Взаимные ковариационные функции

Следовательно, взаимный амплитудный и фазовый спектры можно получить, вычисляя функции %12 и) и г1)12( ) по взаимной ковариационной функции [формулы (8 3 23)], затем вычисляя коспектр и квадратурный спектр [формулы (8 3 25) и (8 3.26)] и подставляя эти спектры в (8 3 28) и (8 3 29). [c.107]

В этом разделе выводятся свойства корреляционной и ковариационной функций Взаимную ковариационную функцию уху и), введенную в разд 5 1 5, мы будем подробно обсуждать в гл. 8 [c.192]

В разд 5 3 1 будут выведены выборочные оценки наименьших квадратов для функции отклика на единичный импульс в случае, когда в распоряжении имеются конечные записи входа и выхода. Будет показано, что результаты получаются аналогичные тем, которые были выведены в разд 5.1 5, с той разницей, что теоретические ковариационные функции заменяются их выборочными оценками. Кроме того, будет показано, что этот подход приводит к вычислению по данным таких функций, которые являются естественными выборочными оценками авто- и взаимных ковариационных функций В разд. 5 3 2 определяются другие выборочные оценки [c.210]

Это наводит на мысль определить выборочную оценку взаимной ковариационной функции следующим образом. [c.212]

Взаимная ковариационная функция двух действительных процессов имеет следующее свойство [c.81]

Если средние значения Хц н Zi равны нулю, то из (811) получаем взаимную ковариационную функцию входа Хц и выхода X2t [c.83]

Если 121 — некоррелированные процессы белого шума с дисперсиями а] и а, то взаимная ковариационная функция двумерного процесса [Хи, Хг равна [c.87]

Отметим, что в отличие от примера 2 из разд. 8 1 3 эта взаимная ковариационная функция отлична от нуля как для положительного запаздывания, так и для отрицательного [c.87]

Равенство (8 3 22) показывает, что взаимный спектр является преобразованием Фурье от взаимной ковариационной функции Отметим, что в определении взаимного спектра для случайного [c.103]

Выборочная взаимная ковариационная функция [c.93]

Действительные процессы. В разд 8 1.2 было показано, что два стационарных случайных процесса удобно описывать во временной области с помощью их авто- и взаимной ковариационных функций. Предположим теперь, что требуется описать действительный многомерный случайный процесс, т. е векторный процесс [c.230]

В разд 53 1 было показано, что разумной оценкой взаимной ковариационной функции при условии, что средние значения процессов равны нулю, является функция [c.93]

Соотношение между выборочным взаимным спектром и выборочной взаимной ковариационной функцией [c.101]

Таким образом, выборочный взаимный спектр является преобразованием Ф рье от выборочной взаимной ковариационной функции, определяемой соотношениями т-и [c.102]

Предположим, что выборочная взаимная ковариационная функция имеет пик в точке 5, причем 5 может быть и положительным, и отрицательным. Тогда в выравненных выборочных оценках используется центрированная взаимная ковариационная функция, имеющая пик в нуле. Таким образом, выравненная выборочная оценка взаимной ковариационной функции имеет вид [c.162]

Таким образом, Xi t) является входным процессом линейной системы, а X iit) представляет собой соответствуюш,ий выход, сложенный с независимым шумом Z t) Из (8 1 8) находим взаимную ковариационную функцию выхода [c.111]

Взаимные ковариационные функции [c.74]

Действуя гак же, как и в разд 5 2 2, получаем взаимную ковариационную функцию профильтрованных процессов [c.119]

Далее можно пользоваться формулами, приведенными в разд 9 3 1, применяя их к выравненным выборочным оценкам взаимной ковариации Формулы (9 3 6) и (9 3 7) для четной и нечетной частей выборочной взаимной ковариационной функции переходят в [c.162]

Другой способ представления вторых моментов многомерного процесса состоит в том, что задаются таблицы каждой авто- и взаимной ковариационной функции. Для наглядности предпочтительно иметь графики отдельных авто- и взаимных ковариационных функций. [c.231]

В общем случае, когда процессы х( и y t)] различны, Яху х) из (3.16) называется взаимной ковариационной функцией x t) и y t). В частном случае г/(0 = (0) т [c.58]

В ТО же время взаимная ковариационная функция не обладает [c.59]

Способом, подобным использованному при доказательстве соотношения (3.4), можно показать, что для взаимной ковариационной функции имеет место неравенство [c.59]

Взаимные ковариационные функции и взаимные спектральные плотности интерпретируются сходным образом, но последние дают желаемые результаты в виде функции от частоты, а не через точечные моменты. Этот факт очень сильно расширяет диапазон возможных интерпретаций и в последние годы привел к росту применений спектрального анализа к инженерным задачам в тех областях, где ранее использовались корреляционные методы. [c.77]

Взаимная ковариационная функция Дху(х) равна обратному преобразованию Фурье двустороннего взаимного спектра [c.62]

Другими словами, в этом идеальном случае взаимная ковариационная функция равна ковариационной функции x(t), [c.75]

Таким образом, взаимная ковариационная функция позволяет установить, какую долю энергии вносит x(f) в [c.75]

Функция УххЛ называется взаимной ковариационной функцией, зависящей от запаздывания и, причем процесс А 1(/) запаздывает относительно процесса Х2 1) Аналогично Ул-,л- ) называется взаимной ковариационной функцией для запаздывания процесса относительно процесса Х 1) В тех случаях, [c.80]

Аналогично Y2i(ii) =Yi2(—и) Таким образом, ковариацию двух случайных процессов можно описать одной взаимной ковариационной функцией у 2 и), где —оо и оо Отметим, что, в то время как автоковариационная функция является четной, взаимная ковариационная функция в общем случае не будет четной функцией [c.81]

Следовательно, из-за введения поправки на среднее значение смещение увеличилось на величину порядка 1/Г Выборочная взаимная ковариационная функция имеет те же самые недостатки, что и выборочная автоковариационная функция, п, в частности, ее соседние значения сильно коррелированы В Приложении П9 1 показано, что ковариация оценок различных запаздывании 1 и Ыг дается формулой Бартлетта [c.94]

Если нужен критерий корреляции двух временных рядов, то следует сначала отфильтровать эти ряды так, чгобы превратить их в белые шумы, а затем сосчитать взаимную ковариационную функцию. [c.97]

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области Будет показано, что обсуждав-наяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных компонент в двух рядах на определенной частоте Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8 1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса. [c.98]

Авто- и взаимные ковариационные функции комплексных процессов. Предположим, что средние значения комплексных процессов Х,(1) и Х2 1) равны [I, и Ц2 соответственно Тогда автоковариационные функции этих процессов определяются равенствами [c.229]

Наиболее простую интерпретацию взаимных ковариационных функций можно получить при решении задач, связанных с анализом распространения сигнала. Пусть некоторый физический процесс x(t) распространяется по бездисперсному линейному тракту, смешивается со статистически независимым от него шумом п(1) и вызывает наблюдаемую реакцию y(t) (рис. 3.11). В этом простом случае частотная характеристика тракта равна константе (Н(1)=Н) и если / — длина пути, а с — скорость распространения, то [c.74]

Приведенная выше интерпретация взаимной ковариационной функции сразу ведет к приложениям, включающим задачи локализации (определение d при данном с) и измерения скорости (определение с при данном d). Задачи такого типа рассмотрены в гл. 7. Особенно интересен для приложений случай, когда х(1) может проходить по нескольким трактам, но наблюдается лишь суммарная реакция г/(0- Предполагая, что процесс распространения сигнала широкополосный и бездисперсный (скорость не зависит от частоты), можно показать, что взаимная ковариационная функция имеет набор пиков, каждый из которых соответствует одному из трактов распространения процесса (рис. ЗЛ2). Подробно приложения этого типа рассматриваются в гл. 6. Взаимные ковариационные функции могут быть [c.75]

Рис. 3.12. Типичная взаимная ковариационная функция в случае бездисперсного распространения по нескольким трактам.

Рис. 3.13. Типичная взаимная ковариационная функция в случае бездисперсного распространения из нескольких источников.

Справочник химика 21

Химия и химическая технология