, например, как стационарность, автокорреляционная функция и понятие о процессе скользящего среднего — авторегрессий Изложены и проиллюстрированы примерами методы оценки автокорреляционных функций и параметров линейных процессов В гл 6 понятия анализа Фурье и теории случайных процессов объединяются для получения способа описания стационарного случайного процесса с помощью его спектра Показано, как должны быть модифицированы методы анализа Фурье для того, чтобы оценить спектр процесса по реализации конечной длины Затем выводятся выборочные свойства спектральных оценок и вво [c.10]

Заметим, что ковариация спектральных оценок имеет порядок l/r для негауссовских процессов, т. е при Ki O, в то время как для гауссовских процессов = 0 н ковариация имеет порядок 1/Т . В частном случае, когда /1 и /2 — значения, кратные 1/Г, ковариация равна нулю. Далее, дисперсия спектральных оценок без учета членов порядка 1/Г и более высокого равна [c.288]

Способ сглаживания Бартлетта. Один прием, который можно использовать для получения спектральных оценок, имеющих дисперсию, меньшую, чем у Сгг ), был предложен Бартлеттом [5]. Предположим, что вместо вычисления Сгг(/) по реализации белого шума длины Л = 400, как это делалось в разд 6 1 2, эта реализация разбивается на й = 8 рядов длины Л /й = 50 и выборочный спектр 11 (/). г=1, 2,, 8, вычисляется для каждого ряда длины 50. Среднее значение этих восьми выборочных спектров на частоте / равно [c.289]

Оно называется выборочной сглаженной спектральной оценкой на частоте f [c.289]

ИЛИ сглаживания, величин, относящихся к отдельным частям разбиения исходного ряда, дисперсию спектральной оценки можно уменьшить в нужное число раз. В предельном случае можно было бы использовать разбиение исходного ряда на отдельные ряды из двух членов, и при этом дисперсия уменьшилась бы до 2o N. Чтобы понять, почему не имеет смысла так поступать, необходимо [c.290]

Отсюда сглаженная спектральная оценка равна [c.292]

Следовательно, разделение записи длины Т па к частей длины М = — Т1к каждая и построение сглаженной спектральной оценки (6 3.23) эквивалентно сглаживанию выборочного спектра с помощью окна [c.292]

Спектральные окна и сглаженные спектральные оценки [c.293]

МЫСЛЬ О том, чтобы рассмотреть более общие сглаженные спектральные оценки вида [c.294]

Математическое ожидание сглаженной спектральной оценки. [c.297]

Дальнейшие свойства сглаженных спектральных оценок 299 [c.299]

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК [c.299]

Мы уже исследовали одно важное свойство спектральной оценки, а именно ее смещение Другое важное свойство описывается ее дисперсией В разд. 63 4 было получено приближенное выражение для дисперсии в частном случае белого шума при использовании окна Бартлетта Теперь мы обобщим этот результат на случай произвольного процесса и произвольного окна Зная дисперсию, можно на любой частоте построить доверительный интервал для истинного спектра В этом разделе показано, что если две частоты отстоят друг от друга достаточно далеко, то ковариация оценок на этих частотах почти равна нулю Поэтому для таких частот доверительные интервалы можно строить независимо [c.299]

Ковариация сглаженных спектральных оценок [c.300]

В способе, излагаемом здесь, мы воспользуемся тем фактом (см. (52 6)), что любой случайный процесс (X(i) со спектром Ухх(П можно представить в виде белого шума Z (г ), пропущенного через линейный фильтр Воспользовавшись этим фактом и формулами разд 6 3.3 для ковариаций оценок, соответствующих выборочному спектру, в случае белого шума, мы сможем вывести выражения для аналогичных ковариаций, но в случае произвольного случайного процесса. Затем уже несложно получить выражения для ковариаций сглаженных спектральных оценок [c.300]

Ковариация сглаженных спектральных оценок. Из (6 3 30) сглаженную спектральную оценку Схх if) для процесса X (t) можно записать в виде [c.302]

Равенство (6 4.11) показывает, что ковариация сглаженных спектральных оценок пропорциональна площади перекрытия спектральных окон с центрами в /i и /г- Следовательно, если спектральные окна почти не перекрываются, ковариация будет очень малой Некоторые численные значения для ковариаций сглаженных спектральных оценок при использовании различных окон будут даны в разд 7 2. [c.303]

Дисперсия сглаженных спектральных оценок. Если /,=/2=/, то (6 4 10) сводится к [c.303]

Это показывает, что дисперсию сглаженной спектральной оценки можно уменьшить, выбрав точку отсечения М корреляционного окна малой. Но, как указывалось в разд. 6.3 5, при уменьшении М увеличивается смещение, искажающее теоретический спектр, так как спектральное окно при этом расширяется. В таком случае, как показывает формула (6 4 10), спектральные оценки на соседних частотах будут сильнее коррелированы из-за более полного перекрытия спектральных окон Поэтому точный выбор М является очень важным вопросом. Этот вопрос обсуждается в гл. 7 Заметим, что поскольку Var[Схл-(/)] величина [c.303]

В разд 7 1 2 будет показано, что выборочные спектральные оценки [c.307]

Моменты несглаженной и сглаженной выборочных спектральных оценок (усреднение проводилось по частоте) [c.289]

Один общий класс сглаженных спектральных оценок. Описаный выше способ сглаживания Бартлетта показывает, что большую дисперсию оценки, соответствующей выборочному спектру, можно уменьшить, вводя корреляционное окно (6 3.27). Это наводит на [c.293]

Предположим, например, что точка отсечения М равна 0,1Г. Тогда для окна Бартлетта //Г = 7з (0,1) = 0,067. Следовательно, беря точку отсечения на расстоянии 10% длины записи, мы снизим дисперсию сглаженной спектральной оценки до 6,77о от дисперсии оценки, соответствующей выборочному спектру. Соответствующие величины для окон Тьюки и Парзена равны 7,5% и 5,4% соответственно Следовательно, при фиксированном М из трех рассматриваемых окон наименьщую дисперсию дает окно Парзена. Это объясняется тем, что, как видно из рис 6 13, окно Парзена является более широким и плоским, чем два остальных В результате оно приводит к большим смещениям. Поэтому сравнения окон, сделанные только с учетом дисперсии, могут ввести в заблуждение, как мы увидим позднее [c.304]

Схх Ф1Гхх ( ) распределена приближенно как с V степенями свободы, где v>2 Это означает, что сглаженные спектральные оценки будут иметь гораздо больше степеней свободы, чем оценка, соответствующая выборочному спектру, что приводит к уменьшению их дисперсии [c.305]

Таким образом, сглаженная спектральная оценка является взвешенной суммой случайных величин Схх(112Т) на субгармонических частотах II2T. Эти случайные величины распределены как t двумя степенями свободы Следовательно, пользуясь результатами разд 3 3 5, распределение величины xxif) можно приблизить с помощью распределения величины ах ,. где а — константа, и [c.305]

Следовательно, случайная величина С х(/)/Гхх(/) имеет х -рас-пределение с V степенями свободы, где V задается равенством (6 4 17) Таким образом, число степеней свободы сглаи<енной спектральной оценки зависит от окна т и) [c.306]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология