Стационарные решения уравнений в частных производных

Для процессов гетерогенного катализа необходимым условием устойчивости является соблюдение неравенства XV,67) на каждом этапе теплоотвода а) внутри зерен катализатора к наружной поверхности б) от наружной поверхности зерен к потоку реакционной смеси в) от слоя катализатора к охлаждающему веществу. Условия устойчивости для этапов б и в для модели слоя идеального смешения удалось найти, используя хорошо разработанный первый метод Ляпунова. Анализ устойчивости решений этапа а этим методом проводить нельзя, поскольку стационарные состояния описываются ун<е не алгебраическими уравнениями, а дифференциальными нелинейными уравнениями второго порядка. Соответственно отклонения от стационарного состояния характеризуются не обыкновенными уравнениями, а уравнениями в частных производных. Как указывалось выше, общих методов анализа числа и свойств решений таких уравнений не существует. [c.514]

В реальных условиях вид возмущений гидромеханических переменных, характеризующих псевдоожиженный слой, может быть самым различным. Поэтому для исследования устойчивости стационарного решения уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя необходимо исследовать поведение но времени всевозможных возмущений стационарного решения. Поскольку система уравнений (3.3-10)—(3.3-13) представляет собой линейную систему дифференциальных уравнений с частными производными, имеющих постоянные коэффициенты, эта система. допускает частные решения вида [c.81]

Стационарные решения уравнений в частных производных [c.257]

Неустойчивость ламинарных течений. Стационарные решения различных задач о движении вязкой жидкости формально существуют при любых числах Рейнольдса [76]. Однако реально могут осуществляться лишь течения, обладающие устойчивостью по отношению к возмущениям, всегда присутствующим в потоке. Математически обычно исследуют устойчивость движения по отношению к бесконечно малым возмущениям. Для этого на стационарное решение уравнения Навье-Стокса накладывается аддитивное нестационарное малое возмущение. Подстановка возмущенного решения в уравнения, учет основного решения и линеаризация относительно малых возмущений позволяет получать для возмущений линейные дифференциальные уравнения в частных производных с числом Рейнольдса для основного течения в качестве параметра. Коэффициенты этих уравнений не зависят от времени и некоторых из пространственных координат, которые по отношению к уравнению называются циклическими. Это обстоятельство обусловливает экспоненциальный вид зависимости возмущенного решения от циклических переменных. Иными ело- [c.174]

Так как уравнение (6.6) или (6.8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны. Некоторые из них уже были рассмотрены применительно к задачам упругого режима (метод последовательной смены стационарных состояний, метод интегральных соотношений, метод усреднения). [c.183]

Математическое описание моделей для нестационарных условий движения потоков дано в табл. 2.1. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет служить система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому при разработке алгоритмов решения используются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальные в частных производных, обыкновен- [c.84]

Необходимые условия экстремума состоят в равенстве нулю всех первых частных производных от . В результате получается (п т) уравнений с (п т) неизвестными X и Ь. Решение этих уравнений относительно переменных X п Ь позволяет определить положение стационарной точки. Таким образом, использование вспомогательной функции Ь(Х,А) и Вспомогательных множителей Л позволяет заменить задачу с дополнительными условиями вида (3.1.2) задачей без дополнительных условий. [c.124]

В результате совместных работ сотрудников Института катализа, Института математики и Вычислительного центра Сибирского отделения АН СССР успешно преодолены основные трудности, возникающие нри качественном и количественном исследовании моделей процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных. На основе разработанных здесь качественных методов значительно продвинулось вперед понимание поведения систем в целом. Методы теории устойчивости позволили изучать стационарные и нестационарные режимы. Разработанные численные схемы и алгоритмы для решения дифференциальных уравнений в частных производных расширили круг математических моделей, используемых для научно обоснованного проектирования промышленных аппаратов. [c.3]

Кинетическое уравненпе с временной зависимостью. Этот раздел закончим обсуждением решений первого порядка кинетического уравнепия с временной зависимостью. Как и в случае стационарных состояний, рассмотренных в 7.2,г, временные соотношения (7.47) —(7.50) могут быть также сведены к одному уравнению второго порядка в частных производных для потока ф (г, ). Существенные особенности этого уравненпя можно выяснить при изучении одномерной системы, рассмотренной в 7.2,е, [c.249]

Работы же по изучению устойчивости стационарных режимов сложных схем находятся в настоящее время в самой начальной стадии. Связано это с большими трудностями, основными из которых являются следующие. Первая трудность заключается в том, что многие аппараты с. х.-т. с. являются объектами с распределенными параметрами, которые в динамическом режиме описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений имеется хорошо разработанная общая теория исследования устойчивости стационарных решений, то для дифференциальных уравнений в частных производных такой общей теории пока еще нет. Эта трудность характерна и для задач по изучению устойчивости отдельных аппаратов. [c.229]

Наглядность изображения функционального пространства стационарных состояний теряется, если число зависимых переменных превышает 2. Сложности, возникающие в пространстве большей размерности могут быть исследованы на примере моделей, учитывающих радиальные градиенты. В этом случае стационарное состояние определяется дифференциальным уравнением в частных производных с двумя пространственными переменными — продольной и поперечной координатами. Решения в форме [c.117]

При записи уравнения (60.3), из которого было получено затем соотношение (60.7), исходили из предположения о стационарном распределении концентраций у поверхности электрода, тогда как в действительности при использовании капельного электрода реализуются нестационарные условия. Таким образом, уравнение (60.7) является приближенным. Строгое решение для капельного электрода можно получить, если использовать дифференциальное уравнение с частными производными типа [c.308]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции и (р) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, I), и подставить в решение х = I. [c.101]

Иногда используют еще и двухпараметрическую диффузионную модель, где параметры принимаются как функции не только длины аппарата, но и его радиального измерения [6]. При этом даже стационарный режим потока описывается уже дифференциальным уравнением в х1 частных производных, решение которого представляет определенные трудности. [c.61]

Вместо решения уравнения в частных производных при рассмотрении явлений воспламенения и зажигания широко используются два упрощенных метода стационарный и нестационарный. [c.293]

Система уравнений (5-6) является системой нелинейных уравнений в частных производных параболического типа. Для решения был использован неявный метод сеток [8]. Уравнение (6) приводилось к нестационарному виду, после чего вычислялось распределение температуры в фазе I по радиусу трубки по известному распределению температур и концентраций в фазе 2, Для этого из решения системы (I) и (2) рассчитывается температура по. оси трубки 1а,. Определяя распределение температуры по радиусу фазы I из решения уравнения (6) на каждом шаге по радиусу решалась система уравнений (5), в которой при заданных значениях концентраций и температур в фазе 2 и температуры в фазе I вычислялись значения концентраций в фазе I. Вычисление распределения температуры в фазе I производилось с помощью итераций до установления стационарного состояния. После этого вычислялись значения температуры и кон -центраций в фазе 2 на следующем шаге по длине слон из решения системы (7)-(8). Процедура повторяется до выхода из трубки реактора. Рассчитанные профили концентраций и температуры приведены на рис.2-5. [c.162]

Эти уравнения выражают закон сохранения массы в двух фазах. Однозначное определение с и са возможно, только если задать начальные и граничные условия. В последующих параграфах будут рассматриваться главным образом стационарные решения, т. е. в уравнениях (4.1) и (4.2) частные производные по времени будут равны нулю. Граничные условия по продольной координате выражают постоянство входной концентрации раствора и переход к равновесному состоянию на достаточно большом расстоянии от входного участка [c.69]

Решить уравнение Шредингера — значит найти удовлетворяю-щую ему волновую функцию F, описывающую стационарное состояние системы. Однако уравнение (III.17) как дифференциальное линейное второго порядка в частных производных имеет множество решений. Из них приемлемы только те, что получаются при дискретных вполне определенных значениях энергии микрочастицы— электрона. Идея квантования энергии, выдвинутая Бором в ка< [c.51]

Все частные производные в ( 1.229), ( 1.230) вычисляются при стационарных значениях температуры и концентраций реагентов. Граничные условия для интегрирования этой системы 0=1, г г = 0 при т = 0. Точно такая же система уравнений, но с другими граничными условиями (т1г = бг , 0 = 0 при т=0) определяет производные решения системы ( 1.227), ( 1.228) по начальной концентрации /-го вещества с,о. Уравнения для определения производных по параметру отличаются от ( 1.229), ( 1.230) только присутствием в них свободных членов, равных частной производной правой части соответствующих уравнений системы ( 1.227), ( 1.228) по данному параметру. При вычислении производных по параметру расчетные уравнения интегрируются с граничными условиями т]г = 0, 0 = 0 при т=0. [c.297]

Итак, в настоящей работе получена новая формула для явного представления решений уравнений химической кинетики для линейного случая. Эта формула дает возможность представить решение, описывающее переход к стационарному состоянию, как функцию времени релаксации собственных значений, начальных условий п производных различных порядков. Даны частные случаи формулы, которые должны найти применение при обработке типовых релаксационных зависимостей с двумя и тремя временами релаксации. [c.266]

В работе [2] предлагается следующий прямой способ получения решения, основанный на вариационной форме вышеизложенных задач. Функция, которая должна быть выбрана так, чтобы функционал был стационарным, разлагается соответствующим образом в ряд. После подстановки этого ряда в функционал берутся частные производные от функционала по коэффициентам разложения. Выражения для частных производных приравниваются нулю, а полученная система алгебраических уравнений используется для определения значений коэффициентов. Выбор вида разложения осуществляется так, чтобы не нарушались необходимые граничные условия, учитывались условия симметрии записи функции и обеспечивалось получение системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов. Кроме того, должна обеспечиваться сходимость к требуемому решению за минимальное число итераций. [c.172]

СВОДЯТСЯ К обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако имеются другие важные приложения метода поиска симметричных решений, когда задача сводится к уравнениям в частных производных. Наиболее очевидный пример представляют собой конические течения без осевой симметрии, которые впервые ввел и исследовал А. Буземан ). Это — стационарные течения с полем скоростей (в сферических координатах) [c.176]

Интеграторы ЭГДА предназначены в основном для решения плоских и осесимметричных (радиально-симметричных) задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа. Так, например, метод ЭГДА все больше применяют [17, 48] при решении задач определения стационарных температурных полей (полей концентраций). [c.55]

Технологическая схема осушки хлора в операторном виде представлена на рис. 1У-10. Основными аппаратами технологического процесса являются две абсорбционные башни с насадкой, орошаемой серной кислотой. При этом из хлора, который подают в низ башни, поглощается влага. Процесс поглощения влаги сопровождается выделением значительного количества тепла, поэтому одновременно с процессами массопередачи протекают процессы теплопередачи между газом и жидкостью, что не учитывается известными математическими моделями абсорбционных процессов [4, 132, 133]. В общем случае процесс массообмена в абсорберах описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [4, 132, 133]. Аналитическое решение такой системы связано с большими трудностями. В реальных условиях производства процесс осушки протекает в условиях, близких к стационарным входные параметры процесса либо не меняются, либо меняются весьма медленно. Для стационарного процесса, который рассматривается ниже, исходная система уравнений в частных производных превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений [140]. Для получения такой системы уравнений рассмотрим балансовые зависимости для элементарно- [c.147]

Нелинейные свойства уравнения обусловлены зависимостью коэффициентов от величины возмущающих воздействий. Аналитическое решение такой системы связано с большими трудностями и может быть получено лишь при некоторых упрощениях. Рассматривая поведение процесса при малых отклонениях от стационарного состояния, коэффициенты в уравнениях математической модели могут быть приняты постоянными. Дальнейшее упрощение достигается за счет усреднения движущей силы процесса по высоте колонны. Тогда исходная система уравнений с частными производными превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В первом приближении изменение концентраций фаз по высоте колонны аппроксимируется линейной зависимостью, а средние концентрации выражаются как среднеарифметические их начальных и конечных значений (модель 1). Однако при расчете нестационарных режимов процесса в условиях, когда движущая сила изменяется более чем в 2 раза, такое упрощение может привести к значительным отклонениям от точного решения, в особенности на начальном участке временной характеристики. В этом случае необходимо использование среднелогарифмической движущей силы. [c.368]

Решить уравнение Шредингера — значит найти удовлетворяющую ему волновую функцию (г (или амплитуду вероятности), описывающую стационарное состояние системы. Но уравнение (3.7) как дифференциальное линейное уравнение второго порядка в частных производных имеет бесчисленное множество решений. Из них интерес представляют лишь такие решения, для которых найденные значения (плотносюя вероятности) не противоречат физическим представлениям. Поэтому к решениям уравнения (3.7) предъявляют следующие требования. Волг новая функция должна быть конечна, однозначна и непрерьшна. Требование конечности означает, что нигде у и ее квадрат т. е. плотность вероятности, не могут стать бесконечно большими. Однозначность функции означает, что вероятность найти частицу в данном единичном объеме всегда строго определенная, большая или малая, либо равная нулю, но одна. Непрерьтность функции т)/ означает, что нет такого элемента объема, где нельзя определить вероятность нахождения частицы. Эти физические осмысленные требования назьшают требованиями регулярности. [c.13]

Другой метод анализа распределенных систем, используемый при решении дифференциальных уравнений с частными производными на вычислительных машинах, основан на представлении непрерывного процесса многоступенчатым с сосредоточенными параметрами в каждой ступени. В зависимости от принимаемых допущений относительно механизма процесса массопередачи в ступени, а также способа представления движущей силы возможны некоторые разновидности математических моделей (см. табл. 17, модели 2, 3). Простейшей математической моделью является модель без учета кинетики процесса абсорбции. Насадочный абсорбер рассматривается как тарельчатый аппарат с тарелками, имеющими к.п.д., равный 1 (модель 2). Причем число тарелок выбирается равным числу ступеней, эквивалентных одной теоретической тарелке. Расчет динамических характеристик при помощи этой модели показал неудовлетворительное представление участка запаздывания на временной характеристике процесса при малом числе ступеней разделения. Кроме того, расчет стационарных режимов может быть выполнен лишь с некоторым приближением, так как число ступеней не может быть дробным. [c.368]

В перечисленных работах большое внимание уделяется специфике исследования динамических и стационарных режимов технологической аппаратуры. Анализ результатов моделирования дает возможность правильно определить конструктивные размеры аппарата, материальные и тепловые потоки. В связи с этим возникает ряд задач расчетного характера — определение длины трубчатого теплообменника или высоты насадочной колонны, расчет числа химических реакторов в каскаде для заданной степени превращения и т. д. Показаны также приемы решения на аналоговой машине дифференциальных уравнений с частными производными для модели трубчатого теплообменника. [c.9]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

При изотермической работе реактора изменение скорости или состава загрузки приводит к постепенному изменению превращения от одной величины к другой. Временной интервал, в течение которого произойдет этот переход, имеет существенное значение. При нестационарных условиях процесс, например в кубовом реакторе, описывается обычными дифференциальными уравнениями вследств-ие введения новой переменной — времени (при стационарном режиме он описывался алгебраическими уравнениями). Мэйсон и Пирет провели математический анализ пуска изотермического каскада кубовых реакторов на основании исследования были рекомендованы способы быстрого достижения эксплуатационных условий. Для описания нестационарного режима изотермических трубчатых реакторов приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных, в то время как стационарный режим в таких реакторах описывается обычными дифференциальными уравнениями. Решение в каждом отдельном случае, даже когда скорость превращения не является линейной функцией концентраций, можно получить при помощи современных счетных устройств. [c.240]

В этой главе мы рассмотрим систему законов сохранения (гл. 1) и феноменологических законов, которые выражают потоки через обобщенные силы (гл. 3) и из них получим систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в случае интенсивных переменных, не зависящих от пространственных координат, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. При этом мы имеем или краевую задачу (стационарное состояние), или задачу с заданными начальными условиями (зависящие от времени однородные процессы), или задачу, в которой заданы как начальные условия, так и условия на границах (зависящие от времени неоднородные процессы). Как правило, возникающие задачи очень сложны и, за исключением нескольких простых случаев, их точЕюе решение получить не удается. Поэтому приходится пользоваться приближенными методами или численными расчетами. [c.126]

Данные работы являются характерными в том отношении, что основное внимание в них сосредоточено на тех или иных численных методах решения подсистем уравнений в частных производных, описьшаюших отдельные течения на множестве ветвей расчетной схемы. При этом стационарное неизотермическое течение, а также и установившееся в системе потокораспределение рассматриваются, как правило, лишь в качестве частного случая общего термодинамического расчета. Такой подход нередко оказывается довольно абстрактным и недостаточно работоспособным в методическом и вычислительном отношениях. [c.135]

Схема анализа. Записывается снстема дифференциальных уравнений в частных производных для движения и молекулярной диффузии. Уравнения движения, выраженные через скорость возмущения, наложенного на первоначально стационарную систему, сперва линеаризуют при условии, что поток в среде можно считать вязким. В этой форме уравнения движения решаются отдельно от диффузионных, так как молекулярная диффузия оказывает влияние на поток только через межфазное граничное условие непрерывности танген-щшльиых напряжений. Поскольку время входит в уравнения только в виде производных, в решении содержится экспонента времени. [c.214]

Дифференциальные уравнения в частных производных используют для математического описания динамики объектов с распределенными параметрами или стационарных режимов объектов с параметрами, распределенными по нескольким координатам. Для указанных уравнений при описании динамики объекта наряду с начальными условиями нужно также задавать граничные условия, в общем случае являющиеся функциями времени. Для стационарных режимов объектов, описьпзаемых уравнениями в частных производных, задают только граничные условия. Задачи с уравнениями в частных производных, как правило, отличаются наибольшей сложностью, и в большинстве случаев решение каждой конкретной задачи требует серьезной работы. [c.17]

Систему уравнений (1.4), (1.5) с приведенными граничными условиями в теоретической гидромеханике называют уравнениями пограничного слоя она может быть решена приближенными методами с необходимой точностью для случая стационарного обтекания полубесконечной плоской стенки ламинарным потоком вязкой жидкости. Техника решения состоит в том, что система уравнений в частных производных путем введения новых комплексных переменных сводится к одрюму дифференциальному уравнению третьего порядка относительно некоторой новой искомой функции. Получаемое уравнение оказывается нелинейным, но не содержит никаких параметров и поэтому может быть единожды решено численно. Приближенное решение дает возможность вычислять профили скорости в пограничном слое и градиенты продольной компоненты скорости в направлении, нормальном к поверхности. Значение поперечного градиента скорости, умноженное на коэффициент вязкого трения ц, дает величину касательного напряжения трения, необходимую для вычисления гидродинамических сопротивлений потоков вязкой жидкости. [c.9]

Математическое оадсание динамического режима, определяющего переход от одного стационарного состояния реактора к другому состоит из нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Решение их, в [c.13]

Вначале рассмотрим течение неограниченного объема жидкости вблизи стенки, внезапно приведенной в движение. В этой задаче показывается применение метода замены переменныл, который позволяет свести уравнение в частных производных к одному обыкновенному дифференциальному уравнению. Данный метод решения возможен только в том случае, когда два граничных условия могут быть объединены в одно. Нужно отметить, что такая гидродинамическая система никогда не достигает предельного стационарного состояния. [c.119]

Для того чтобы сделать возможный определение коэффициентов внутренней диф узии, когда последние маскируются внешней диффузией, а также для описания диффузии в неоднородной среде, автором был предложен новый подход к описанию процессов диффузии /5/, заключающийся в теоретическом вычислении связи среднего времени десорбции с коэф циентами диффузии в ионите и растворе, размером частиц ионита, толщиной эффективного диффузионного слоя в растворе на границе с частицей и другими параметрами. Для экспериментального определения среднего времени десорбции X, как легко видеть, должна быть вычислена площадь на графике зависимости -5 1 от времени, где а(0) - начальное количество ионов в зерне ионита перед десорбцией < )- количество ионов, оставшихся к моменту времени t после начала десорбции. (Начальное распределение ионов предполагается равномерным). Для теоретического вычисления X можно использовать два метода решение уравнения для среднего времени достижения границы, либо метод стационарного потока. Оба метода приводят к решению обычного дифференциального уравнения (в то время как для определения хода кинетики сорбции или десорбции требуется решение более сложного уравнения.в частных производных). Методом стационарного потока эта задача была решена в работе /б/. Здесь мы дадим более простой вывод. Представим себе стационарный процесс диффузии, при котором по всему объему сферической частицы ионита вводятся ионы (а ионов на I см /сек), которые поглощаются на внешней стороне диффузионной пленки. Распределение концентрации тяоъ(с) описывается тогда [c.41]

Из теории дифференциальных уравнений в частных производных следует, что только при определенных значениях входящего в уравнение параметра Е можно найти однозначное, конечное и постоянное решение. Эти величины Е называются собственными значениями дифференциального уравнения. Встречающаяся в уравнении Шредингера общая энергия системы Е представляет собой подобное собственное значение. Соответствующие решения дифференциального уравнения (так называемые собственные функции f) занимают при описании атомных процессов место стационарных орбит старой модели атома по Резерфорду—Бору. Положение движущегося электрона как функции времени теперь не может быть указано точно величина у> , квадрат собственной функции, представляет собой вероятность нахождения электрона в определенном месте. Эта фу11кция характеризует, следовательно, в известном смысле распределение плотности заряда электронного облака , которое можно представить как бы непрерывно размазанным в пространстве. [c.15]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология