Ортогональная функция

В основе такого метода лежит представление об ортогональных функциях [13]. Условием ортогональности системы действительных линейно-независимых функций (х) с весом р (дс) иа конечном отрезке а, Ь) является соотношение [c.164]

Из определения эрмитова оператора и уравнения (2.9) не следует, что собственные функции / f , fkg принадлежащие одному собственному значению, будут ортогональны друг другу. Но, построив из этих функций линейные комбинации, можно получить систему полностью ортогональных функций. Систему ортогональных функций можно нормировать, т. е. для каждой из них найти нормирующий множитель Nk (уравнение (2.9) решается с точностью до произвольного множителя) и путем умножения на него перейти к системе функции ф1, Фа,. .., Фй. для которой [c.13]

Аналогично вводится определение ортогональности функций в системе функций (х), (( 2 х),. ... ( п(х), определенных в интервале а х Ь. Две функции фт и ф считаются ортогональными, если выполнено условие [c.54]

Волновые функции гармонического осциллятора являются эрмитовыми ортогональными функциями [ПО], которые для нескольких первых значений v представлены на рис. 12. Следует отметить, что даже на самом низком колебательном уровне (у = 0) колебательная энергия не равна [c.27]

Важная особенность аппроксимации ортогональными функциями заключается в том, что добавление новых членов a +i, Ф ,1 не меняет ранее вычисленных коэффициентов. При т = п многочлен совпадает с интерполяционным многочленом. [c.165]

Систему взаимно ортогональных функций можно было бы использовать для того, чтобы получить соответствующие разложения для потока ср (г) и ядра К (г г ). Чтобы такие разложения существовали, система функций я 5, должна быть полной [65]. Предположим, что это имеет место. Тогда можно написать [c.353]

В общем случае можно нормировать ряд ортогональных функций вида ф = 1 СгХ при помощи нормировочного мно- [c.50]

Используя свойства ортогональности функции Р и пренебрегая на время зависимостью ф , получаем [c.246]

Первый способ состоит в линеаризации (2.4.55) с последующим аналитическим решением линейной системы [70]. Однако получаемый при этом характеристический определитель равен (4 4-4т), где ш — число ходов по трубному пространству, что исключает возможность аналитического решения. Аппарат аппроксимации трансцендентных передаточных функций не может быть использован, поскольку сами функции весьма трудно получить. Методы сведения дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений аппроксимацией изображения координат в комплексной плоскости ортогональными функциями не облегчают задачу, так как получаемая система обыкновенных дифференциальных уравнений не может быть решена аналитически ввиду ее высокой размерности. [c.81]

Разложение (5.79) является аналогом рядов, получаемых при разложении плотностей распределения по ортогональным функциям. Это станет еще более очевидным, если (5.79) записать в виде [c.101]

Для непрерывных плотностей распределения р вместо гистограммы случайной величины могут быть использованы различные аппроксимации р отрезками рядов, составленных из нормированных и ортогональных функций (полиномов) г , 5 = 1,. .. [c.182]

Примером ортогональности функций могут служить, например, функции [c.55]

Если подставить эти соотношения в уравненпе (7.67) и произвести интегрирование с учетом ортогональности функций У , то можно показать, что [c.245]

Задача 2.3. Присоединенные полиномы Лежандра являются ортогональными функциями, т. е. [c.30]

В дальнейшем нам понадобится понятие ортогональности функций, позволяющее иногда упростить сложные математические выражения. Это понятие легче всего усвоить, если исходить, из аналогии со скалярным произведением векторов. [c.54]

Идея вычисления вероятности того, что каждое измерение даст одно из этих значений, заключается в разложении функции вряд по собственным (взаимно ортогональным) функциям оператора, т. е. по функциям )1, г 2, 111п. Каждую из них надо умножить на какой-то коэффициент Си С , С так, что получится ряд [c.57]

Из условия ортогональности функции и фа. т. е. равенства [c.129]

Из ортогональности функции Yj и Yj и выражений [c.125]

Предположим, например, что функцию 1 ф) можно представить как линейную комбинацию ортогональных функций (/> [c.43]

Используя этот результат и свойство ортогональности функций а и fi [c.97]

Во втором порядке теории возмущений для энергии получается формула, аналогичная (2), но уже содержащая вместо одной из функций 4 0 =< Ч доЧ зо И Ч >. Функция первого порядка ортогональна функции нулевого приближения фр и может быть записана в виде суммы трех членов [c.477]

На коэффициенты q j в этом выражении накладываются ограиичения, вытекающие из условия нормировки и ортогональности функций Ли и R s- В отношении числовых значений как полной, так и орбитальной энергий эта аппроксимация не может претендовать на большую точность. Уточнение вида радиальных функций достигается введением дополнительных базисных функций (см. гл. 4, 5). [c.223]

В том, что такая (ОРЩ волна действительно ортогональна функциям [c.93]

Учитывая условие нормированности и ортогональности функций Р и 4 2, получаем [c.15]

Если принять во внимание явный вид дублетных спиновых ( )ункций (1.83) и (1.84) для трехзлектронной системы, то нетрудно убедиться, что каждая из базисных функций в (2.48) является собственной функцией 8 и 8г. В трехзлектронной задаче имеются две линейно независимые дублетные спиновые функции с Ms = Л. с чем и связано появление в (2.48) двух взаимно ортогональных функций и Ф при условии р Ф д Ф 1. Если же два из трех индексов р, ц, I совпадают, то в разложении возникает только один тип детерминантов Фр ,. После некоторых размышлений можно понять и указанную в (2.47) область изменения индексов. [c.69]

Значение ортогональных функций определяется тем, что свойством ортогональности обладают собственные функции важных квантово-механических операторов. Физический смысл равенства нулю интеграла S(pm(pndx можно понять, если вспомнить, что квадрат волновой функции есть мера вероятности найти частицу микромира в данном состоянии. [c.55]

Подобным образом ортогонализуется пара функций в таблице с квантовыми числами Лi = —2 и М5 = 0. Остается распутать систему из четырех функций с М1 = О и М = 0. Обратимся с этой целью предварительно к паре триплетных функций (Г, -1 ) и (-Г, 1 ). отвечающих квантовым числам М/, = О и Л/5 = 1. Эти две взаимные ортогональные функции не обладают правильными свойствами симметрии при отражении в плоскости симметрии. Нетрудно построить такую их линейную комбинацию 2 , 2" которая бы обладала требуемыми свойствами симметрии [c.205]

Из функций Is(Hi), IsiHi), 1х(Нз) в молекуле аммиака следует построить две взаимно ортогональные и ортогональные функции. Построим функцию еу с тем расчетом, чтобы она преобразовалась подобно орбитали Ру атома азота (см. рис. 10) [c.212]

Основной целью квантово-механического рассмотрения металлов является расчет зонной структуры. Наиболее простым является приближение почти свободных электронов, в котором собственная функция разлагается по функциям плоских волн. Коэффициенты при этом разложении получаются на основе решения уравнения Шредингера с потенциалом свободных атомов. Для решения возникающих сотен линейных уравнений используются вычислительные машины. Медленная сходимость связана с тем, что вблизи сердцевины ионов волновые функции электронов проводимости имеют сильные осцилляции, отвечающие собственным функциям атомов. Чтобы их описать в рамках разложения по плоским волнам, нужно вводить в разложение большое число плоских волн. Положение существенно улучшается в методе ортогонализованных плоских волн. В этом методе функции, описывающие плоские волны, ортогонализируются по отношению к собственным функциям электронов внутренних оболочек ионов. Как указывалось, ортогональность функций в квантовой механике означает, что они разные . [c.644]

Ряд Пайка и Сильвербергера [3]. Наилучшую сходимость при аппроксимации функций двух переменных обеспечивает их представление в виде ряда — см. уравнение (IV. 9)—по двум заранее неизвестным системам ортогональных функций gl x ), /г (д 2) (/ = О, 1,2,. .., й), т. е. таких функций, что для любых не равных друг другу / и 4 [c.100]

Отсюда сразу видно, что п подынтегральных выражений имеют вид произведения ортогональной функции ф , удовлетворяющей граничным условиям, на соответствующее приближение левой части уравнения Фурье (10.11), решение которого мы ищем. Следовательно, при численном расчете самосогласованный метод сводится к хорошо известному методу Галеркина [87]. Следуя этому методу, надо в уравнение теплопроводности (10.11) подставить приближение п-го порядка (10.25) (опускаем индекс О ). Тогда п коэффициентов аи определяются п условиями ортогональности [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология