Базис конечной размерности

Возникает естественный вопрос, сколько у данной группы может быть различных неприводимых неэквивалентных представлений и на какие неприводимые представления при соответствующем выборе базиса может быть разбито данное представление Ответ на этот вопрос, по крайней мере для группы конечного порядка, дается двумя утверждениями (теоремами), на доказательстве которых мы останавливаться не будем, а только лишь наметим его после формулировки этих утверждений. Первое из них звучит следующим образом для группы О конечного порядка N сумма квадратов размерностей и. неэквивалентных неприводимых представлений Г, равна порядку группы = N. Это - так называемая теорема Бернсайда. Например, у группы 2-го порядка может быть только два разных неприводимых представления, причем оба одномерные у группы 6-го порядка - либо 6 одномерных неприводимых представлений, либо два одномерных и одно двумерное неприводимые представления (поскольку 1 + + 2 = 6), других же возможностей нет. Второе утверждение заключается в том, что число, указывающее, сколько раз 2. данное неприводимое представление Г встречается в приводимом представлении Г, определяется формулой [c.204]

Это обстоятельство позволяет нам сразу же воспользоваться всем тем богатым арсеналом средств и результатов, который накоплен в теории матриц для эрмитовых, или самосопряженных матриц, по крайней мере в тех случаях, когда оператор может быть представлен в базисе конечной размерности (например, в том или ином приближении). [c.57]

Разложение волновой функции в виде (5.29), как правило, не осуществимо, так как полная система одноэлектронных функций не имеет конечной размерности. В численных приложениях приходится ограничиваться базисами конечной размерности, что приводит к приближенному характеру решения. Мы уже знаем из разд. 4.6, что в расчетах такого типа лучше всего прибегнуть к вариационному принципу. [c.96]

Может случиться, что представления Гь и Гг совпадут (при этом, конечно, размерности к и I одинаковы, и оба представления состоят из одних и тех же матриц, в то время как базисами их служат разные функции). Тогда говорят, что данное неприводимое представление встречается в приводимом два раза. В общем случае их может быть несколько, поэтому символически приводимое представление Г можно записать в виде суммы [c.79]

Итак, имеем некоторую группу О и ее представление — группу А, состоящую из матриц п-го порядка, изоморфную группе О. Поскольку каждому элементу из О соответствует своя матрица из А, обозначим эту матрицу Ап(ё ), где индекс, п отмечает размерность представления. Вид матрицы An(gi) зависит, конечно, не только от размерности базиса. Если, например, в качестве базиса вместо одних декартовых координат выбрать другие декартовы координаты, оси которых направлены иначе, то вид матрицы An(g ) изменится. [c.77]

Число простейших упаковок, содержащих плотноупакованные плоскости или ряды, невелико, поэтому среди структур реальных веществ распространен изоморфизм-, многие кристаллические вещества принадлежат к одной и той же пространственной группе, имеют тот же базис н различаются лишь периодами решетки. Изоморфные вещества принадлежат к одному и тому же структурному типу. Это может встречаться среди веществ, обладающих химической связью различного типа. Определяет структурный тип, в конечном итоге, размерный фактор структуры и стехиометрический состав фазы. [c.105]

Линейная оболочка конечного числа векторов Фх,. .., фщ из ЗСвсегда образует подпространство в Ж. Если вектора фх, , Фт линейно независимы, то они образуют базис подпространства, и размерность подпространства равна т. В этом случае говорят, что подпространство натянуто на вектора фх,..., фт, как на базис. [c.6]

При помещении атома в поле симметрии Од симметрия всей системы становится Од и преобразованиями симметрии системы остаются только преобразования, соответствующие группе О ,. При уменьшении количества преобразований группы может оказаться, что представление, которое было неприводимым, становится приводимым. Другими словами, если для бесконечного количества преобразований группы симметрии шара 21- 1 функции базиса не могут быть разделены на группы так, чтобы внутри каждой из них функции преобразовались бы только друг через друга, то для конечного выборочного числа этих преобразований, соответствующих группе Од, это разделение может оказаться возможным. В этом случае неприводимое представление группы симметрии шара, которому соответствует один энергетический терм атома кратности вырождения 2 + 1, для новой группы симметрии Од (соответствующей помещению атома в кристаллическое поле симметрии Од) окажется приводимым. В результате оно распадется на несколько неприводимых представлений (меньшей размерности), которым соответствует несколько энергетических термов (меньшей кратности вырождения), — терм окажется расщепленным. [c.258]

Для конечной совокупности п атомов особенно важное значение имеет представление, базисом которого являются 3 декартовых координат смещений атомов. Матрица преобразования, соответствующая некоторой операции совмещения, имеет в этом слу-чае размерность ЗгаХЗл. [c.342]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология