Вырождения кратность

Рис. 9. Диаграмма, демонстрирующая кратность вырождения энергетических уровней атома водорода

Общей характеристикой уровней энергии, связанной с С. м., является степень вырождения (кратность) г уровней энергии, т. е. число разных состояний молекулы, соответствующих заданному значению энергии и отличающихся другими характеристиками. Уровни с г=1, 2, 3 соответственно наз. невырожденными, дважды вырожденными, трижды вырожденными и т. д. Для каждой группы симметрии электронные и колебательные уровни энергии можно квалифицировать по типам симметрии. В частности, при наличии центра симметрии все уровни энергии разделяются на четные ) и нечетные (и). Четным уровням соответствуют волновые функции я ) (см. Квантовая механика), не изменяющиеся при отражении в центре симметрии [c.437]

Собственная функция р1(д) определяет квантовое состояние значение , — соответствующий уровень энергии. Если заданному значению энергии отвечает несколько (к) независимых функций г з( ), т. е. несколько различных квантовых состояний, то энергетический уровень называют вырожденным-, кратностью вырождения gk называют число квантовых состояний с одной и той же энергией. При решении задач статистической термодинамики достаточно знать энергии различных квантовых состояний (энергетические уровни и их вырождение) знания самих волновых функций не требуется. [c.77]

Так, например, для системы эквивалентных спинов Ла существуют четыре состояния, описываемые, как показано в табл. 1.4, Состояние, для которого /2 = О, называется двукратно вырожденным, так как. описывается двумя мультипликативными функциями. В общем случае кратность вырождения состояний для системы из п эквивалентных спинов определяется с помощью коэффициентов биномиального разложения ( а+1)", образующих при разных п так называемый треугольник Паскаля (табл. 1.5). [c.23]

Учитывая, что каждому значению I отвечает 21 -Ь 1 разных состояний, а при заданном п I принимает значения от О до м — 1, нетрудно посчитать, пользуясь формулой для арифметической прогрессии, что кратность вырождения п-го энергетического уровня равна [c.38]

Важность понятия базиса неприводимого представления состоит в том, что вследствие соотнощения (1.100) линейно независимые функции оператора Н, соответствующие ш-кратно вырожденному собственному числу, образуют базис неприводимого представления размерности т. Таким образом, не решая уравнения (1.98), а только изучая симметрию оператора Н, можно определить кратность вырождения энергетических уровней и установить тип симметрии волновых функций. [c.38]

Обозначим попарно различные собственные значения а через а -,. .. Если при этом значение а имеет вырождение кратности то мы должны будем ввести новый индекс для обозначения различных состояний, относящихся к тому же самому собственному значению. Мы можем обозначить эти состояния через где /=1, 2,. . ., Поскольку система ф для данного п определена только с точностью до унитарного преобразования, то желательно выбрать функции этой системы в наиболее удобном для рассматриваемой проблемы виде. Выберем таким образом, чтобы псе матричные элементы типа (а I V а ) были равны нулю, за исключением случая I — I. Это возможно, поскольку преобразование, которое диагонализирует часть матрицы V, относящейся к уровню а для какой-нибудь заданной системы 4 (а ), преобразовывает эту систему ф к системе, удовлетворяющей только что поставленным условиям. [c.38]

Какова кратность вырождения уровней а) плоского ротатора б) трехмерного ротатора [c.23]

Когда атом не возмущен внешними полями, то его гамильтониан коммутирует с результирующим моментом количества движения J. Вследствие (3.22) уровень энергии, соответствующий данному значению у, имеет вырождение кратности (2у 1) каждое из отдельных состояний характеризуется различным значением т. Такую систему (2у-[-1) состояний мы будем называть уровнем. При наличии возмущения, когда не все состояния имеют одну и ту же энергию, представляется удобным оставить за такой системой состояний то же название, так что мы будем употреблять слово уровень и в этом широком смысле. Аналогично, мы определяем слово линия для обозначения излучения, связанного со всеми возможными переходами между состояниями, принадлежащими к двум уровням. Излучение, возникающее при переходе между некоторой парой состояний, мы называем компонентой линии. Все компоненты имеют то же волновое число, за исключением случая, когда атом возмущен внешним полем. [c.100]

Массив кратности вырождения соответствующих частот если вырождения данной частоты нет, то соответствующий элемент массива равен 1, — ц. [c.257]

Если т собственных чисел оператора Ь совпадают меж/ у собой, то соответствующие одномерные инвариантные относительно Ь подпространства однозначно не определяются. Однозначна определяется только их прямая сумма, т.е. инвариантное относительно , подпространство размерности, равной кратности вырождения т собственного числа. [c.10]

Соотношение (1.100) позволяет провести классификацию собственных функций оператора Й, т.е. выяснить кратность вырождения собственных шачений и определить, какой симметрией обладают его собственные функции. [c.37]

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

В общем случае число компонент в мультиплете спиновой системы Ат, обусловленном спин-спиновым взаимодействием с системой 5 (п — число ядер Б, обладающих спином 1в), определяется формулой (2 /б-ь1), а при спине /б = /2, как в ПМР, это число равно 1). Соотношение интенсивностей компонент всегда определяется кратностями вырождения состояний спиновой системы Бп, находимыми при данном значении п, как было показано выше (см. табл. 1.5). [c.26]

Вообще в статистике термины вырождение или вырожденный применяются в трех различных смыслах. Во-первых, как число уровней с одинаковой энергией, т. е. кратность уровней энергии, илн их статистический вес, или мультиплетность (об электронных состояниях). [c.212]

Мы уже неоднократно писали молекулярную сумму по состояниям в наиболее компактном виде, учитывая так называемую кратность или вырожденность энергетических уровней молекул. Таким образом, Q приводится к виду, учитывающему результаты применения квантовой теории к изучению молекул [c.219]

При взаимодействии атомных групп, содержащих несколько ядер, спектр ЯМР, естественно, усложняется. Спектр ПМР этильного радикала, например в подкисленном спиртовом растворе (и аналогично в молекулах H3 H2R, где R — невзаимодействующий атом), при достаточном разрешении имеет вид, представленный на рис. 1.8. В такой системе, относящейся к типу А3Х2, спиновые состояния группы Xq описываются, как было показано для двухспиновой системы в табл. 1.4. Эти состояния протонов группы СНг влияют на резонансный сигнал протонов метильной группы СНз, который и представляет поэтому триплет в соответствии с числом возможных значений суммарного спина системы Х2. Соотношение интенсивностей компонент в триплете 1 2 1, что соответствует соотношению вероятностей (кратности вырождения), влияющих состояний группы СНг с данным суммарным спином (см. табл. 1.4). [c.25]

Следовательно, если учитывать различные спиновые состояния, то кратность вырождения п-го энергетического уровня будет равна 2п [c.38]

Про функцию ill говорят, что она является линейной комбинацией функций г1 1 и грг. Аналогично может быть построена линейная комбинация большего числа функций. Ясно, что число различных линейных комбинаций дан<е двух функций бесконечно велико. Это означает, что возможно либо одно состояние, соответствующее энергии Е, либо бесчисленное множество разных состояний. Однако в большом числе случаев, в частности для атома водорода, можно записать все волновые функции, описывающие состояния с определенным значением Е, в виде линейных комбинаций некоторого определенного числа линейно независимых волновых функций (т. е. таких функций, что ни одна из них не может быть записана в виде линейной комбинации остальных). Именно линейно независимые волновые функции рассматриваются в квантовой механике как существенно разные, и число этих функций определяет кратность вырождения соответствующего энергетического уровня . [c.37]

MOB Н половина из них имеет ms = + V2, а другая половина гпа = =— /2. Следовательно, если учитывать различные спиновые состояния, то кратность вырождения -го энергетического уровня будет равна 2 2. [c.44]

Все состояния водородоподобного атома с и > 1 называются возбужденными. Энергия их выше, чем у основного состояния. Возбужденные состояния вырождены относительно квантовых чисел 1 и лИ/. Кратность вырождения по / и ш, равна и . [c.28]

Кроме названных характеристик каждому терму (и каждому состоянию отвечает полный спин 5 всех электронов молекулы. Если 5 0, то имеет место вырождение кратности (25+ 1) по направлениям полного спина. Число (25 + 1) называется мульти-плетностью (или спиновой мультиплетностью) терма и пищется в виде верхнего левого индекса у буквенного символа терма, например П. [c.198]

Н, всегда имеет полную систему собственных функций . Каждому собственному значению Е соответствует собственная функция Ч г( )- Если одно собственное значение Ег соответствует одновременно нескольким собственным функциям Ч ,-и[,(1ц=1 -М, + 2,. ... .., 1 + т), то состояние называется вырожденным с кратностью вырождения, равной т. Любая линейная комбинация вырожденных функций, соответствующих вырожденному состоянию, также будет удовлетворять уравнению (1.27) с тем же самым собственным числом Ei. [c.13]

Поскольку каждому значению / отвечает 2/ 1 значений т, кратность вырождения состояний равна / = 2/+ 1. [c.78]

Собственные значения энергий могут- образовывать либо дискретную последовательность уровней анергии, либо непрерывную последовательность (сплошной спектр), либо и то и другое вместе. Это — первая особенность квантовой статистики по сравнению с классической механикой, в которой величина II, являясь непрерывной, всегда образует сплошной спектр. Вторая особенность состоит в том, что каждому уровйю энергии может соответствовать не одна, а несколько собственных функций. В этом случае число собственных состояний частиц, связанных с данным значением энергии, характеризует вырождение уровня. Если кратность вырождения, соответствующая некоторой энергии например, равна gi, то и число собственных состояний, соответствующих этой энергии, равно и в этом случае говорят о --кратном вырождении -го энергетического уровня. Для невырожденного состояния, естественно, число собственных состояний g = I. Поскольку каждое собственное состояние (первый постулат) имеет одинаковую вероятность реализации, то вырождение 1 нагзывается также априорной вероятностью или статистическим весом данного энергетического уровня. [c.59]

Иными словами, энергетический спектр атома водорода вырожден по квантовым числам I и т. Кратность вырождения энергетических уровней зависит от симметрии системы . Атомные сйстемы [c.81]

Здесь Г - индекс неприводимого представления, например квантовое число I для случая движения электрона в центрально-симметричном поле. Собственное значение (иГ) выписывают столько раз, какова его кратность (т.е. размерность оболочки). Верхние индексы у чисел Г указывают, что среди них могут быть и совпадающие. При заданных значениях (п. Г) задача может быть вырожденной, при этом следует выбрать порядок следования функплй в пределах выделенной оболочки. Если базисные функции р являются собственными функщ1ями оператора S , то можно условиться, что первыми, например, располагаются функции со спином вверх (5 = +1), а затем - со спином вниз (S = -1). Важно лишь общее утверждение о возможности нумерации состояний упоря- [c.104]

Следует подчеркнуть, что понятие вырождение (и соответственно кратность вырождения ) относится именно куровню энергии, а не к состоянию. К сожалению нередко, в том числе и в физической литературе, можно встретить термин вырожденное состояние . Это выражение следует рассматривать как некоторый вульгаризм в научной терминологии и понимать под ним вырождение уровня энергии , соответствующего определенной группе состояний. [c.33]

Рассмотрим более сложный случай образования МО на примере молекулы кислорода (рис. 7). Здесь два разрыхляющих электрона расположены на дважды вырожденном уровне п 2р. В соответствии с правилом Гунда они неспарены и имеют параллельные спины. Подсчет кратности связи дает валентность 2, однако из рисунка видно, что обычно принимаемая. валентная схема 0=0 неверна. В действительности в молекуле Оа в основном ее состоянии двойная связь образуется из трехкратной за счет ее разрыхления двумя электронами. Отсюда видно,что молекула Оз имеет два свободных электрона. Следовательно, кислород должен обладать парамагнитными свойствами. Этот вывод вполне согласуется с опытом. [c.27]

Когда к собсгвеншл х функций соответствуют о щому и тому же собственному значению, говорят, что они принадлежат набору с кратностью вырождения к. Пусть функции q>i я (р2 — [c.12]

Найдите кратность вырождения основного состояния атома, электоонная конфигурация незаполненной подоболочки которого nd. [c.33]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология