Глава IV. Метод множителей Лагранжа

Рассмотренные в настоящей главе примеры использования метода множителей Лагранжа для решения задач оптимизации с ограничениями типа равенств или задач, сводимых к этому классу, показывают, что данный метод представляет собой достаточно удобный математический аппарат, позволяющий ставить и решать довольно сложные оптимальные задачи для процессов с сосредоточенными и распределенными параметрами. Как отмечено ниже (см. главу VII), метод множителей Лагранжа при отсутствии ограничений на переменные процесса типа неравенств приводит к уравнениям, которые иногда совпадают с основными уравнениями методов, специально созданных для решения широкого класса задач оптимизации, таких, например, как принцип максимума. [c.200]

Метод множителей Лагранжа. Идея использования множителей Лагранжа для исключения некоторых неудобных ограничений была описана в главе V (см. стр. 96). Применим ее для сведения задачи с закрепленным правым концом к задаче со свободным правым концом. Воспользуемся условиями трансверсальности [19, с. 59], которые формально можно получить следующим образом. Сформируем функцию Лагранжа [c.112]

Метод множителей Лагранжа (см. главу IV) применяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений. [c.31]

Следует особо подчеркнуть, что метод множителей Лагранжа позволяет найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные производные. Полученные в результате решения, систем уравнений (IV, 2) и (IV, 13) значения неизвестных Xi могут и не давать экстремального значения функции R, точно так же как в задачах на безусловный экстремум, приведенных в предыдущей главе. Поэтому найденные при решении указанных систем уравнений значения переменных, вообще говоря, должны быть проверены на экстремум с помощью анализа производных более высокого порядка или какими-либо другими методами. [c.152]

Следует также отметить, что множители Лагранжа часто применяют и в других методах оптимизации в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (подробно см. главы, посвященные изложению вариационного исчисления и динамического программирования). [c.139]

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) линейное программирование 7) нелинейное программирование. В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач метод геометрического программирования (см. главу X). [c.29]

Из аналитических методов внимание в основном уделено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями а независимые переменные и сводящиеся к ним, для решения которых используют множители Лагранжа, приведены в следующей главе. [c.92]

Для решения экстремальных задач с такими ограничениями в классическом анализе разработан и используется метод неопределенных множителей Лагранжа [1], сводящий задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений, что позволяет применить для ее решения приемы, рассмотренные в главе III. В этом смысле настоящая глава является логическим продолжением предыдущей. Метод же множителей Лагранжа дает возможность иногда использовать более эффективные приемы, ведущие к решению исходной оптимальной задачи. [c.148]

Именно в этом и состоят наиболее слабые стороны метода неопределенных множителей Лагранжа при его использовании для решения оптимальных задач, так как этот метод всегда дает лишь необходимые, но еще не достаточные условия оптимальности. Более того, как показано ниже (см. главу VII), для целого ряда задач оптимальные условия вообще нельзя найти при применении выражений (IV, 216). [c.192]

Как было показано в главах IV, V, агрегаты с выпуклыми характеристиками весьма широко распространены в химической промышленности. В энергетике выпуклый тип характеристик также является наиболее распространенным Поэтому подавляющее большинство разработанных в настоящее время специализированных вычислительных устройств предназначено для распределения нагрузок между агрегатами с выпуклыми характеристиками. В основу алгоритма этих устройств положен метод неопределенных множителей Лагранжа. Большинство устройств распределения нагрузок работает как система-советчик в энергетике. Поскольку эти устройства могут без существенных изменений применяться и в химической промышленности, остановимся подробнее на описании конструкции отдельных вычислительных устройств. [c.183]

В связи с наличием двух параметров оптимизации на электронной вычислительной машине была решена компромиссная задача был применен метод неопределенных множителей Лагранжа (см. главу 5). [c.139]

Воспользуемся методом множителей Лагранжа, описанным в главе V (ом. стр. 92). Ограничениями типа равенств, наложенными на варьируемые параметры, будем в данном случае считать уравнения (VIII,2). При этом предполагается, что вместо в уравнения [c.174]

Из аналитических. методов внимание в основном удалено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями на независимь[е переменные и сводяш,иеся к ним, для реи[ения которых используют множители Лагранжа, приведен ) в сле ующей главе. [c.87]