Взаимные выборочные

Выборочный фазовый спектр 1г(/) показывает, запаздывает или опережает частотная компонента одного ряда компоненту другого ряда на той же частоте Аналогично, выборочный взаимный амплитудный спектр A 2 f) показывает, насколько велики в двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой частоте. Заметим, что Д12(/)—неотрицательная четная функция, а р12 ) —нечетная функция частоты. [c.100]

В разд 5 3 1 будут выведены выборочные оценки наименьших квадратов для функции отклика на единичный импульс в случае, когда в распоряжении имеются конечные записи входа и выхода. Будет показано, что результаты получаются аналогичные тем, которые были выведены в разд 5.1 5, с той разницей, что теоретические ковариационные функции заменяются их выборочными оценками. Кроме того, будет показано, что этот подход приводит к вычислению по данным таких функций, которые являются естественными выборочными оценками авто- и взаимных ковариационных функций В разд. 5 3 2 определяются другие выборочные оценки [c.210]

Это наводит на мысль определить выборочную оценку взаимной ковариационной функции следующим образом. [c.212]

Взаимная корреляционная функция подобно ковариационной не является в общем случае четной функцией Рассмотрим, например, на рис 8 4 выборочную взаимную корреляционную функцию данных о газовой печи, приведенных на рис 8 3 Эта функция имеет большой пик прн и = 5 и явно несимметрична относительно и = О Отметим также, что большинство взаимных корреляций положительно Это объясняется тем, что увеличение скорости впуска газа приводит к увеличению концентрации на выходе и наоборот [c.81]

Выборочная взаимная ковариационная функция [c.93]

Следовательно, если i i положительно, то дисперсия (8 2 8) оценки взаимной ковариации увеличена по сравнению с дисперсией (8 2 9) для случая белого шума Если же ai i отрицательно, то (8 2 8) меньше, чем (8 2 9) Обычно ai i бывает полом и-тельно, т е два процесса или оба имеют положительные автоковариации, или же оба — отрицательные В таком случае из равенства (8 2 8) следует, что могут получиться очень большие выборочные взаимные ковариации (ложные ) между двумя некоррелированными процессами из-за больших значений автоковариаций внутри каждого из процессов [c.95]

Пример Чтобы проиллюстрировать этот эффект, мы вычислили выборочную взаимную корреляционную функцию (fe) для реализаций двух независимых процессов авторегрессии первого порядка с параметрами oi = i = —0,9 при N = 100 Эта выборочная оценка получена при использовании дискретного выборочного аналога функции (8 2 2), а именно [c.95]

Выборочная оценка взаимной корреляции показана па рис 8 7 пунктирной линией Мы видим, что Гх.хЛ ) достигает значении [c.96]

Рис 87 Выборочные взаимные корреляции двух процессов авторегрессии первого порядка до и после фильтрации [c.96]

Предположим теперь, что требуется описать ковариацию двух косинусоидальных волн В таком случае естественно воспользоваться выборочным взаимным спектром мощности, или, короче, выборочным взаимным спектром [c.99]

Выборочный фазовый и выборочный взаимный амплитудный [c.99]

Соотношение между выборочным взаимным спектром и выборочной взаимной ковариационной функцией [c.101]

Из определения (8 3.3) выборочного взаимного спектра имеем [c.101]

Таким образом, выборочный взаимный спектр является преобразованием Ф рье от выборочной взаимной ковариационной функции, определяемой соотношениями т-и [c.102]

Следовательно, выборочный коспектр дает разложение по частоте выборочной взаимной ковариации при нулевом запаздывании аналогично тому, как выборочный спектр (6 1 11) дает разложение выборочной дисперсии по частоте Запишем теперь (8 3 15) в виде [c.102]

Из (8 3 12) случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру, имеет вид т [c.103]

СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОГО ВЗАИМНОГО СПЕКТРА [c.123]

Моменты выборочного взаимного спектра для двух некоррелированных белых шумов [c.123]

Отметим, что, в то время как дисперсия выборочного спектра равна квадрату его среднего значения, дисперсия выборочного взаимного амплитудного спектра равна утроенному квадрату своего среднею значения Это увеличение дисперсии произошло из-за того, чго при оценке амплитудного спектра изменчивость создается двумя процессами, а не одним [c.126]

Таким образом, независимо от того, каков двумерный случайный процесс, выборочный спектр когерентности тождественно равен единице Следовательно, необходим другой подход, использующий выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр Эти функции характеризуют два различных типа взаимной корреляции процессов [c.127]

Общие свойства моментов оценок, соответствующих выборочным взаимным спектрам [c.131]

Математическое ожидание сглаженных оценок взаимных спектров. Оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру определяется следующим образом [c.135]

На рнс. 9 о доказана сглаженная выборочная оценка квадрата когерентности /С 2 при = 16 для исходных и профильтрованных рядов (способ фильтрации описан в разд. 8 2 2) Мы видим, что фильтрация лишь незначительно улучшила выборочную оценку когерентности. Этот вывод следует сравнить с полученным в разд 8 2 2 выводом о том, что фильтрация может привести к существенному улучшению выборочных оценок взаимной корреляционной функции. Это отличие выборочной оценки спектра когерентности будет объяснено в разд. 9.3 3. [c.149]

Следовательно, из-за введения поправки на среднее значение смещение увеличилось на величину порядка 1/Г Выборочная взаимная ковариационная функция имеет те же самые недостатки, что и выборочная автоковариационная функция, п, в частности, ее соседние значения сильно коррелированы В Приложении П9 1 показано, что ковариация оценок различных запаздывании 1 и Ыг дается формулой Бартлетта [c.94]

И, наконец, вычислялась выборочная взаимная корреляционная функция отфильтрованных рядов х[р х ) по формуле (8 2 12). Эта функция изображена сплощной линией на рис. 8 7, где видно, что ее значения гораздо меньще, чем до фильтрации. Поскольку отфильтрованные ряды являются белыми щумами, то по формуле [c.97]

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области Будет показано, что обсуждав-наяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных компонент в двух рядах на определенной частоте Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8 1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса. [c.98]

В предыдущем разделе мы рассматривали Xi t) и X2 t) как заданные функции времени Если считать, что [Xl t), Х2 1) — реализация стационарною двумерного случайного процесса Х](/), Х2(г) , то возникают те же самые проблемы, что и в одномерном случае Так, например, выборочные коспектры и квадратурные спектры, сосчитанные по реализации двумерного случайного процесса, не сходятся ни в каком статис1ическом смысле к предельным значениям, когда длина реализации Т стремится к бесконечности. В действительности, они ведут себя так же, как выборочный спектр, показанный на рис 6 1 Чтобы понять, почему это так, нужно исследовать свойства случайной величины Сх,х (/). для которой выборочный взаимный спектр является реализацией. [c.103]

Отсюда видно, что выборочные взаимные спектры эмпирических времениь х рядов могут служить очень гибким средством при выборе моделей, описывающих поведение этих рядов В тех случаях, [c.110]

В разд 9 I показано, что выборочный взаимный спектр обладает тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр- его дисперсия не зависит от длины записи Однако из него можно получить выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр и построить с их помощью частотный критерий корреляции двух временных рядов [c.123]

В этом разделе мы выведем выражения для средних значений, дисперсий и ковариаций оценок, соответствующих выборочным коспектрам, квадратурным спектрам, а также выборочным фазовым и взаимным амплитудным спектрам, предполагая, что два рассматриваемых процесса являются некоррелированными белыми щумами Эти выражения окажутся полезными в двух случаях В разд 9 2 мы используем их при выводе критерия корреляции двух временных рядов, а в разд 9 1 3 и 9 2 1 — при выводе моментов оценок, соответствующих обычным и сглаженным выборочным [c.123]

Распределение оценок, соответсгвующих выборочному взаим ному амплитудному спектру. Случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному амплитудному спектру, по определению равна -4)2(/) = 1С12(/)1, так что ее квадрат, используя (9 1 1), можно записать в виде [c.125]

В разд 9 1 3 было показано, что выборочные оценки взаимных спектров обладают тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр главный член их дисперсии не стремится к нулю с увеличением длины заинсн Поэтому оценки взаимных спектров необходимо сгладить с помощью спектрального окна точно так же, как нужно было сгладить оценки автосиектров Сглаженная сценка взаимного спектра определяется следующим образом [c.135]

Кроме того, мы видим, что во всех случаях, кроме (9 2 17), дисперсия оценки равна нулю, когда коэффициент когерентности равен единице, и возрастает, когда этот коэффициент стремится к нулю. В действительности дисперсии оценок взаимного амплитудного п фазового спектров стремятся к бесконечности, когда коэффициент когерентности обращается в нуль Этого следовало ожидать, так как малые значения когерентности соответствуют большому уровню щумов и, следовательно, неэффективной оценке. Таким образом, мы получаем важный практический вывод- выборочные свойства оценок фазового и взаимного амплитудного спектров могут зависеть в большей степени от спектра когерентности, которым мы не можем распоряжаться, чем от находящегося в нашем распоряжении фактора сглаживания //Г. [c.141]

Формулы для оценивания сглаженных взаимных спектров по дискретным данным аналогичны формулам для автоспектров, описанным в разд 7 11. Как и там, мы предположим, что ряды Хц, X2i,t — 1,., Л/, получены при отсчете по времени с интервалом Д сек и что выборочные спектральные оценки вычисляются лищь для положительных частот. Для удобства записи предположим также, что А = 1, так что 0выборочную оценку надо умножить на А и построить график ее в интервале частот [c.144]

Множитель 2 в уравнениях (9 3 2), (9 3 4), (9 3 8), (9 3 9) поставлен д, 1я того, чтобы сохранить соотношение преобразований Фурье между выборочнь[ми спектрами и выборочными ковариациями, как и в разд 7 11 В ирнложеиии П9 2 приведена логическая схема вычислений взаимного спектрального анализа [c.146]

Нормировка Иио1да при изучении корреляции двух рядов с различными масштабами измерения полезно их предварительно нормировать так, чтобы получались выборочные оценки корреляций и нормированных спектров Формулы при этом останутся теми же самыми, еслп заменить ковариации на корреляции Отметим, впрочем, что взаимный амплитудный спектр уже не будет иметь смысла Нормированные выборочные оценки корреляций получаются из выборочных сцепок ковариаций по формулам [c.146]

Детали вычислений. В этом разделе приводятся численные примеры взаимною спектрального анализа искусственных двумерных временных рядов с известными спектрами Мы сравним теоретические спек1ры и сглаженные выборочные оценки спектра когерентности (9 3 12) и фазового спектра (9 3 11). Влияние ширины полосы частот окна иа дисперсию сглаженных выборочных оценок мы проследим, срав швая теоретические спектры с выборочными оценками, сосчитанными по реализациям двумерных временных рядов Во всех численных примерах э(ого раздела для сглаживания г.спользуется окно Тьюки [c.146]

Два независимых процесса авторегрессии первого порядка (а, = —0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, явля-ляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка с 1 = —0,9, = 100 Взаимную корреляционную функцию этих процессов мы оценивали в разд 82 1 Теоретический и средний сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не определен Поэтому мы не будем сравнивать теоретический п средние сглаженные спектры Основная цель этого примера — сравнить теоретический спектр когерентности, который тождественно равен нулю, с выборочными оценками когерентности для реализаций двух рядов по 100 членов в каждой На рис 9 4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при I = 4, 8, 16 и 40 [c.147]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология