Лагранжа расширение

Рис. 25. Геометрия метода с расширенной функцией Лагранжа.

Расширение этого основного метода позволяет рассматривать случаи, когда имеется несколько переменных и метод множителей Лагранжа может быть использован для ограничений, записанных в форме уравнений. Расчеты вариаций трудно в чистом виде применить для случаев, когда ограничения даны в форме неравенств. Метод был использован для исследования [c.445]

Расширения, основанные на введении исчезающих слагаемых. Целый ряд способов построения расширенных задач основан на добавлении к целевой функции исходной задачи слагаемого, зависящего от искомых переменных таким образом, что на множестве допустимых решений исходной задачи оно обращается в нуль. Ниже рассмотрены расширения Лагранжа и Кротова и расширение, основанное на добавлении функций штрафа. [c.70]

Расширение Лагранжа. По условиям задачи (П-22) —(П-23) составляют функцию Лагранжа [c.70]

Найдем теперь составляющие Xj из условия абсолютного максимума R х, Я ) на множестве Y по этим составляющим найденное значение х- обозначим через xj. Подставим х"-. в уравнения связей и получим х -.. Функция R (хк ) достигает абсолютного максимума по а на в точке х = (хр х%), так как от xj она не зависит, а по Xj максимальна. Ввиду того что замкнуто и ограничено, х D. Т. е. расширение Лагранжа для задачи (П-27) эквивалентно [c.71]

Если в исходной задаче имеются ограничения в форме неравенств, то все рассуждения остаются в силе, с тою лишь разницей, что в функции R и уравнениях (И-28) должны присутствовать ограничения, которые в точке х обращаются в строгие равенства их называют активными. Таким образом, в задаче с ограничениями некоторые точки множества D могут не находиться на нем в общем положении. Множество таких особых точек определено условиями типа (П-30), в которые входят все коэффициенты Ьц для связей и активных в данной точке ограничений. Если ни одна из них не является решением исходной задачи, то расширение Лагранжа для этой задачи является эквивалентным. [c.72]

Построим расширение Лагранжа для задачи (П-31) [c.73]

О ТОМ, что для общей задачи НП расширение Лагранжа эквивалентно. Легко показать, что это не так. [c.75]

Расширенная задача Лагранжа [c.75]

Как правило, функции /о, /, и f , входящие в задачу нелинейного программирования, предполагаются гладкими, что позволяет линеаризовать задачу в окрестности Ь предполагаемого решения. Для линеаризованной задачи можно построить эквивалентное расширение Лагранжа. Как и для выпуклого случая, функция Лагранжа линеаризованной задачи совпадает с линеаризацией функции Лагранжа исходной задачи. При этом условия [c.75]

Прокомментируем теорему Куна — Таккера в свете сказанного выше о расширении Лагранжа. [c.76]

Теорема утверждает, что найдется такой вектор Я, , что решение х исходной задачи, если оно находится в общем положении на В, совпадет с одной из экстремальных точек расширенной задачи Лагранжа. Под экстремальными понимаются точки, являющиеся решениями линеаризованной задачи Лагранжа. Эти точки являются стационарными точками функции К или, если они лежат на границе У , то в сколь угодно малой окрестности этих точек, принадлежащей У , функция К не возрастает. Сделаем несколько замечаний [c.76]

Записывая функцию Лагранжа для задач (П-27), (П-31), мы считали, что Яо = 1. Для вырожденных решений, являющихся экстремальными точками системы связей, расширение Лагранжа [c.76]

Расширение Кротова. Выше было показано, что для выпуклой задачи нелинейного программирования в условиях регулярности решения расширение Лагранжа эквивалентно. В случае невыпуклой задачи стационарность функции Лагранжа Я при а = ж не гарантирует ее максимума на множестве в точке ж. Абсолютный же максимум К на множестве может достигаться в точке X В. [c.77]

В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли деформировать расширение Лагранжа, построив такую функцию К х, Я), максимум которой на Ух при соответствующем выборе Я был бы меньше, чем максимум функции Лагранжа, что позволило бы достичь эквивалентности расширения В. Ф. Кротовым предложено [c.77]

Совпадение решения с экстремальной точкой системы связей и ограничений здесь, как и в случае расширения Лагранжа, приводит к определенным трудностям. Поясним их, считая для простоты, что в задаче нелинейного программирования имеется единственное условие типа равенства [c.78]

Однако ввиду условий (П-39) и (П-40) для ограниченной и непрерывно дифференцируемой функции (х) это невозможно. Подобные рассуждения можно провести и для случая нескольких ограничений. Так что условия общности положения х на Л необходимы и для эквивалентности расширения (П-37). Однако расширение Кротова может быть эквивалентно и тогда, когда расширение Лагранжа не эквивалентно. [c.78]

По своей структуре функция Fo(a,x) близка к функции Лагранжа. Так же, как последняя, она на множестве D совпадает с /о (х), ибо штрафующая добавка Р (а, х) обращается в нуль. Множество Fj, включает множество D, так что задача (П-47) является расширением для задачи НП. [c.81]

Отметим, что в отличие от расширения Лагранжа в этой задаче число параметров расширения не связано с числом условий. Например, а может быть просто скаляром. [c.81]

Усредненное расширение. Рассмотрим целый класс расширений задачи нелинейного программирования, связанный с осреднением целевой функции и условий задачи по всем или некоторым составляющим решения. Исследуем связь такого способа расширения с расширением Лагранжа и коротко обсудим возможности физической реализации решения расширенной задачи. [c.82]

Из теоремы Куна — Таккера для задачи НП вытекает, что найдется такой вектор % множителей Лагранжа, что функция R достигает абсолютного максимума по переменным ж Е. Ух Ук g Vy на элементе множества D допустимых решений задачи НП. Откуда следует, что расширение Лагранжа для задачи НП эквивалентно. Как для любого эквивалентного параметрического расширения, Я-множители удовлетворяют условию [c.91]

Однако в силу эквивалентности расширения Лагранжа левая часть выражения (П-63) равна значению задачи НП, следовательно, показатель эффективности усредненного расширения для задачи [c.91]

Переход к задаче НП часто имеет техническую интерпретацию и соответствует переходу к режиму с периодически изменяющимися переменными (см. пример II.1). Как следует из выражения (П-64), о эффективности такого решения можно судить, исследуя расширение Лагранжа. Если последнее эквивалентно (Ал = 0), а в этом случае функция В в точке с коэффициентом 5 , д. достигает абсолютного максимума по х, то переход к циклическому режиму заведомо нецелесообразен. [c.92]

Исследовав поведение функции Н х, к ) на множестве можно узнать, достигается ли ее абсолютный максимум в точке X. Если нет, то расширение Лагранжа, а в силу равенств (П-64) и усредненное расширение, эффективно (рис. II.29). Подчеркнем, однако, что найти величину Ау = Дл, сравнивая значение функ- [c.92]

Частными случаями записанного расширения являются расширение Лагранжа [ф = Я/ (ж)], расширение за счет штрафных функций [ф = —ар (ж), причем а > 0], некоторые их комбинации и пр. [c.96]

Комбинация расширения Лагранжа и расширения за счет штрафных функций (метод множителей). [c.99]

Показав эквивалентность усредненного расширения, перенесем условия оптимальности расширенной задачи на задачу исходную эти условия оказываются сильными, так как расширенная задача имеет то же значение, что и минимаксная задача Лагранжа [c.119]

Образуем расширение Лагранжа для линеаризованной задачи и показываем, что в невырожденном случае (при выполнении условий общности положения) оно ей эквивалентно это означает, что условия оптимальности этих двух линейных задач совпадают. [c.123]

Расширение Лагранжа линеаризованной задачи представляет собой линеаризацию для расширения исходной задачи НП, откуда следует, что необходимые условия оптимальности задачи НП и ее расширения Лагранжа совпадают, о чем и говорится в теореме Куна — Таккера. [c.123]

Алгоритм поиска седловой точки функции Лагранжа. Для выпуклых задач, когда расширенная задача Лагранжа эквивалентна исходной, решение последней совпадает с точкой на множестве Vy, в которой максимум по у функции (в бесконечномерном случае функционала) Лагранжа по у достигает минимума по %. Для нахождения этой точки может быть привлечен любой метод [c.151]

Естественно, что решение расширенной задачи вовсе не должно принадлежать D. Поэтому в нее нужно ввести некоторые параметры таким образом, чтобы получившееся параметрическое расширение было эквивалентно задаче исходной. Чаще всего для этих целей используют расширение Лагранжа. [c.200]

Применительно к последней задаче для выпуклых функций fh (г/f) может быть использовано расширение Лагранжа, которое позволит провести еще более глубокую декомпозицию. Однако использование метода погружения и переход от задачи (III-128) к задачам (III-137), (III-138) целесообразен именно в том случае, когда расширение Лагранжа (III-131) не эквивалентно, при этом, как нетрудно видеть, не окажется эквивалентным и расширение Лагранжа для задачи (III-138). При декомпозиции же, основанной на принципе сечений, с последующим погружением но зафиксированной на первом этане совокупности переменных, решение исходной задачи всегда может быть получено. [c.203]

Использование принципа вложения эквивалентно расширению объема и области приложения исходной задачи, что приводит к соответствующему увеличению информации. Подобно методу множителей Лагранжа, который также увеличивает объем задачи, принцип вложения позволяет получить информацию и решение, которое нельзя найти другим способом. [c.17]

Для того чтобы решить, является ли расширение Лагранжа эквивалентным, нужно доказать существование таких значений Я и I, что [c.24]

Основной недостаток метода штрафных функций—трудности, которые возникают в вычислительном процессе, когда параметры приближаются к предельным значениям. Это обусловлено появлением разрывов непрерывности вблизи границы допустимой области и связанной с ними плохой обусловленности гессиана целевой функции. Для устранения этого недостатка оказывается полезно комбинировать метод штрафных функций с методом неопределенных множителей Лагранжа. Новый метод получил название метода модг-фицированной, или расширенной функции Лагранжа. [c.215]

Заметим, что в зависимости от вида штрафного члена в выражении (У. 183) можно использовать другие модификации расширенной функции Лагранжа [58 80, Л. Лэсдон]. [c.228]

Метод с расширенной функцией Лагранжа. Вернемся к задаче (IV,1), (IV,3). Обоснованное применение метода множи-те.чей Лагранжа возможно лишь при условии выпуклости множества Л, выполнения которого в общем случае трудно ожидать и проверка которого при решении реальных задач практически неосуществима. [c.152]

Важным и полезным для исследования задач условной оптимизации является понятие о расширении экстремальной задачи. Оно позволяет подчеркнуть взаимосвязь таких различных подходов, как метод Лагранжа, метод штрафов, переход к осред-ненной постановке и др. Основное внимание будет уделено изложению и пояснению методики перехода от условий задачи (критерия оптимальности, связей и ограничений) к условиям, выделяющим оптимальные решения. Конструкции, которые будут приведены, позволяют провести такой переход по определенным правилам для произвольной задачи из очень широкого класса задач оптимизации. Важно и то обстоятельство, что изменения в постановке задачи легко учесть при составлении условий оптимальности решения. [c.47]

Рис. п.14. Схема, иллюстрирующая аквивалевтность расширения Лагранжа для линейной задачи с условиями типа равенств. [c.72]

Очевидно, что распшренная задача удовлетворяет данному выше определению и в том частном случае, когда Я и не зависят от X, переходит в расширение Лагранжа. Так как выбором (х) и (х) можно деформировать В только вне области допустимых решений О задачи нелинейного программирования, то их нужно выбирать так, чтобы максимальное значение Й на множестве, дополняющем О до было как можно меньшим. [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология