Экстремумы отыскание, метод

Аналогичное препятствие на пути применения классических методов поиска экстремума отмечалось также и при отыскании экстремума функции х (/) методами классического анализа (см. главу И1). [c.242]

Способы управления процессом каталитического крекинга, нашедшие применение в известных из литературы системах, определяются прежде всего видом используемых математических моделей. Поскольку в большинстве зарубежных систем для описания процесса используются линейные модели, для нахождения оптимального режима функционирования процесса применяются различные модификации линейного программирования [127], в том числе, например, последовательный симплекс-метод [129]. Известны примеры использования полиноминальных моделей, квадратичных относительно управляющих воздействий. В этом случае применяется адекватная стратегия отыскания экстремума [130]. [c.140]

Таким образом, задача сводится к отысканию минимума функции п переменных F (iJ) (Iq)). Поиск этого минимума можно выполнить при помощи одного 1ГЗ методов нахождения экстремума функции конечного числа переменных. Отметим, в частности, что при использовании метода градиента на каждой итерации необходимо п раз решать систему 2п порядка (для определения п производных оптимизируемой величины). [c.188]

На рис. 53 показаны схемы достижения экстремума одной и той же поверхности отклика методами крутого восхождения и симплекс-планирования. Рассмотрим движение к экстремуму на примере задачи отыскания наибольшего значения целевой функции двух факторов. Для достижения экстремума методом крутого восхождения (рис. 53, а) в окрестности точки М с известным значением целевой функции был поставлен полный факторный эксперимент V- (точки 1—4), движение по градиенту осуществлялось в опытах 5—9 до тех пор, пока значение целевой функции не начало ухудшаться. С центром в лучшей точ- [c.229]

Нахождение оптимального варианта TOA формулируется в виде математической задачи отыскания минимального значения величины ПЗ как функции нескольких переменных. Поскольку явный вид функциональной зависимости ПЗ от многочисленных переменных и параметров оказывается достаточно сложным, то не приходится рассчитывать на решение задачи поиска экстремума классическим методом приравнивания нулю производной функции ПЗ. Единственно возможный путь -это расчет значений ПЗ для различных вариантов TOA, способных реализовать заданные технологические требования. Затем эти варианты сопоставляют и выбирают вариант с минимальной величиной приведенных затрат. Поскольку число возможных вариантов, как правило, оказывается значительным, а расчет каждого из них требует большого объема вычислений (см., например, итерационный метод расчета поверхности TOA), то для поиска оптимального решения используют вычислительную технику. [c.280]

В настоящее время разработаны два основных пути оптимизации сложных ХТС. Первый путь не учитывает особенности их топологических моделей и основан на применении для отыскания глобальной целевой функции ХТС как прямых методов (методов линейного и н линейного программирования), так и непрямых методов определения оптимальных решений с помощью необходимых условий существования экстремума. [c.295]

Начиная с любой точки ( 4), можно переместиться в любую другую точку пространства и рассчитать для нее значение целевой функции. Если расчетное значение функции меньше, чем в точке Л, то следует идти дальше в этом направлении если же она больше, то пробуют рассчитать изменение функции в противоположном направлении. Этот и предыдущий методы требуют проведения многих ступеней расчета из-за случайного характера проб. Путь отыскания экстремума можно определенным образом наметить с помощью так называемого триангуляционного метода, описанного ниже. [c.333]

Как показано пиже, наличие оврагов у оптимизируемой функции затрудняет отыскание истинного положения экстремума и для точного его нахождения приходится использовать специальные методы поиска (см. стр. 518). [c.485]

Для отыскания экстремума локального КЭ на первом уровне применяют алгоритм, основанный на методе максимального элемента [238]. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 8.8. [c.228]

Все указанные недостатки приводят к выводу о том, что использование классического метода определения экстремумов функции многих переменных для решения задач оптимизации параметров адсорбционных установок или отдельных элементов является неэффективным, поскольку 1) оно сводит первоначально поставленную задачу отыскания экстремума к таким вторичным задачам, которые оказываются не проще исходной, а зачастую и сложнее 2) при этом возникает необходимость в значительном изменении условий постановки адсорбционной задачи, искажающем ее сущность. [c.124]

При поиске экстремумов функционала Е, значения которого зависят от выбора функций г]),- при дополнительных условиях их ортонормированности, как уже было сказано в 1 гп. Ш, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Именно, отыскание условного экстремума эквивалентно поиску безусловного экстремума функционала [c.277]

Важное достоинство метода наискорейшего спуска — его абсолютная сходимость. Этот метод рекомендуется применять для уточнения решения тогда, когда вычисления по другим итерационным методам расходятся. Рассматриваемый метод можно использовать и для первоначального отыскания корней уравнений (III.I), взяв в качестве исходных данных произвольные числа. Однако в этом случае вместо решения системы могут получиться значения, при которых функция Ф (х) имеет относительный экстремум. Отметим, что это может случиться при использовании любого локального метода оптимизации. [c.72]

Для минимизации суммы квадратов разностей 5 (III.3) могут быть применены в принципе любые методы отыскания экстремума нелинейных функций, в том числе и такие, на переменные которых накладываются ограничения в виде равенств и неравенств. Большинство методов, применяемых при расчетах констант, исходя из минимума 8, в основном группируется по двум направлениям. Одно из них связано с разложением уравнений скоростей реакций (III.2) в окрестностях некоторой начальной точки ( 1, 2> в ряд Тейлора и вычислением способом наименьших квадратов (линейных и нелинейных) таких приращений Аы2, ., Аы/, [c.117]

Выше уже неоднократно отмечалось, что математическая формулировка оптимальной задачи часто эквивалентна задаче отыскания экстремума функции одной или многих переменных. Поэтому для решения таких оптимальных задач могут быть использованы различные методы исследования функций классического анализа и главным образом методы поиска экстремума. [c.92]

Из аналитических методов внимание в основном уделено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями а независимые переменные и сводящиеся к ним, для решения которых используют множители Лагранжа, приведены в следующей главе. [c.92]

Практически часто бывает трудно, а иногда и вообще невозможно аналитически решить систему уравнений (IV, 2) относительно некоторых переменных, т. е. представить ее в виде соотношений (IV, 3). Поэтому для решения задач отыскания экстремума функции многих переменных (IV, 1) с ограничениями на независимые переменные (IV, 2) обычно используют метод неопределенных множителей Лагранжа, вывод основных соотношений которого рассмотрен ниже. [c.149]

Естественно, что недостатки метода релаксации, к которому относятся трудности поиска при наличии ограничений или особенностей целевой функции (овраги), целиком присущи и методу поочередного изменения переменных. Вместе с тем, простота метода и сравнительно небольшой объем вычислений, необходимых для его реализации, обусловили его распространение в системах автоматического отыскания экстремума [3, 4]. [c.508]

Для отыскания экстремума в случае минимакса или возрастающего возвышения пользуются методами нелинейного программирования. [c.210]

Следует отметить простоту теории устойчивости, основанной на анализе нормальных колебаний. Однако эта простота была достигнута в основном потому, что удалось исключить все переменные, кроме одной. Например, в (11,82) входит только функция тогда как 0 была исключена. В тех задачах, которые не допускают такого исключения, удобней использовать вариационные методы, основанные на отыскании безусловного экстремума (см., например, разд. 11.8). [c.167]

Рассматриваемая задача сводится к отысканию экстремума (минимума) функции нескольких переменных. Эту задачу решали методом наискорейшего спуска. [c.88]

В целом отыскание решения, соответствуюш его глобальному экстремуму, является весьма трудной задачей. В настоящее время все методы отыскания минимума функции S суммы квадратов разностей для многомерных функций без ограничений на переменные Ui, и2,. . ., Ul практически сводится к поиску локального экстремума, который при условии удовлетворительной сходимости опытных и расчетных данных принимается априори за глобальный экстремум. Имеющиеся попытки разработки методов, которые позволили бы находить для многомерных функций условия, определяющие получение единственного решения, соответствующего глобальному экстремуму, не дали положительных результатов. [c.118]

Метод градиента предназначен для решения задач на безусловный экстремум в конечно-мерном пространстве, когда оптимизируемая функция является дифференцируемой и имеет единственный экстремум [46, 75, 106, 142, 144]. Если функция имеет несколько локальных экстремумов, то, как правило, метод градиента обеспечивает сходимость к одному из них. Это суш,ественно ограничивает эффективность градиентных методов при отыскании кинетических констант, так как в большинстве случаев функция [c.161]

В этой связи при применении метода градиента для отыскания кинетических констант, как и вообще для поиска экстремума функции многих переменных, требуется его модификация с целью улучшения и ускорения сходимости процесса поиска. В ряде случаев такая модификация приводит по существу к новому методу, например методу сопряженных градиентов [76, 88], методу проектирования градиента [197] и др. [c.161]

Наконец, следует сказать несколько слов по поводу выбора масштаба переменных в задаче. Выше отмечено, что можно. существенно сократить число, которое необходимо масштабировать заново, и уменьшить трудности отыскания максимума или минимума. Часто выгодно перейти от параметров рассматриваемой задачи к другим параметрам, которые имеют более удобный диапазон изменения. Например, удобнее иметь дело с логарифмом параметра х, а не с самой величиной х, если х имеет исключительно широкий диапазон изменения. Знание существа задачи и некоторый опыт использования методов поиска экстремума — единственное полезное здесь руководство. [c.140]

С другой стороны, эта задача может быть решена непосредственно с помощью методов отыскания экстремума. В сущности это та же задача, что использовалась в качестве примера в 4 гл. 5. В табл. 10.2 приведены результаты трехкратного прохождения программы на [c.338]

Отметим, что большинство методов являются методами отыскания локального экстремума, поэтому при их использовании желательно иметь хорошее начальное приближение. [c.61]

Задача управления, сформулированная в предыдущем параграфе в виде уравнений (11,1—11,4), является типичной задачей математического программирования. Математическое программирование— это сравнительна новый, развивающийся раздел математики, предметом которого является решение задач об отыскании экстремума функции при наличии ограничений. С идеями и методами математического программирования можно ознакомиться по многочисленным статьям и монографиям [c.22]

Симплексный метод отыскания экстремума функции (II, 17), разработанный Данцигом основан на последовательном переборе вершин многогранника ограничений таким образом, чтобы в каждой следующей вершине значение целевой функции было больше, чем в предыдущей. [c.24]

Непрямые методы, как было сказано выше, основаны на определении условий оптимальности. В первую очередь к ним относится метод неопределенных множителей Лагранжа — классический метод отыскания условного экстремума функции многих переменных при наличии ограничений, заданных равенствами [c.24]

Таким образом, при использовании метода Ритца задача отыскания экстремали функционала (V.162) сводится к задаче отыскания экстремума функции /V переменных (V.164), для чего необходимо решить систему уравнений [c.221]

Для решения задачи оптимального распределения в этом случае необходимо осуществить перебор всех возможных сочетаний граничных значений нагрузки и всех внутренних экстремумов и найти наибольшее из всех полученных значений. Для отыскания локальных максимумов можно воспользоваться одним из методов, описанных выше. [c.53]

Нахождение оптимального варианта ТОА формулируется в виде математической задачи отыскания минимального значения величины КО как функции нескольких переменных, т. е. необходимо найти значения варьируемых переменных, при которых КО будет иметь минимальную величину. Поскольку явный вид функциональной зависимости КО от всех переменных и параметров оказывается достаточно сложным, то рассчитывать на решение задачи поиска экстремума аналитическими методами не приходится. Единственно возможный путь —это определение значений КО для различных вариантов ТОА, способных реализовать заданные технологические требования, их сопоставление и выбор варианта с минимальной величиной КО. Поскольку ч[1сло возможных вариантов оказывается, как правило, значительным, а расчет каждого из них тре- [c.246]

Метод градиента и его частный вариант — метод наискорейшего спуска наиболее широко применяются для нахождения экстремумов функций многих переменных. Для отыскания минимума плохо организованной функции более предпочтителен метод градиентов с постоянным или дробящимся шагом а, так как в этом случае на каждой итерации уточняется направление быстрейшего убывания функции Ф(а). Объем вычислений при использовании метода градиентов значительно больше, чем при поиске минимума методом наискорейшего спуска. Однако программа поиска а на ЦВМ методом градиентов существенно проще, чем аналогичная программа для метода наискорейшего спуска, оптимальный рабочий шаг в котором определяется из уравнения (IX. 23) или приближенным способом. Метод наискорейшего спуска выгодно применять, если известно, что функция ф(а) достаточно хорошо организована, например, не имеет оврагов или близка к квадратичной функции. При попадании изображающей точки а в овраг скорость сходимости методов градиента и наискорейшего спуска резко уменьшается, а траектории движения практически совпадают. На рис. IX.4 изображена траектория движения изображающей точки a t) [в соответствии с уравнением (IX. 22, а) при а = onst] на [c.226]

Из аналитических. методов внимание в основном удалено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями на независимь[е переменные и сводяш,иеся к ним, для реи[ения которых используют множители Лагранжа, приведен ) в сле ующей главе. [c.87]

Настоящая глава посвящена рассмотрению методов решения одного важного класса задач, которые могут быть представлены как задачи отыскания экстремума соответствующего критерия oiith-мальности при условии, что иа независимые переменные наложены определенные ограничения, имеющие вид равенств. Типичными примерами подобных задач служат задачи, в которых требуется оптимальным образом распределить заданное количество ресурсов, чтобы принятая оценка эффективности процесса имела при этом. максимальное или минимальное значение. Как показано ниже, к задачам с ограничениями на независимые переменные тииа равенств можно свести и такие задачи, в которых ог )аничения данного типа в явном виде отсутствуют. [c.139]

На рис. 41 показаны схе мы достижения экстремума одной и тон же поверхности отклика методами крутого восхождения н симплекс-планирования. Рассмотрим движение к экстремуму на примере задачи отыскания наибольшего значения целево11 функции двух ( )акторов. Для достижения экстремума методом крутого восхожде-)И1я (рис. 41, а) в окрестности точки М с известным значением целевой функции был поставлен полный факторный эксперимент 2 (точки I—4), движение по градиенту осуществлялось в опытах 5—9 до тех пор, пока значение целевой функции ие начало ухуд-пгаться. С центром з лучшей точке 7 пришлось вновь реализовать план 2 (точки 10—13). Новое движение по градиенту (точки 14, 15) приводит к экстремальному значению целевой функции. При использовании симплекс-планирования (рис. 41, б) в исходном симплексе (точки 1—3) худшей оказалась точка 2. Точка 4 является зеркальным отражение.м худшей точки относительно С] — центра рани 1—3. В новом симплексе 1, 3, 4 худшей оказалась точка 1. [c.222]

Математическая формулировка оптимальной задачи достаточно часто эквивалентна задаче отыскания экстремума функции одной или нескольких переменных, ГТозтому для решения таких задач можно сг ользова,ть различные методы классического аня лиза, предназначенные. для исследования функций. [c.5]

В данном разделе мы б -де.м рассматривать методы решения одного класса залач. которы е могут быть представлены как задачи отыскания экстремума [c.26]

С целью отыскания экстремума функции многих переменных как частный случай метода оврагов можно рассматривать модификацию метода градиента, предложенную Островским и др. [69]. В начале поиска при движении в область минимума функции S (рис. 23) по программе градиента в соответствии с уравнениями (III.68)— (III.70) происходит спуск к оврагу (участок и зигзаго- [c.163]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология