Экстремальная задача решение

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

Для решения сформулированной экстремальной задачи применим метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид [c.34]

Методы перебора использу.ются очень давно в ситуациях когда нужно сделать выбор между альтернативными вариантами, в частности, решить экстремальную задачу. Решение задач методом перебора базируется, с одной стороны, на опыте и интуиции исследователя, а с другой стороны - некоторая априорная информация может позволить сузить множество вариантов, среди которых ищется оптимальное решение. Однако до появления совре.менных ЭВМ возможности метода перебора были существенно ограничены. [c.38]

Задача синтеза ХТС (5.7) — (5.12) решается с использованием метода, относящегося к классу непрямых методов стохастического программирования [171]. Метод основан на замене стохастической экстремальной задачи детерминированным аналогом [83, 84]. Основными этапами непрямого метода стохастического программирования для решения задачи синтеза оптимальной ХТС являются [c.134]

Для решения экстремальной задачи уровня Л,- — задачи определения оптимального варианта резерва ХТС — используют метод неопределенных множителей Лагранжа (см. раздел 8.2.2). [c.226]

Методы синтеза теплообменных систем включают, как правило, следующие три основных этапа 1) декомпозицию исходной задачи синтеза тепловой системы на совокупность подзадач меньшей размерности, включающих варианты теплообмена между исходными и результирующими потоками 2) проверку физической реализуемости и расчета каждого варианта теплообмена, т. е. определение конструкционных и технологических параметров теплообменников, а также приведенных затрат на рассматриваемый вариант теплообмена 3) решение некоторой экстремальной задачи. [c.77]

Анализ возможностей использования двух методов слепого поиска для решения многофакторных экстремальных задач показал, с одной стороны, ряд их положительных свойств, а с другой —ограниченность их применения кругом задач с небольшим числом оптимизируемых параметров. Второй весьма важной областью применения методов слепого поиска является их использование в алгоритмах, сочетающих в себе ряд методов, в частности для определения абсолютного оптимума в многоэкстремальных задачах и для оптимизации дискретно изменяющихся параметров. [c.127]

Здесь целесообразно отметить, что нелинейное программирование как новое математическое направление возникло и развилось за три последних десятилетия из-за невозможности учета ограничений — неравенств на оптимизируемые параметры и на нелинейные функции с помощью классических методов решения экстремальных задач. [c.121]

На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции многих переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по сфере его применения. Во-первых, при большом числе оптимизируемых параметров рассматриваемый метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений (3.1.1). Задача решения системы уравнений (3.1.1) только в простейших случаях оказывается легко разрешимой. В практических задачах оптимизации адсорбционных установок число переменных Х1, как правило, велико. Во-вторых, условие определения экстремума, выраженное зависимостью (3.1.1), является необходимым, но недостаточным для решения задачи. В самом деле, выражение (3.1.1) определяет положение стационарных точек внутри области, среди которых кроме экстремальных могут быть особые точки типа седла . Учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является весьма сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане [51—53]. В-третьих, рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений аргументов. Между тем, как показывает соответствующий анализ, многие параметры и характеристики адсорбционных установок имеют свои оптимальные значения именно на границах допустимой области их изменения. Следовательно, требуется дополнительный анализ значений минимизируемой функции 3(х, х2.....х ) на границах допустимой области изменения параметров хи Х2,. . Наконец, четвертый недостаток рассматриваемого метода состоит в ограниченности его применения классом задач, в которых оптимизируемые параметры, определяющие значение минимума или максимума функции, независимы, т. е. хи Х2,. .., х [c.123]

Сравним кратко описанные методы квазистатической оптимизации. При применении второго метода экстремальная задача сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить, что решение такой краевой задачи — достаточно сложная и трудоемкая операция. В данном случае она осложняется тем, что, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, система (VI,63) и ( 1,64) будет неустойчивой, поскольку системы уравнений ( 1,63) и ( 1,64) надо решать совместно. При использовании же первого метода они решаются раздельно. Таким образом, первый метод в ряде случаев может оказаться предпочтительнее. [c.177]

В которых излагаются приближенные методы решения экстремальных задач с ограничениями, насчитывает десятки книг и сотни статей, поэтому здесь будут приведены лишь идеи некоторых классов методов, иа основе которых строятся практические алгоритмы решения оптимизационных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе механики полимеров и композитов. [c.284]

Рассмотрим теперь несколько алгоритмов построения вектора г ,, которые не будут предполагать поиск оптимальной точки на каждом направлении. Можно потребовать, чтобы вектор У , удовлетворяя соотношениям (11,124), в то же время удовлетворял бы некоторым экстремальным свойствам. Так, вектор у,- может определяться как решение одной из следующих трех экстремальных задач. [c.64]

Пространство Ф использовалось для решения различных экстремальных задач в работах [97—99]. Элементы z , Z имеют вид Z = (f, ф), где / — число, а ф 6 Ф- Пусть Oz = (О, Оф) — нулевой элемент пространства а е = (1, Оф) — единичный вектор в направлении оси Of. Введем множество [c.145]

Таким образом, при применении этого метода экстремальная задача сводится к решению краевой задачи для системы разностных уравнений, которое аналогично решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые методы решения таких краевых задач рассмотрены в главе УП, посвященной применению принципа максимума Понтрягина. [c.159]

Заметим, что, поскольку матрица М является произвольной и невырожденной, v есть произвольный вектор. Поэтому в формулах (П,68) и (И,69) его можно выбирать, что позволит улучшить сходимость метода. Прежде всего вектор v может быть выбран в соответствии с требованием максимальности знаменателя дроби в выражении (П,69), что будет препятствовать его обраш,ению в нуль. В этом случае вектор V находится решением следующей экстремальной задачи [c.39]

В настоящее время круг методов планирования эксперимента расширяется с каждым годом, если не с каждым днем. За последние 20 лет только на русском языке появилось несколько тысяч публикаций в этой области, значительная часть которых посвящена методологии планирования эксперимента. И в этом направлении лидируют советские ученые, в частности В. В. Кафаров, Е. В. Марков, В. В. Налимов, М. Г. Слинько, Р. А. Буянов, В. В. Федоров и др. [4]. Соответственно классификации экспериментов, решающих задачи 1) поиска оптимальных условий процесса (экстремальный эксперимент) 2) выбора одной из конкурирующих гипотез (дискриминирующий эксперимент) 3) выделения доминирующих факторов (отсеивающий эксперимент) 4) сравнения эффективности ряда показателей (сравнительный эксперимент) и т. д.— теперь разработаны различные специфические методы их планирования. Наиболее распространенными в хи.мии стали методы планирования экспериментов, связанных с решением экстремальных задач поиска оптимальных условий химических процессов. Большое распространение в химической кинетике получили уточняющие и, особеи[)о, дискриминирующие эксперименты. [c.159]

Пусть решение х исходной задачи существует. Введем пространство Z (= " + ), содержащее значения функций f (д ), ф1 М. фр (л ), Ц>р+1 х),. .., Ф , (л )), которое будем рассматривать как прямое произведение пространства значений функции [ (х) и пространства Ч (= + ) значений функций фь = 1,. ... .., т, определяющих ограничения (IV, 3), (IV, 5). Пространство 2 использовалось для решения различных экстремальных задач [74, 75]. Элементы 2 2 имеют вид г = (/, ф), где f — число, а ф Обозначим через 0 = (О, Очг) нулевой элемент пространства Е, а через ё = (I, О-р) — единичный вектор в направлении оси О/. Введем множество [c.107]

Задача (VI, 5) относится к многоразмерным дискретно-непрерыв-ным экстремальным задачам, методы решения которых еще не получили такого развития, как в случае непрерывных экстремальных задач. Остановимся на математических методах, которые используются для решения задач синтеза. [c.190]

Некоторые параметры такие как диаметр, длина и число трубок, могут принимать только дискретные значения. Поэтому, после того, как найдено значение поверхности теплообмена для данного теплообменника, необходимо подобрать эти величины так, чтобы максимально приблизиться к этому значению. Другими словами, в этом случае дискретная экстремальная задача сначала заменяется непрерывной, а решение непрерывной задачи приближается дискретным решением. Можно однако пойти другим путем формируя элементы матрицы Ф, в качестве поисковых переменных использовать не поверхности теплообмена, а диаметр, длину и число трубок. [c.222]

Формальная процедура решения безусловных экстремальных задач может быть такой. [c.218]

При решении экстремальных задач на ЦВМ используется дискретный градиентный метод [3], по которому [c.222]

Нахождение корней а уравнения (IX.23) в общем случае представляет задачу не меньшей трудности, чем определение а, например, из уравнений дФ/да = 0. Вследствие этого при решении экстремальных задач на ЦВМ величину оптимального рабочего шага а находят приближенным способом. [c.223]

Выражение фгл[у(0] является сложной функцией времени, поэтому формально ее можно записать как ф л(/) (1 = 1, 2,. .., и Н = , 2,. .., к). Функции ф л(0 не имеют физической трактовки и отнюдь не характеризуют нестационарность процесса или технологического параметра во времени. Преобразование ф1 (у) к фгл(0 есть формальный прием, упрощающий решение экстремальной задачи. [c.244]

Для решения экстремальных задач с такими ограничениями в классическом анализе разработан и используется метод неопределенных множителей Лагранжа [1], сводящий задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений, что позволяет применить для ее решения приемы, рассмотренные в главе III. В этом смысле настоящая глава является логическим продолжением предыдущей. Метод же множителей Лагранжа дает возможность иногда использовать более эффективные приемы, ведущие к решению исходной оптимальной задачи. [c.148]

Для решения экстремальной задачи уровня А—задачи выбора оптимального показателя надежности ХТС — используют метод сканирования по ряду предварительно задаваемых значений уровня надежности системы. Каждое новое значение показателя Р( + )(Х) задается в результате коррекции предыдущей его величины по полученному из соотношения (3.4) значению глобального критерия Згод- [c.226]

Очевидно, что число m соотношений (IV,2) в постановке экстремальной задачи должно быть меньше числа независимых переменных п, так как, например, при т = п диапазон изменения переменных Хг = (i = 1,. . ., /г) по существу сведется лишь к определенному набору дискретных точек х№ (/= 1,. .., q), ко торый может быть найден решением системы уравнений (IV, 2), поскольку для данного случая число уравнений равно числу неизвестных. При этом решение оптимальной задачи в конечном итоге сведется к проверке значений функции R только в дискретном множестве точек, т. е. экстремальную задачу можно решить перебором допустимых точек, удовлетворяющих ограничивающим условиям (IV, 2). [c.149]

Если число т условий (IV, 2) меньше числа независимых переменных п, то принципиально для решения экстремальной задачи может быть использован следующий прием.- Из систем т уравнений (IV, 2) можно выразить m независимых переменных Хг как функции остальных п — т переменных, т. е., другими словами, представить ограничения (IV, 2) в виде [c.149]

Определим теперь дополнительные требования к fi(Xj), при которых экстремальная задача I (7.3), (7.4). будет эквивалентна (т.е. приводить к совпадающим решениям) алгебраической задаче II [c.93]

В результате экстремальная задача I сведена к решению системы из с уравнений (7.10) и ш — 1 уравнений в виде (7.8) или (7.7). Сравнивая [c.94]

Теорема 2. Критерием эквивалентности экстремальной задачи с минимизируемой функцией (7.17) и системы уравнений Кирхгофа является выполнение для ее решениях следующих условий [c.95]

Таким образом, установившееся потокораспределение в произвольной г.ц. можно определить также и посредством решения следующей двойственной (по отношению к исходной) экстремальной задачи [c.97]

Если решением исходной экстремальной задачи на минимум (7.25) при Ах = <2 является вектор решением двойственной задачи (7.30), (7.31) — вектор Р, то точка (х, Р ) будет седло вой точкой функций Лагранжа (7.28), которая выпукла по х и линейна по Р. Стационарные точки этой функции находятся из системы уравнений [c.98]

Возможно, что ключом к изучению этой проблемы является правильная постановка и решение вопроса о том, какую же все-таки экстремальную задачу решает реальная система. И должна ли при этом целевая функция (при моделировании данной системы в виде г.ц.) иметь определенный физический смысл, согласующийся, например, с принципом наименьшего действия, или она может носить формально-математический характер нового вариационного принципа (см. разд. 3.2). [c.101]

Если число т условий (IV,2) мешлие числа независимых переменных п, то принципиально для решения экстремальной задачи может быть использован следующий прием. Из системы гп уравнений (IV,2) мо кно выразить т независимых переменных Х как функции остальных п—т переменных, т. с., другилш словами, представить ограничения (IV,2) в виде [c.140]

Однако преимущество 1-го и 2-го подходов состоит не только в уменьшении размерности экстремальных задач, но и связано с проблемой многоэкстремальности. Метод структурных параметров приводит обычно к многоэкстремальной задаче [122], что связано, по-видимому, с тем, что в глобальную схему включены все возможные варианты схем ТС. Выбор той или иной структуры определяется решением задачи нелинейного программирования. В то же время при 1-м и 2-м подходах основная тяжесть выбора структуры ложится на решение задачи о назначениях, а с помощью метода нелинейного программирования приходится решать задачу оптимизации ТС, фиксированной структуры. Конечно, полностью избавиться от многоэкстремальности не удается, поскольку даже задача оптимизации ТС фиксированной структуры часто оказывается многоэкстремальной. [c.224]

Возникновение, сущность и сферы приложения концепции математического моделирования эксперимента освещены во многих доступных источниках [4, 35]. Впервые идея применения методов математической статистики к решению экстремальных задач оптимизации процессов была выдвинута в 1951 г. и вскоре — уже в 1955—1956 гг. — нашла практическую реализацию в химической технологии. Широкое распространение идей и метолоа плян ровя-ния эксперимента у нас в стране началось именно с оптимизации химического эксперимента, а конкретнее — с экспериментов, преследующих цели оптимизации промышленных химических процессов [4]. [c.159]

Точность решения экстремальной задачи прямым вариационным методом зависит от числа членов N в разложении (IX. 49, й). Выбор N связан с большими трудностями. При малом числе членов ряда (IX. 49, а), (IX. 49, б) точность аппроксимации Фгя(у) может быть неудовлетворительной, увеличение же N усложняет задачу поиска минимума Ф(дгпу) и увеличивает затраты машинного времени. [c.243]

Существуют различные методы определения опорных способов производства. В качестве опорных способов в аппроксимационных моделях используются 1) базисные или оптимальные базисные решения, определенные в результате реше1шя серии экстремальных задач с неагре-гированными переменными, параметрами и способами производства 2) опорные планы, оцененные экспертным путем 3) статистически обоснованные и имевшие прецедент плановые решения. [c.25]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология