Размерность подпространства

Таким образом, собственные числа оператора проектирования есть 1 и О, причем число единиц равно размерности подпространства К, а число нулей - размерности ортогонального дополнения к Л. В указанном 10 [c.10]

Таким образом, каждое новое приближение ищется как линейная комбинация (s + 1)-го предыдущего приближения. Операция (П1.17) нужна потому, что размерность подпространства, образованного линейными комбинациями векторов х, xi . .., х>- при s <С п меньше, чем (п + 1). Поэтому, пользуясь только преобразованием (П1.16), нельзя выйти из данного подпространства и, если решение X не принадлежит этому подпространству, то это решение не достигается. Для получения первых Пд точек применяют метод с переменным базисом. В этом случае дс задается, а находится с помощью простой итерации. Вектор определяется по формулам (И1.16)и (П1.17) с S = 1, а затем по этим же формулам находят х , но в этом случае s = 2. Таким образом, базис увеличивается до заранее заданного числа По. По < п. [c.71]

При указанном определении области ректификации все сформулированные выше характеристики пучка (узловые и седловые особые точки, граничные элементы, размерность) без изменений переносятся на области ректификации. При этом необходимо различать размерность области ректификации и размерность подпространства, которому эта область принадлежит. Например, тройной азеотроп представляет собой область ректификации пулевой размерности, а подпространство, которому он [c.18]

Резюме. Одномерное подпространство, подобранное для представления данных в соответствии с критерием максимизации информации, определяется собственным вектором м, связанным с наибольшим собственным значением матрицы X — Х) X — А"). Этот результат можно обобщить -мерное подмножество, подобранное для представления исходных данных в соответствии с критерием максимизации информации, определяется ц собственными векторами, связанными с д наибольшими собственными значения.ми. Каждый дополнительный собственный вектор вносит уточняющую информацию до тех пор, пока размерность подпространства не достигнет размерности матрицы данных (Л"). При этом выделяется вся информация, содержащаяся в матрице данных. [c.193]

Поскольку у О [см. неравенство (111,113)], размерность подпространства Qm на единицу меньше размерности подпространства Dm. [c.90]

Размерность подпространства Ri меньше или равна размерности подпространства Qm- На рис. 22 подпространствами Ri и являются прямые и i 2> касающиеся в точке Р соответственно кривых г 52=0 и г 3х = 0. [c.90]

Свойства главных компонент таковы, что описание объектов в пространстве к главных компонент имеет наименьшие искажения особенностей их взаимного расположения по сравнению с описанием в любом другом подпространстве гой же размерности. Интерес представляет случай, когда к невелико. Тогда расположение объектов в пространстве выбранных главных компонент легко изучается визуально. При этом становится воз.можным делать выводы общего характера, например, выделить скопление параметров. [c.233]

Пусть известна в пространстве переменных Ui,. . ., точка i/< (цо,. . ., Ur), в которой выполняются условия (П1,2), т. е., другими словами, точка лежит на т гиперповерхностях, определяемых равенствами (И1,2). В точке f/ проведем т гиперплоскостей, касательных соответственно т гиперповерхностей (111,2). Обозначим через Р подпространство г — т размерности, образованное пересечением этих гиперплоскостей. Найдем в точке / направление наи-быстрейшего изменения функций z при условии, что оно принадлежит подпространству Р. Сделаем по этому направлению достаточно малый шаг в точку С/ -. Тогда в первом приближении можно считать, что координаты данной точки удовлетворяют равенствам (П1,2), так как она лежит в гиперплоскостях, касательных к гиперповерхностям (П1,2) в точке 7 . В точке описанную процедуру повторяем заново и т. д. [c.76]

Остановимся теперь на вопросе, почему в данном случае, в отличие от метода Вольфа, необходима операция (111,26). Предположим временно, что мы отказались от этой операции и на каждой итерации следующее приближение подсчитывали по формуле (П1,25). Рассмотрим подпространство, образованное всевозможными линейными комбинациями векторов (1П,53). Обозначим данное подпространство через Р. Размерность его меньше чем п, поскольку т ап. Если следующее приближение получать по формуле (П1,25), точка а + опять будет лежать в подпространстве Р. После того как одна из точек совокупности (П1,53) будет заменена на новую точку мы опять получим базис, который состоит из точек, принадлежащих подпространству Р. Отсюда новое приближение также окажется принадлежащим подпространству Р и т. д. Тогда итерации все время [c.42]

Еще один способ предварительного преобразования данных — переход к новой системе координат. Это осуществляется методами главных компонент или факторного анализа. В результате векторы исходных данных представляют в виде комбинации некоторых новых ортогональных векторов. Эта процедура тесно связана с проблемой сокращения размерности — проекции многомерного массива исходных данных в подпространство с меньшим числом измерений. Она будет рассмотрена в следующем разделе, посвященном неконтролируемым методам распознавания образов. [c.521]

Пусть I — матрица размерности (2/7 Хт), столбцы которой являются базисом подпространства V. Тогда нужно вычислять матрицу V I, т.е. применять оператор V к /п векторам. [c.84]

Пусть пространство Ж размерности п представлено в виде прямой суммы т подпространств [c.8]

Если т собственных чисел оператора Ь совпадают меж/ у собой, то соответствующие одномерные инвариантные относительно Ь подпространства однозначно не определяются. Однозначна определяется только их прямая сумма, т.е. инвариантное относительно , подпространство размерности, равной кратности вырождения т собственного числа. [c.10]

Пусть Л4 — унитарное пространство размерности 3. Рассмотрим подгруппу Я С и(Л4) — стабилизатор одномерного подпространства, порождённого некоторым единичным вектором ,J) G Л4. Пусть V — произвольный унитарный оператор, не сохраняющий подпространство С( . )). Докажите, что множество операторов ЯиУ ЯУ порождает всю группу U(yW). [c.67]

Пусть обозначает двойственное пространство — пространство строк матрицы 3 и К— пространство строк матрицы Как, так и Л,, могут быть отождествлены с подпространствами группы цепей С, размерности р — диг-р + д. Они называются соответственно подпространствами разделяющего множества и цикла и, согласно равенству (4), являются ортогональными в случае евклидова внутреннего произведения. Если мы отождествим обычным путем каждое пространство с двойственным ему пространством, то получим ортогональные разложения [c.331]

Решения fi (7), которые мы будем называть инвариантами, когда это не приводит к путанице, порождают три непересекающихся подпространства /, С R соответствующей размерности ij, определяемые следующим образом [c.333]

Размерность третьего подпространства инвариантов /3 можно определить следующим образом. Любой инвариант I2 /3 может быть записан как I2 = I2, + П , где I), е, и fij [c.335]

Т.е. верхний правый блок в каждой из матриц С равен нулю. В таком случае говорят, что представление Г приводимо на пространстве 91. Верхний диагональный блок С,, размерности кхк действует на подпространстве 91, и не выводит векторы этого подпространства за его пределы. Если к тому же и = О для всех операций группы, то представление Г называется вполне приводимым оно по существу составлено из двух представлений Г, и меньшей размерности, определенных на двух линейных пространствах 91, и 91 , что записывается следующим образом 91 = 91, 91 и Г = Г, . Итак, в этом случае [c.203]

Итак, симплектическому квантовому коду соответствует изотропное подпространство F С С" изотропность означает, что для любых f,gGF выполнено u f,g) = 0. Поэтому размерность симплектического кода легко вычисляется. [c.135]

Группировку объектов в классы можно осуществить с помощью методов кластерного анализа или проекции многомерных данных в подпространство меньшей размерности. При этом предполагается, что заранее не известно, к какому [c.521]

Число А называется числом главных компонент. Оно может быть меньше, чем общее число признаков К. Поэтому рассматриваемую операцию можно представить как проекцию матрицы X в подпространство размерности А с помощью проекционной матрицы Р. Результатом является набор координат [c.522]

Число т отрицательных коэффициентов а, в каноническом виде принято называть порядком стационарной точки. При этом возможны только следующие качественно различные типы стационарных точек т = О, т = I, т = п—. Стационарная точка нулевого порядка отвечает минимуму температуры кипения, а порядка (л—1) — максимуму. Если же О < ш < л — 1, то значение температуры кипения в стационарной точке не будет экстремальным, однако в окрестности подобной точки будут существовать подпространства размерностей тип — 1 — т, в которых в стационарной точке температура кипения окажется минимальной и максимальной, соответственно. Такие стационарные точки называют точками минимакса порядка т. [c.59]

Особо следует остановиться на вопросе о сохранении симметрии ядерной конфигурации при проведении оптимизации. Все градиентные методы сохраняют симметрию начального приближения. Это утверждение вытекает из того, что градиент некоторой функции имеет ту же симметрию, что и сама функция, а симметрия функции потенциальной энергии должна быть не ниже, чем симметрия ядерной конфигурации. Часто для уменьшения числа варьируемых параметров с самого начала вводят координаты симметрии и варьируют только полносимметричные координаты. В том и другом случае найденный экстремум может оказаться не минимумом по отношению к несимметричным деформациям, что в действительности часто и происходит. Можно исправить ситуацию, если чередовать итерационные циклы основной процедуры с одним циклом координатного спуска (метод, который свободен от ограничений по симметрии). С другой стороны, когда симметрия заранее обусловлена требованиями задачи, применение градиентных методов позволяет обойтись без использования симметризованных переменных, так как поиск экстремума автоматически осуществляется в подпространстве требуемой размерности. [c.117]

Z) = Z) rp имеет место следующее четкое разделение (1, 2,. ..,. .., п).То представляет собой подпространство концентрационного симплекса размерности (i—1), а — подпространство размерности [п—i—1). Суммарная размерность этих подпространств равна (п—2), т. е. соответствует условию (III.9). Вместе с тем продуктовые точки удовлетворяют указанным выше необходимым и достаточным условиям осуществимости процесса. Условие материального баланса выполняется, так как для i i dj = fj, Wj=0, а для j>i d, = 0, Wj = fj. [c.89]

Закрепление некоторой частицы означает разбиение системы на невзаимодействующие части. Для каждой такой части может быть построен свой ансамбль Гиббса. При закреплении 5 частиц возникает 8 + 1 ансамбль — по числу частей, на которые распадается первоначальная система. Каждая образовавшаяся подсистема представляется точкой в соответствующем ей фазовом пространстве размерности 2кх 1 = 1, 2,..., в 1), где Л - — число частиц в подсистеме. Фазовые пространства размерностей 2/с могут рассматриваться как подпространства основного фазового пространства размерности При этом функции распределения факторизуются по подпространствам. Например, [c.34]

Если бы мы были уверены в правильности этого соотношения перед проведением большего числа замеров, то не тратили бы время на прибавление третьей переменной. Выражаясь математически, данная ситуация соответствует утверждению о том, что даже если для описания нашей выборки объектов, очевидно, необходимо трехмерное пространство, двухмерное подпространство может уже содержать достаточно информации. Говорят в таком случае, что матрица (Х ) —это матрица второго ранга, только с двумя независимыми переменными. В разделе 5.3.3.3 приведен химический пример с сокращением размерности от 4 до 2. Теперь рассмотрим матрицу (Х2), полученную из (. 1) при допущении, что три переменных — это экспериментальные результаты, включающие случайную ошибку [c.190]

Число основных факторов представляет собой реальную размерность факторного подпространства и ранг исходной матрицы данных. Это также число линейных соотношений, существующих между исходными переменными, что и позволяет объяснить основную часть инфор.мации, заключенной в таблице реальных данных, причем остаточная информация [х — х ) обусловлена шумом или экспериментальной ошибкой. [c.206]

Обозначим также через линейное подпространство (размерности q = п — т) пространства Y, образованное пересечением гиперплоскостей Si (i = 1,. .., т). [c.60]

Общее правило для оценки количества независимых химических инвариантов в реагирующей системе гласит, что число независимых химических инвариантов равно разности между числом молекулярных видов н числом независимых химических реакций. При этом важно подчеркнуть, что если для заданного множества молекулярных видов м, = 1,. . ., 7V, установлено векторное подпространство структурных видов максимально большой размерности, то последнее тождественно совпадает с множеством возможных хилп1Ческих инвариантов. Отсюда непосредственно следует, что число химических инвариантов не зависит от конкретных химических реакций, протекающих в реагирующей системе, а определяется количеством молекулярных видов и их структурой. Итак, с использованием химических инвариантов система кинетических уравнений [c.246]

Линейная оболочка конечного числа векторов Фх,. .., фщ из ЗСвсегда образует подпространство в Ж. Если вектора фх, , Фт линейно независимы, то они образуют базис подпространства, и размерность подпространства равна т. В этом случае говорят, что подпространство натянуто на вектора фх,..., фт, как на базис. [c.6]

Последнее требует, чтобы или uj = О, что означает 11 /3, или vap2I ) = 0. Следовательно, /3 = О, когда 6 = О и граф G — ациклический, и, когда o > О, размерность подпространства /3 > О, только если часть разделяющего множества является такой, что (ip2I ) е. (/ ) для всех с е. Поэтому /3 < 8 всякий раз, когда эта величина положительна, и d /dt = 0. Очевидно, здесь речь идет об очень вырожденной ситуации. [c.335]

В закрытых системах полная масса смеси сохраняется, и в результате П > О в нуль-пространстве. yV e v ). Это означает, что реакционный симплекс i2( q) ограничен и, следовательно, компактен, и применение теоремы Брауэра о неподвижной точке показывает, что существует по крайней мере одна точка равновесия [21]. Аналогичный вывод справедлив для открытых систем, когда существует положительный инвариант О согласно следующему постулату Хорна и Джексона [9]. Чтобы избежать тривиальных случаев, когда каж- дый вектор концентраций с е R соответствует стационарному состоянию, мы в дальнейшем полагаем, что размерность подпространства /3 = 0. Для доказательства этого предположения используется следующая альтернативная теорема Штимке (1915 г.) (см., например, [11]). [c.335]

Обращение супероператора - и11, а соответственно и + шРг, предполагает, что нулевые собственные значения исключены путем соответствующего умень-щения размерности пространства Лиувилля. Используя проекщюнный супероператор, проецирующий на подпространство когерентностей с порядком р = , выражение (4.4.26) можно вывести строго. [c.204]

Многообразие размерности п — 2, отвечающее условию химического равновесия, разделяет (п—1)-мерный концентрационный симплекс на два подпространства той же размерности (п—1), одно из которых соответствует области прогекания прямой реакции, а другое — обратной. [c.194]

Кроме я-снг.шлексов (треугольнпков в п тетраэдров в R,) в практике используются также параллелотопы (параллелограммы у / 2 и параллелепипеды в Нз). В отом случае в качество пространств Р, по отношению к которым соответствующие множества точек являются Р-разрешимыми, используются пространства (или подпространства) полиномов Q , степень которых не превосходит к по каждой переменной в отдельности размерность равна, очевидно, (Л +1)". [c.205]

Полученный результат является частным случаем более общего результата, справедливого не только для линейных молекул, но и для молекул другой симметрии, и не только для одноэлектронных, но и для многоэлектронных состояний. Множество операций пространственной симметрии молекулы образует так назьшаемую группу - множество, обладающее определенными свойствами, изучаемыми в теории групп [1, 10, 12, 26]. Здесь приведены лищь некоторые результаты применения теории групп к квантовой теории молекул. Так, можно ввести такие наборы функций (базисы неприводимых представлений группы симметрии молекулы), которые при операциях симметрии молекулы будут преобразовываться друг через друга. Иными словами, базис неприводимого представления определяет функциональное подпространство, которое инвариантно относительно преобразований симметрии молекулы. Слово неприводимое означает, что инвариантное подпространство обладает наименьщей возможной размерностью, назьшаемой размерностью представления. Функции, образующие базис неприводимого представления, называют функциями-партнерами. [c.38]

Индекс О различает отдельные канонические относительно операторов Ь и 8 цепочки, на которые такой базис распадается. Подпространство конфигурации размерности (25 + 1) (11 + 1), для которого одна такая цепочка служит базисом, назьтают термом. Поскольку базисы в Г/,5 образуются объединением отдельных канонических цепочек, отвечающих различным а, то Tls, а вместе с ними и вся конфигурация есть прямая сумма термов. Термы, принадлежащие одному и тому же пространству Т15, называют эквивалентными или однотипными. Операторы Я, 5 представляют собой другую пару операторов, коммутирующих между собой и с операторами и 8 , и, следовательно, обладающих в Г 5-06-щей системой собственных функций [c.131]

Итак, базисом в подпространстве служат структуры Н и О + С, или Н и СО. Следовательно, смесь СН2О, СО и Нг в базисе подпространства размерности 2 представима так [c.24]

Определение 14.1. Квантовый код типа ( г, т) — это подпространство М. С Б " размерности 2" . (Число га — количество закодированных q-битов — не обязательно долж ио быть целым). [c.119]

При дальнейшем увеличении числа компонеитов в системе размерность концентрац. пространства соотв. возрастает, что неизбежно приводит к использованию разрезов и разл. проекций на подпространства меньшей размерности. Необходимость в проекциях и сечениях еще больше возрастает при графич. изображении разл. физ.-хим. св-в системы, к-рые являются ф-циями ее состава (см. Диаграмма состав - свойство). [c.98]

Наиб, важная физ.-хим. характеристика М.с.-ее диаграмма состочнич (фазовая диаграмма), определяющая фазовое состояние системы при разл. брутто-еоставе. В случае тройной системы с эвтектикой на фазовой диаграмме имеются пов-сти кристаллизации отдельных твердых фаз, линии, отвечающие совместной кристаллизации двух твердых фаз, и ионвариантная точка, отвечающая равновесию расплава с тремя твердыми фазами. Диаграмма плавкости тройной системы описывает т-ру плавления смесей разл. состава она должна изображаться в трехмерном пространстве. На практике, однако, используют проекции изотермич. сечений этой диаграммы на плоскость концентрац. треугольника, а также сечения, отвечающие определенным соотношениям между концентрациями компонентов. В случае четверных и более М. с. приходится строить проекции изотермич. сечений не на все концентрац. пространство, а на нек-рые из его подпространств меньшей размерности. [c.98]

Обозначим через линейное подпространство (размерности т) пространства Y, образованное всевозможными линейными комбинациями векторов gi = grad ср,- (г = 1.. .., т). Если векторы (i = 1,. . . , т) линейно независимы, то т = т, в противном случае тС т. [c.60]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология