Шаровые функции

Функции У п1 называются шаровыми функциями или сферическими гармониками. Подставляя в (2.26) выражения для 0(9) и Ф(ф) из (2.22) и (2.19), запишем угловую часть в обшем виде [c.27]

Во-вторых, вследствие того что уравнение конвективной диффузии при Ре < 1 может быть заменено уравнением Лапласа, совокупность уравнений гидродинамики и диффузии допускает решения, зависящие от угла 0, в виде первой шаровой функции и ее производной (т. е. как os 0 и sin 0), откуда, в частности, следует [c.133]

Из (1.11), (1.12) следует, что действие L на произведение шаровых функций, входящих в разложение (1.9), приводит к соотношению [c.81]

Функции 1т ( Э , ф) называются шаровыми функциями и обозначаются через /гт ф) функции Р ( os ) называются полиномами Лежандра. [c.76]

Уравнение (Vl.6) имеет решение , представленное через шаровые функции [c.99]

Мы привели два вида волновой функции, определяющие различные состояния свободной частицы ( 1.7) и (VI.8). Какое из этих состояний имеет место в каждом конкретном случае, зависит от граничных условий. Например, поскольку электрон в атоме описывается функцией, угловая часть которой представляет собой шаровую функцию (см. гл. VII), состояние свободного электрона, покинувшего атом, характеризуется выражением вида ( 1.8). [c.99]

Уравнения самосогласованного поля могут быть написаны для любой много-электронной системы. В случае атомов можно сделать упрощающее предположение о сферической симметрии, и тогда волновые функции можно выразить через радиальные функции R i r) и шаровые функции <р). В результате, [c.421]

Шаровая функция предполагается нормированной следующим образом [c.421]

Пользуясь теоремой сложения шаровых функций, получаем [c.421]

Квантово-механическое рассмотрение общего типа таких задач было выполнено Крамерсом ). Результат Крамерса можно сформулировать кратко следующим образом. Расщепление, вызванное возмущением, различным для различных комбинаций невозмущенных вырожденных состояний, разлагается на сумму поправок, аналогично классическому разложению по шаровым функциям. Первый член [c.435]

Шаровая функция У(т( , ф) известна непосредственно [c.22]

Для упрощения последнего интеграла разложим произведение шаровых функций в ряд. Воспользуемся формулой [60, с. 210] [c.325]

Последнее уравнение решается с помощью шаровых функций /-Г0 порядка, при условии, что Л = / (/ -Ь 1), где / = О, 1, 2,.. (/ — побочное квантовое число). [c.482]

Здесь (0ф) — шаровая функция Лапласа, [c.130]

Как известно, частным решением уравнения (128,4) служит объемная шаровая функция [c.653]

При переходе к трехмерному решению задачи вместо тригонометрических собственных функций появляются более сложные, шаровые функции, а в собственных значе- [c.73]

Прежде всего рассмотрим шаровые функции которые являются решениями следующего дифференциального уравнения [c.185]

Таблица 1 Нормированные шаровые функции

Вывод приведен в основных математических курсах.) В табл. 1 показаны нормированные шаровые функции вплоть до второго порядка. Здесь / = О, 1, 2, 3... — квантовое число момента количества движения и т = I, 1—1, 1 — 2,. .. 0... — / 2, —/ + I, —I — магнитное квантовое число. Из приведенных в таблице комплексных функций с одинаковыми значениями I построены [c.186]

Уравнение (9) является уравнением шаровых функций и имеет регулярные решения лишь при условии, что [c.100]

Это уравнение совпадает (вплоть до постоянного множителя) с уравнением (4) 20. Его решениями являются шаровые функции 1-то порядка при условии, что параметр X принимает значения Х= г ( -]- — целое число. Следовательно, собственные значения квадрата момента количества движения равны [c.115]

Так как шаровая функция 1-то порядка <р) зависит еще от числа [c.115]

Для шаровых функций имеет место формула [c.422]

Функции У называются шаровыми функциями или с( )ерическими [c.30]

Во-первых, результаты гл. VI, в частности разделов 6 и 7, существенно зависят от того факта, что одноэлектронные собственные функции и (а ) ортогональны. Если функции не ортогональны, то можно также получить аналогичные результаты, но они будут гораздо более сложными. Самосогласованные функции ортогональны по отношению к I, /и, и nii, потому что шаровые функции и спиновые факторы остаются теми же, но они не ортогональны по отношению к й, так как для R nl) и R(n l) используются различные центральные поля. Легче всего исправить это, если употреблять в качестве R(ni) и R(n l) не непосредственно функции, даваемые методом Хартри, а такие их линейные комбинации, которые ортогональны. Это не повлияет на значение , потому что в нем содержатся одинаковые линейные преобразования всех функций, содержащихся в одинаковых строках или столбцах определителя (см. раздел 7 настоящей главы). Следует отметить, что тот факт, что это может быть проделано при помощи равнообразных способов, без изменения результата, показывает, что точное распределение плотности заряда по различным значениям п при одинаковом I не имеет значения. Так, для электронов Is и 2s любые две ортогональные функции, для которых i 2(L )- -/ (2s) также зависят от г, как это следует из поля Хартри, одинаково хорощи. Практически в численных расчетах [c.350]

Pfe( osYi2) — полином Лежандра аргумента os yi2 = os fl i os 0 24-+ sin ui зш О г соз(ф1 — фг), а одноэлектронные функции в атоме а, Ь, с п d выражаются через шаровые функции по уравнению (11.1). Подставляя эти выражения в (11.21) и используя теорему сложения сферических функций [57, с. 1029] [c.42]

Именно, совокупность уравнений (70 1) — (70,4) и (75,3) не допускает решений, зависящих от угла 0, в виде первой шаровой функции и ее производной (т. е. как os 6 и sin0). Это означает., что форма капли неизбежно должна отклоняться от сферической. Поэтому метод решения, развитый нами для разобранного выше-случая, не может быть строго применен для решения данной задачи,, и в дальнейшем мы ограничимся качественным ее решением. [c.415]

Воспользуемся теперь следующим соотношением для шаровых функций (1 х) 0Г (X) = (X)+hmQT+V (X), [c.422]

Если воспользоваться приведенными соотношениями между шаровыми функциями и условиями ортогональности, то для inlm.n Vm" n l m [c.422]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология