Седловая точка функции Лагранжа

Алгоритм поиска седловой точки функции Лагранжа. Для выпуклой задачи распределения вышеприведенный алгоритм приводит к соотношениям [c.160]

Алгоритм поиска седловой точки функции Лагранжа. Для выпуклых задач, когда расширенная задача Лагранжа эквивалентна исходной, решение последней совпадает с точкой на множестве Vy, в которой максимум по у функции (в бесконечномерном случае функционала) Лагранжа по у достигает минимума по %. Для нахождения этой точки может быть привлечен любой метод [c.151]

Рис. И. Характер функции Лагранжа в окрестности седловой точки

Теперь, как известно, решение задачи В можно свести к отысканию седловой точки функции Лагранжа. [c.96]

Таким образом, р и х1, х ,. . ., х образуют седловую точку функции Лагранжа задачи Ко, что и доказывает теорему. [c.351]

На основании равенства (111-50) может быть построен алгоритм поиска седловой точки функции Лагранжа [c.163]

Неравенство (У1-5) оказывает, что совокупность векторов р, у образует седловую точку функции Лагранжа задачи Ло, что в свою очередь является достаточным условием [78] того, что у есть решение задачи Лд. [c.345]

Алгоритм поиска седловой точки функции Лагранжа, Аналогично задаче нелинейного программирования для дискретной выпуклой оптимальной задачи может быть использован алгоритм Эрроу — Гурвица, причем могут быть учтены и ограничения типа [c.222]

Поиск седловой точки функции Лагранжа. Декомпозиция задачи НП. Так как для эквивалентного расширения значениям Я, X соответствует седловая точка функции Лагранжа, то может быть построен алгоритм решения задачи НП, при котором определяют минимум по Я максимума функции к х, ) по х [c.32]

Действительно, из условия седловой точки функции Лагранжа следует [c.34]

Оценка (4.70) точнее, она не требует знания Я и g, но приводит к необходимости поиска седловой точки функции Лагранжа R - [c.95]

Недостаток метода в том, что он позволяет найти истинное решение только в том случае, когда функция Лагранжа (У. 174) имеет седловую точку, а это, к сожалению, не всегда имеет место при оптимизации ХТС. Этим недостатком не обладает метод декомпозиции, основанный на модифицированной функции Лагранжа. [c.226]

Итак, множители Лагранжа могут трактоваться как цены, которые мы назначаем для всех промежуточных переменных схемы (отсюда второе название метода — метод цен). Правда, в этой аналогии имеется один существенный недостаток. Если критерий является настоящим доходом, требуется искать его максимум. В нашем же случае максимуму целевой функции могут, вообще говоря, соответствовать не только седловые точки, но и точки минимума функций Аналогия будет полной, если функция имеет в допустимой области только один максимум. [c.180]

Будем предполагать, что задача выпукла и ее решение у не вырождено, а значит, значения множителей Лагранжа Л и , соответствующие седловой точке, ограничены. Заметим, что градиент функции Л но Я равен /, а градиент по равен ф. В седловой точке справедливы условия [c.153]

Влияние неточности исходных данных на значение задачи НП. Ниже, следуя работе [9], дадим оценку изменения значения задачи НП при изменении целевой функции /о и функции fi, входящих в условия типа равенств. При этом будем рассматривать только те задачи, для которых расширение Лагранжа эквивалентно тогда значение задачи равно значению функции Лагранжа в седловой точке. Пусть имеем две задачи НП задача 1 [c.34]

К наиболее важным достоинствам метода неявной декомпозиции следует отнести возможность использования при его реализации высокоэффективных градиент1 .1х методов поиска. Как показывает практика расчетов, при удачно выбранном начальном приближении удается достигнуть высокой скорости сходимости алгоритма метода цен. Однако возможность применения этого метода существенно ограничена требованиями выпуклости исходной задачи математического программирования. При невыполнении этих требований седловая точка функции Лагранжа может не существовать, и использование алгоритма метода цен не приведет к искомому результату. Кроме того, в методе неявной декомпозиции для параметров координации трудно бывает определить пределы их изменения, [тo в значительной степени затрудняет задание начального приближения параметров при решении задачи координации. [c.98]

Функции Qi линейно зависят от аргументов и ф,-. К такому случаю приводит применение метода множителей Лагранжа. Как было показано (см. стр. 174), функция Q при этом обладает свойствами формул (VIII,58) и (VIII,61). Заметим, однако, что здесь минимуму функции F может отвечать седловая точка функции Q (см. стр. 177). Поэтому, если не выполняются особые условия выпуклости 14], в правой части равенства (VIII,58) должна стоять не операция min , а операция поиска экстремума. [c.196]

Бесконечномерная задача. Как и в конечномерном случае, для выпуклой задачи общего вида седловая точка функционала Лагранжа существует и значение у 1), которое доставляет максимум функционалу 5 в седловой точке, является решением исходной задачи. Вообще говоря, если по переменным первой группы используют алгоритмы поиска типа Крылова — Черноусько, в бесконечномерном случае условие выпуклости может быть наложено лишь на переменные второй группы. В дальнейшем будем исходить из предположения о том, что функции, определяющие задачу, непрерывно дифференцируемы по всем составляющим решения. Невязку в условиях типа неравенства обозначим через Др. Например, для связи в форме [c.153]

В главе V (см. стр. 96) было указано, что если в функции Лагранжа подставить значения fi = j,, то в точке х, и функция F х, и, х ) будет иметь либо седловую точку, либо локальный максимум. В дальнейшем седловые точки и точки локального максимума функции F х, и, х) при произвольных, но фиксированных значениях р, будем называть оптимальными точками, а процедуру поиска таких точек оптимизацией функции/ и обозначать ее через optim F х, и, [х). [c.175]

То же самое может быть выражено и в терминах суждения о единственности (воспроизводимости) состояний равновесия в данной гомогенной системе. Напомним, что у нас, по определению, речь всегда идет о состояниях равновесия лишь относительно конкретного набора превращений, т. е. часть других, в принципе возможных стехиометрических взаимосвязей может быть заторможена. Вопрос о возможньгх сменах уровня или характера заторможенностей снимается ограничением, заложенным в словах данная система, так как невоспроизводимая смена заторможенностей формально означает неконтролируемую подмену одной системы (совокупности состояний) другой. Положение о единственности состояний равновесия для каждой точки данной открытой гомогенной системы (для каждой закрытой гомогенной системы) можно выразить в форме утверждения о единственности минимума изобарно-изотермического потенциала при постоянных Т, Р ъ пространстве внутренних переменных с вытекающими из условия закрытости (и, может быть, заторможенности) ограничениями. В общем случае речь должна идти о единственности условного экстремума характеристической функции. Внутренними переменными могут быть концентрации химических форм в растворе и (или) параметры, поставленные в определенное соответствие реализующимся в рассматриваемом множестве растворов независимым стехиометрическим и (или) структурным связям. Эквивалентным изложенному выше является утверждение о строгой выпуклости изобарно-изотермического потенциала закрытой гомогенной системы для каждой выпуклой области пространства переменных типа координата независимой реакции . Опираясь на метод неопределенных множителей Лагранжа, можно сконструировать и функции, отнесенные к пространству с размерностью выше общего числа химических форм в растворе. Тогда следует говорить о седловых точках таких фуикций. Итак, к математическим конструкциям, предназначенным для формального решения задачи по отысканию единственного состояния равновесия (при определенных ограничениях) среди множества, охватывающего и неравновесные состояния, требование существования лишь одной особой точки (лишь одного особого решения и т. п.) следует предъявить как фундаментальное. Эти выражения принципа приводят к дополнительным ограничениям на возможный вид функций (10), (11), (19), (20) и (16). [c.25]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология