Функция Лагранжа

Рис. У1-10. Минимизация функции Лагранжа для произвольного множителя А.1

С учетом сказанного выше, составим для рассматриваемого многостадийного процесса функцию Лагранжа Ф, которая и eeт вид [c.155]

Основной недостаток метода штрафных функций—трудности, которые возникают в вычислительном процессе, когда параметры приближаются к предельным значениям. Это обусловлено появлением разрывов непрерывности вблизи границы допустимой области и связанной с ними плохой обусловленности гессиана целевой функции. Для устранения этого недостатка оказывается полезно комбинировать метод штрафных функций с методом неопределенных множителей Лагранжа. Новый метод получил название метода модг-фицированной, или расширенной функции Лагранжа. [c.215]

На основании вариационных формулировок энергетического критерия разрушения для предыдущих типов трещин изохронную вариацию функции Лагранжа предлагается брать в виде формулы (3.35). [c.198]

Другим методом решения является прямой поиск экстремума функции (3.83) при ограничении (3.84) или безусловного экстремума функции Лагранжа 11з( ,Х). После некоторых алгебраических преобразований можно задачу решить методом геометрического программирования (см. раздел 3.3). [c.190]

Составим функцию Лагранжа [c.190]

Используя многоуровневый метод для решения поставленной задачи оптимизации ХТС в целом, вначале необходимо записать выражение для функции Лагранжа, которая имеет следующий вид [c.232]

Необходимым условием существования оптимума для функции Лагранжа 1(Хй 8г, м.], Яу, является выполнение следующих уравнений [c.233]

Действительный алгоритм для подбора цен разрабатывают исходя из выражения функции Лагранжа для первоначальной задачи оптимизации [c.315]

Функцию Лагранжа обычно используют для того, чтобы установить условия стационарности, которые справедливы в оптимуме основной задачи. В следующем разделе, однако, показано, что при относительно умеренных ограничениях необходимым и достаточным условием для основной задачи, которая должна быть оптимизирована, является максимизация функции Лагранжа посредством подбора i x, Xi и Mg, Х2- [c.315]

Задача оптимизации функции Лагранжа разлагается непосредственно на подзадачи I и II, поскольку первый член в скобках уравнения (VI,45) представляет собой целевую функцию подзадачи I, а второй член — целевую функцию подзадачи И, т. е. [c.315]

Так как максимум функции Лагранжа является функцией только множителя Р и эта функция играет главную роль в дальнейшем, ей дано специальное название — двойственная функция, которую обозначают через у (Р). [c.315]

В методе многоуровневой оптимизации используется свойство функции Лагранжа для многих реальных систем распадаться на ряд независимых подзадач . Теоретически, однако, разложение данной функции не представляет значительных трудностей. Действительно важным является то, что максимум функции Лагранжа существует и что он идентичен максимуму исходной задачи. Поэтому рассмотрим [c.316]

Функция Лагранжа для приведенной выше задачи имеет вид [c.317]

Теперь сформулируем условия, при которых максимизация функции Лагранжа для соответствующих значений множителей Я, дает решение основной задачи. Это условие нужно дополнить, если многоуровневый алгоритм должен сойтись к оптимуму полной задачи. [c.318]

Если X максимизирует функцию Лагранжа и решает основную задачу, то в соответствии со следующими рассуждениями множество Л имеет опорную плоскость, уравнение которой [c.318]

Вследствие определения функции Лагранжа [c.318]

Многоуровневый алгоритм требует, чтобы функция Лагранжа была максимизирована для последовательности множителей X, поскольку оптимальный множитель Яо не известен априори. [c.319]

Теорема 2. Если х максимизирует функцию Лагранжа Ь (х, Ях) для некоторого вектора множителей Ях, то это решает следующую задачу [c.319]

Правая часть уравнения ( 1,57) является функцией Лагранжа для задачи ( 1,55). Кроме того, х = х решает уравнение ( 1,55). [c.319]

Теорема 2 говорит, что посредством максимизации функции Лагранжа решается задача, которая подобна первоначальной основной задаче, причем разница заключается в том, что б (х ) ф 0. Однако более важно то, что эта теорема приводит к формулируемому ниже следствию. [c.319]

Следствие 2а. Максимум функции Лагранжа Ь (х (Я), Я) дает верхнюю границу целевой функции основной задачи. [c.319]

Следствие 26. Множитель Я,, минимизирует функцию Лагранжа. Согласно уравнениям ( 1,58) и ( 1,59) [c.319]

Несмотря на богатый арсенал численных методов, разработанных для решения задач оптимального управления, алгоритмическое и программное оснащение этих задач существенно уступает современному программному обеспечению задач линейного и нелинейного программирования. Лишь для наиболее простых классов задач, в которых нет ограничений на фазовые координаты, построены достаточно эффективные алгоритмы, осуществляющие поиск управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Эти алгоритмы, как правило, основаны на применении градиентных процедур или принципа максимума и допускают простую программную реализацию. Применяя метод штрафных функций или модифицированную функцию Лагранжа, с помощью этих алгоритмов можно получить решение некоторых задач и с фазовыми ограничениями, например с условиями на правом конце. Однако такой способ не всегда эффективен, поскольку требует многократного решения задачи при различных значениях параметров и далеко не всегда позволяет получить управление, на котором с заданной точностью выполнялись бы условия оптимальности и ограничения задачи. [c.191]

Вводится вспомогательная функция Лагранжа [c.351]

Вычислительные операции четвертой и пятой стадий сводятся к решению многомерной смешанной задачи нелинейного программирования (5.2) — (5.6). Для ее решения при невыпуклой целевой функции предложен новый многоуровневый метод [160], основанный иа создании декомпозируемой модифицированной функции Лагранжа. Для сепарабельного разложения функции штрафа применяется специальное геометрическое равенство параллелограмма, а не разложение в ряд Тейлора. [c.143]

Аналогично описанному выше, строим функцию Лагранжа г г, X). Дифференцируем функцию Т12, ф) по т , и 112 и [c.353]

В нашем случае, однако, и неизвестны. Поскольку гп-я частица базиса является осадком, то 1п = О, что уменьшает дефект (разность между числом неизвестных и числом уравнений) до 1. Максимуму выпадения осадка отвечает минимум величины (1в) при выполнении условий (1а), что делает естественным решение описанной задачи методом условной минимизации. Составим функцию Лагранжа [c.177]

Целевая функция (4.3.52) называется модифицированной функцией Лагранжа и включает исходную целевую функцию f° x )- - С х, а также члены, содержащие множители Лагранжа [c.208]

Решение поставленной изопериметрической вариационной задачи (П.1.1) —(П.1.4) будем искать методом неопределенных множителей Лагранжа. Выбираем функцию Лагранжа в виде [c.224]

Тогда модифицированная функция Лагранжа для этой задачи имеет вид [c.215]

Важно отметить, что здесь квадратичная штрафная функция прибавляется не к исходной целевой функции, как обычно, а к функции Лагранжа рассматриваемой проблемы. [c.215]

Функцию Лагранжа для этого случая можно загп сать в виде [c.175]

При этом функция Лагранжа может быть записака как [c.175]

Начало в первой точке (Я = Ях) дает у (Ях) как максимум функции Лагранжа (х, Ях) для всех х. Уменьшение Я до Яа дает следующее значение у (Я ) и т. д., пока при Я = Я, двойственная функция не станет минимумом. Любое дальнейшее уменьшение Я, скажем до Я , приводит, как показано, к возрастанию двойственной функции. Минимум этой функции в данном слуяае, однако, не [c.319]

Отметим, что описанную выше идею получения недостаюш,их уравнений из функции Лагранжа легко распространить на случаи, например, расчета условий, необходимых для минимизации некоторых сумм равновесных концентраций реагируюш их частиц, максимума выхода какого-либо комплекса и т. д. [c.179]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология