Приложение Б. Численные методы

Специальные приложения численных методов [c.39]

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С- Лейбензона также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (6.2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (6.2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры. [c.183]

Теоретические расчеты скорости коррозии, напряжений и долговечности по формулам, приведенным в настоящей главе, производили численными методами с применением ЭВМ (алгоритм расчета приведен в приложении). В большинстве расчетов принимали -1 см (для стали), Т= 300°К. [c.110]

Значения критерия Ме в зарубежных публикациях с некоторых пор считается наиболее удобным и достаточно точным подсчитывать четырех точечным численным методом Чебышева. (П. Л. Чебышев (1821-1894 гг.) - великий русский математик, академик. В частности, им создана теория наилучшего приближения функций с помощью многочленов, одним из практических приложений которой и является изложенный ниже метод.) Предварительно формула (4.35) путем подстановки в нее значения Л/ р из (4.21) приводится к виду [c.80]

Очень полезны приложения, в которых дана сводка термодинамических формул, описаны численные методы расчета, приведены многочисленные программы для ЭВМ, таблицы для расчета свойств компонентов и их смесей. [c.5]

Приложение Б. Численные методы [c.560]

В настоящее время, даже в линейной постановке, аналитически решен весьма ограниченный круг задач о напряженном состоянии конструкций с концентраторами. Несмотря на большие возможности численных методов расчета (МКР, МКЭ и др.), они связаны с трудоемкими вычислениями и не универсальны. В связи с этим большое значение приобретают инженерные методы, позволяющие быстро и оперативно оценивать напряжения и деформации на различных стадиях деформирования в зависимости от геометрии и размеров кон центраторов напряжений, механических характеристик металла и величины приложенных внешних нагрузок. [c.41]

При большом числе степеней свободы, что имеет место в приложениях МКЭ, для вычисления собственных значений необходимо использовать численные методы. [c.108]

Временные эффекты прочности наблюдаются в области II. В этой области в начальный момент скачок смещения бо будет меньше бк, и трещина в течение некоторого времени останется неподвижной. Под действием нагрузки трещина постепенно раскрывается и при достижении значения бк начинает продвигаться. При этом на конце трещины выполняется условие б = = бк, а скорость продвижения трещины будет тем больше, чем больше напряжение, приложенное к образцу. При 0 = 00 трещина растет со скоростью V—>-0, а при ст=сгк — с критической скоростью Ук. Зависимость времени разрушения т от напряжения описывается сложным выражением и рассчитывается, как правило, численными методами с применением ЭВМ. [c.100]

При отсутствии численных методов расчета качественно оценивать поведение материалов следует с использованием результатов общепринятых испытаний вязкости материала при разрушении, например, по Шарпи. Результаты этих испытаний нужно сравнить с данными эксплуатации (по крайней мере тонкостенных сосудов). При этом допустимая длина дефектов, равная 300 мм, получается при приложенном напряжении, равном двум третьим предела текучести при температуре, соответствующей энергии [c.187]

Использование численных методов при приложении вариационных принципов изложено в работах [2] и [4, гл. 4]. В работе [2] численные методы рассматриваются с точки зрения их практического приложения, приведены примеры их приложения к решению технических задач. Канторович [4] более строго рассмотрел вопросы сходимости и оценки ошибок. [c.177]

Поскольку эти уравнения нелинейны, их решение приходится искать численными методами. Кочрэн [5] дал оригинальное решение этих уравнений, проводя разложение в ряды при малых и больших значениях Неизвестные коэффициенты разложения определялись из условия согласования получающихся рядов при промежуточных значениях Однако значительно проще решить систему нелинейных дифференциальных уравнений прямыми численными методами (приложение В). Решение уравнений (96-10), удовлетворяющее условиям (96-11), показано на рис. 96-1. После того как профили скоростей уже определены, давление можно получить путем интегрирования последнего из уравнений (96-10) [c.314]

Этих граничных условий достаточно для решения данной задачи. Равенства (119-4) и (100-3) составляют систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями в нуле и на " бесконечности. Такие уравнения легко решаются с помощью численного метода, изложенного в приложении В. Получаемые при этом результаты обсуждаются в следующих разделах. После вычисления профилей концентрации и потенциала предельную плотность тока можно найти по потоку скорость-определяющего реагента, причем удобной ме- [c.390]

В то же время становилась очевидной ограниченность аналитических методов решения краевых задач динамики, особенно в связи с практическими приложениями сорбционных процессов. Внедрение ЭВМ в последние годы не только расширило классы решаемых задач и ускорило получение результатов, но и создало качественно новую ситуацию. Во-первых, развитие численных методов применительно к динамике сорбции позволяет в настоящее время решать практически любую краевую задачу как в однокомпонентном, так и многокомпонентном варианте. Во-вторых, методом математического эксперимента могут быть исследованы физико-химические особенности различных сорбционных систем. В-третьих, были сформулированы и частично решены принципиально новые задачи динамики сорбции, в том числе оптимизационные. Одновременно происходит смещение сферы приложения аналитических методов если ранее они имели целью получить расчетные формулы, то теперь целесообразнее расчет перепоручить ЭВМ, а методы прикладной математики направить на некоторые новые проблемы динамики адсорбции (продоль- [c.152]

Рассмотренные частные случаи позволяют проводить простую интерпретацию экспериментальных данных. Если зависимость числа индуцированных зарядов от времени отличается от рассмотренной, решение уравнения (4) необходимо проводить численными методами. В Приложении 2 уравнение представлено в безразмерном виде и указан путь решения в том случае когда п изменяется по синусоидальному закону. [c.133]

Для систем более сложного вида задача Коши решается численными методами. Например, методом Рунге-Кутты (см. приложение 4). [c.157]

Заметим, что указать общие приемы для нахождения решений уравнений в частных производных затруднительно. Поэтому часто эти уравнения решают численными методами (см. приложение 46) и лишь для отдельных частных случаев разработаны методы, позволяющие строить решения. Простейшие из этих случаев рассматриваются ниже. [c.233]

Описанным выше методом операционного исчисления довольно редко удается найти аналитическое выражение для функции релаксации или ползучести. Если изображение заданной функции еще удается найти, то обратный переход от изображения к оригиналу наталкивается на значительные трудности. Нужно учесть также, что функции релаксации или ползучести, определенные опытным путем, задаются таблично или графически. Поэтому для практического приложения интересны численные методы решения основного уравнения (3.50) или (3.52). При этом отпадает необходимость приближенного представления эмпирической зависимости аналитическим выражением. [c.99]

Помимо изложения современной теории течений в соплах, новых аналитических и численных методов, представлены примеры многочисленных приложений. Рассмотрены разнообразные физикохимические процессы, характерные для течений газа в соплах диссоциация и рекомбинация, релаксация колебательных степеней свободы, двухфазные процессы с фазовыми превращениями, такими ка неравновесная конденсация и кристаллизация. [c.6]

Математические методы в химии и в химической кинетике в частности находят самое широкое применение. Активное использование ЭВМ и современных методов математического анализа позволяет решать широкий круг вопросов, связанных с созданием химических баз данных, информационно-поисковых систем, распространением методов вычислительного эксперимента и имитационного моделирования в химии, развитием математического моделирования химико-технологических процессов, решением математических проблем теоретической химии, термодинамики, химической и физической кинетики и теории горения, применением методов теории графов, совершенствованием методов обработки экспериментальных данных и решения задач идентификации моделей, созданием систем автоматизации эксперимента, разработкой проблемно-ориентированных языков и методов машинной аналитики и т. д. Все это позволяет говорить о становлении нового научного направления — химической информатики и математической химии. По отдельным из названных вопросов проводится значительное число конференций [83-85,286,288,290,291,333,498,527], однако в монографической литературе [187, 236, 328] представлены лишь традиционные задачи, чаше всего вычислительного характера. Данное приложение призвано хотя бы частично восполнить этот пробел. Мы приведем здесь ряд нестандартных численных методов, которые только в последнее время начали применяться для анализа уравнений химической кинетики. В основном дается описание алгоритмов. Программная их реализация упоминается по необходимости весьма кратко, однако везде, где это возможно, даются соответствующие ссылки. В приложении 3 существенно используется разработанное в НИ ВЦ АН СССР (Пущине) программное обеспечение качественного исследования динамических систем. Приложения 6, 7 носят информационный характер. В них дается краткое описание новых математических средств — алгоритмов и программ интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений и методов интервального анализа. [c.239]

Приложение 7. Методы численного интегрирования систем 273 [c.273]

Приложение 7. Методы численного интегрирования систем жестких уравнений химической кинетики [c.273]

Приложение 7. Методы численного интегрирования систем 279 линейная часть [c.279]

Работы по созданию описанных в этой книге численных методов для решения задач тепло- и массообмена были предприняты более 20 лет назад в МГУ по пнициативе академика Г. И. Петрова, которому авторы глубоко благодарны за миогочислеиные ценные советы и, в особенности, за указание актуальных областей для приложения численных методов. [c.7]

Анализ экспериментальных значений напряжепин до недавних пор обеспечивал единственный способ определения трехмерных напряжений нри приложении асимметричной или концентрированной нагрузки к оболочке и т. д. В настоящее время он является дополнительным средством наряду с численными методами. Разработаны точные оптические и тензометричеекие методы исследования напряжений, отличающиеся простотой и обеспечивающие точность измерения напряжений или усилий. [c.263]

На основании кинетической кривой газовыделения численными методами по уравнению - d С / dX = к с определяют порядок Л и константу скорости К. Для расчетов используют вариант программы на языке FORTRAN 4и Pit 1 (приложения 3,4). [c.104]

Чупин J. Методысхемно-струк-турной оптимизации систем многопрофильных каналов. - В кн. Численные методы оптимизации и их приложения. Иркутск СЭИ СО АН СССР, 1981, с. 160-174. [c.271]

В этом смысле более удобной для приложений оказалась полукласси-ческая теория поверхностной энергии, развитая Смитом. В своей теории Смит использовал вариационный принцип в интегральной форме для вычисления плотности заряда и работы выхода электрона в модели желе при рассмотрении плоской границы раздела. В этом случае задача сильно упрощается, однако решение системы уравнений возможно лишь численными методами. [c.302]

Как и в случае максимально плоской аппроксимацпн, выраже-нпе (1.50) для определения величины 5 = со8 29п2 алгебраически неразрешимо. Для нахождения этой величины целесообразно применить численный метод и ЭВМ. АЛЬФА-программы процедур по решению ур-ний (1.40) и С 1.50) даны в приложении 2. [c.31]

Прием, который встретила наша книга, обусловил необходимость второго ее издания спустя немногим более года. Многочисленные письма с пожеланиями и критическими замечаниями (а также с положительными отзывами, за что мы особенно благодарны) показали, что книга нашла широкий круг заинтересованных читателей. Это побудило нас существенно переработать для нового издания некоторые разделы книги. Расширена и дополнена глава, посвященная системам нелинейных уравнений. В главе Переменные с индексами в качестве примера мы добавили расчет числа изомеров. Кроме того, читатель теперь может получить сведения по основам машинной графики, автоматизации эксперимента и обработки экспериментальных данных. В последней главе мы решили на примере жестких систем дифференциальных уравнений познакомить химиков с современными численными методами. В это издание не включено приложение, в котором рассматриваются вопросы адаптации приведенных в книге программ к ЭВМ других систем. Необходимую информацию можно найти в обзорах, публикуемых в специальных журналах [см., например. Na hr. hem. Te hn. Lab., 32 (2), 1—23 (1984)]. [c.6]

Одним из наиболее важных требований для приложения генетических методов в борьбе с насекомыми является детальное знание биологии, характера распространения и динамики численности различных насекомых. Нужно подчеркнуть, что генетический метод непригоден для подавления популяций насекомых при вышкой численности. Для подавления крупных популяций другие методы потеициалБно гораздо более эффективны, чем генетический метод. Больпшшство исследований генетических методов было проведено по стерилизации и разведению насекомых. Вопросы практического применения привлекали гораздо меньше внимания. Однако для разработки и применения этого метода столь же необходимы экологические данные о поведении насекомого в полевых условиях. Полевые дашные—основа для практической разработки метода, включают а) достаточно точные оценки [c.288]

Изучение кристаллизации и связанных с ней проблем методами ЧЭДТ в последние годы распространяется и на более сложные и интересные объекты, чем благородные газы и молекулярные кристаллы. Хотя работа с другими объектами практически только начинается, полезно дать краткий обзор этого нового поля приложений численных экспериментов. По-видимому, наибольших успехов можно ожидать в исследованиях по кристаллизации воды и, возможно, некоторых водных растворов. Это связано с тем, [c.96]

Применение сокращенной процедуры расчета к многокомпонентным системам. Для приближенного расчета высоты колонны при изотермической абсорбции многокомпонентных смесей можно использовать методы, изложенные в предыдущих разделах применительно к переносу одного компонента системы, поскольку диффузионные эффекты учитываются соответствующей корреляцией для /S.Nqq, а интеграл, который определяет величину Nj, один и тот же во всех случаях. Приводимый ниже пример 9.10 дает довольно убедительное обоснование упомянутой гипотезы, так как рабочая и равновесная линий рассматриваемой системы имеют значительную кривизну при изменяющихся степенях противодиффузии спирта и водяного пара. В спорных ситуациях высоту колонны можно найти путем графического интегрирования уравнения (9.142), как было показано ранее для простых случаев, или с помощью метода ВЭТС (раздел 9.8), а также численным методом (см. Приложение). [c.498]

Необходимость разработки инженерного анализа устойчивости пограничных слоев и развития возмущений диктуется потребностями практики сегодняшнего дня. В связи с созданием ламинаризо-вапных летательных аппаратов, малошумных аэродинамических установок, а также важностью получения оценок положения точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный в слож-аых трехмерных течениях в последнее время получили широкое примепепие численные методы анализа устойчивости пограничных слоев. Однако на пути их непосредственного использования в инженерных приложениях стоят следуюш,ие трудности [255]. Во-первых, задача численного расчета устойчивости трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе является весьма трудоемкой и требует значительных затрат времени ЭВМ. Во-вторых, численное решение задачи на собственные значения, возникающей при анализе устойчивости течения, пе допускает полной стандартизации, когда пользователю вычислительно программы достаточно только задать входные данные программы, чтобы сразу получить интересующий его ответ. При численном расчете устойчивости течений необходимо хорошо ориентироваться в особенностях того или иного типа неустойчивости, чтобы правильно задать начальные приблил ения для итерационных процессов и обеспечить работу вычислительной программы. [c.231]

Динамика закрытых химических систем является традиционным объектом приложения математических методов в химической кинетике, начиная с известной работы Я. Б. Зельдовича [210]. Основным инструментом исследования таких систем является аппарат термодинамических функций Ляпунова [167]. Естественные физические требования гарантируют здесь для соответствующей кинетической модели (в том числе для неидеальной кинетики) ее термодинамическое поведение при заданных балансах положительное равновесие единственно и устойчиво в целом. Это общий результат. Как будет показано в этом разделе, термодинамические функции Ляпунова могут быть эффективно использованы также при качественном и численном анализе той или иной конкретной модели, что позволяет получить ряд содержательных результатов. [c.34]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология