Экстремумы безусловные

В отличие от предыдущих разделов, где задача на условный экстремум сводилась к задаче на безусловный экстремум, в данном случае мы поставим задачу несколько иначе. Пусть имеется такая ситуация, когда решить задачу поиска минимума или стационарной точки какой-либо функции / при наличии одних только ограничений типа неравенств (1,3) более или менее просто, а добавление ограничений типа равенств (1,2) существенно усложняет задачу. [c.96]

Матрицы, входящие в правую часть этой формулы, имеют одинаковую форму представления они получены в результате умножения вектора на свой транспонированный вектор. Ранг подобных матриц, очевидно, равен единице. Так как ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов ее составляющих, то при р < п — 1 ранг матрицы (х ) оказывается меньшим п, т. е. она является вырожденной. Если на нижнем уровне для минимизации функции а(- ) применяется метод Ньютона [см. выражение (1,43)], то в общем случае эффективность его для рассматриваемой ситуации значительно снижается [81, с. 79—86] вместо квадратичной скорости сходимости можно гарантировать лишь линейную скорость, характерную для обычного градиентного метода. Следовательно в целом эффективность алгоритма метода уровней, используемого совместно с методом Ньютона для выполнения безусловной минимизации, должна снижаться по мере приближения значения параметра л к л. Отсюда следует также, что в общем случае метод уровней целесообразно применять лишь для локализации решения задачи на условный экстремум, в частности задавать начальные приближения для х и [Л, достаточно близкие к х, х, нецелесообразно, Последний из упомянутых моментов часто проявлялся при расчетах на ЭВМ с использованием на нижнем уровне других квадратичных методов безусловной минимизации. [c.122]

Основное преимущество рассмотренного метода по сравнению с методом динамического программирования состоит в том, что при вычислительном процессе не требуется запоминания в ЦВМ про- межуточных результатов счета на каждом шаге итерационного процесса. Однако динамическое программирование неизбежно обеспечивает онределение глобального экстремума, в то время как описанный метод позволяет находить лишь стационарное значение функции цели. Еслп же эта функция имеет не один экстремум, решение с помощью данного метода значительно усложняется, поскольку приходится исследовать всю область, где определен критерий оптимизации, для нахождения глобального экстремального значения. К тому же вид уравнений (VI,32) определяет безусловный экстремум функции цели, что не характерно для реальных ХТС, в которых всегда существуют ограничения технологического характера. [c.311]

Суть метода состоит в том, что составленная подобным образом функция Ф будет иметь безусловный минимум именно тогда, когда внутренняя энергия и достигнет условного минимума. А поскольку для функции Ф экстремум безусловный, то и все частные производные от Ф по переменным состояния равны нулю. Функция Ф, как и энергия системы, зависит от следующих параметров [c.9]

Другим методом решения является прямой поиск экстремума функции (3.83) при ограничении (3.84) или безусловного экстремума функции Лагранжа 11з( ,Х). После некоторых алгебраических преобразований можно задачу решить методом геометрического программирования (см. раздел 3.3). [c.190]

Применяя один из способов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум, соотношения связи (1,17) выносят в критерий. [c.228]

Суть методов последовательной безусловной минимизации, как известно, заключается в построении на основе минимизируемой функции и функций ограничений некоторого семейства функций, зависящих от параметров. Находится безусловный минимум (или экстремум) каждой функции этого семейства при фиксированных значениях параметров. Оказывается, что при некоторых условиях последовательность полученных решений задач без ограничений сводится к решению исходной задачи при соответствующем изменении параметров семейства функций. [c.28]

К ЗАДАЧЕ НА БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ [c.89]

Решение задачи. (111,7) с критериями (111,8), (111,9) сводит общую задачу обработки экспериментальных данных к задаче на безусловный экстремум. При использовании формулы (111,9) минимизируемый критерий имеет разрывные первые производные на поверхностях (111,6). Отсюда для решения задачи (III,7) целесообразно применять методы нулевого порядка, не требующие вычисления первых производных. В случае решения задачи (111,7) с критерием (111,8), вообще говоря, могут быть использованы как методы нулевого порядка, так и методы первого порядка (гл. II). [c.132]

Решение задачи оптимизации. Задача оптимизации, сформулированная как задача определения условного экстремума функции девяти переменных, сводится к задаче на безусловный экстремум с помощью метода уровней (см. гл. IV). Целевая функция в данном случае будет иметь вид [c.174]

Результаты решения задачи на безусловный экстремум хорошо согласуются с решением задачи на условный экстремум (выполнение ограничений, значения технологических затрат). [c.174]

Обычно, > г. Сформируем модифицированный критерий, используя один из методов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум (для определенности — метод штрафа ) [c.172]

Общая процедура решения задачи с помощью функции Р будет следующая при фиксированных значениях ищется безусловный экстремум функции Р. После того как будут найдены координаты точки экстремума у (а1 ,. . ., а Р), в соответствии с принятым алгоритмом изменяется совокупность параметров и мы полу- [c.90]

Среди алгоритмов решения задач с ограничениями прежде всего следует отметить методы последовательной безусловной минимизации (см. главу IV). Возросший интерес к этим методам связан, по-видимому, с появлением в последнее десятилетие достаточно эффективных квадратичных методов безусловной минимизации. Суть методов последовательной безусловной минимизации, как известно, заключается в построении на основе минимизируемой функции и функций ограничений некоторого семейства функций, зависящих от параметров. Определяется безусловный минимум (или экстремум) каждой функции этого семейства при фиксированных значениях параметров. Оказывается, что при некоторых условиях последовательность полученных решений задач без ограничений сходится к решению исходной задачи при определенном изменении параметров семейства функций. [c.18]

При поиске экстремумов функционала Е, значения которого зависят от выбора функций г]),- при дополнительных условиях их ортонормированности, как уже было сказано в 1 гп. Ш, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Именно, отыскание условного экстремума эквивалентно поиску безусловного экстремума функционала [c.277]

Аналитическое определение оптимума Классический анализ поиска безусловного экстремума [c.53]

Одна из переменных, которая должна удовлетворять ограничению в форме неравенства, полагается равной нулю, снова находятся все решения задачи безусловного экстремума, и из них отбираются те, которые удовлетворяют ограничениям неотрицательности далее такая же операция проводится для остальных переменных, удовлетворяющих условию неотрицательности. [c.293]

В вариационном методе доказывается, что можно подобрать такие множители Лагранжа Хрд, что функционал - Л будет достигать безусловного экстремума на тех же функциях, на которых достигает экстремума функционал (1.107) при дополнительных условиях (1.110). Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид [c.45]

Из аналитических методов внимание в основном уделено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями а независимые переменные и сводящиеся к ним, для решения которых используют множители Лагранжа, приведены в следующей главе. [c.92]

Следует особо подчеркнуть, что метод множителей Лагранжа позволяет найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные производные. Полученные в результате решения, систем уравнений (IV, 2) и (IV, 13) значения неизвестных Xi могут и не давать экстремального значения функции R, точно так же как в задачах на безусловный экстремум, приведенных в предыдущей главе. Поэтому найденные при решении указанных систем уравнений значения переменных, вообще говоря, должны быть проверены на экстремум с помощью анализа производных более высокого порядка или какими-либо другими методами. [c.152]

Можно показать [3], что, как и в обычном анализе, введением множителей Лагранжа изопериметрическая задача сводится к задаче отыскания безусловного экстремума некоторого нового функционала [c.222]

Следует отметить простоту теории устойчивости, основанной на анализе нормальных колебаний. Однако эта простота была достигнута в основном потому, что удалось исключить все переменные, кроме одной. Например, в (11,82) входит только функция тогда как 0 была исключена. В тех задачах, которые не допускают такого исключения, удобней использовать вариационные методы, основанные на отыскании безусловного экстремума (см., например, разд. 11.8). [c.167]

Общий способ конструирования функций F сводится к следующему. В качестве независимых переменных выбираются управления и входные переменные всех блоков схемы за исключением, конечно, ее фиксированных входных переменных. Соотношения связи (VIII,2) считаются ограничениями типа равенств. Применяя один из способов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум, выражения (VIII,2) выносят в критерий. При этом можно использовать любой способ, для которого функция (V,l) представляется так [c.195]

Данная глава посвящена физико-математическим и вычислительным аспектам экстремального подхода к потокораспределению в г.ц. с сосредоточенными параметрами [132, 133, 140]. Такой подход, как уже отмечалось в разд. 3.2, характеризуется тем, что рассматриваемая задача может ставиться и решаться (исходя из физических принципов или формальных соображений) как задача на условный или безусловный экстремум, а также и нелинейного программирования. [c.92]

Интересно отметить, что в первой своей работе по трассировке электрических сетей авторы статьи [158] еще базируются на задаче Штейнера. В дальнейшем же [107, 159] они переходят к постановке, исходящей из задания не координат узлов, а именно исходной избыточной сети, и преобразуют ее затем в задачу на безусловный экстремум относительно контурных переменных. Для решения последней предлагаются обычный и усиленный методы покоординатной минимизации (см. гл. 13), которые обеспечивают в ряде случаев нахождение и глобального минимума. [c.167]

Из аналитических. методов внимание в основном удалено методам отыскания безусловных экстремумов. Задачи с ограничениями на независимь[е переменные и сводяш,иеся к ним, для реи[ения которых используют множители Лагранжа, приведен ) в сле ующей главе. [c.87]

Определение координат точки экстремума регрессионного описания среднеинтегрального критерия проводится следующим образом. Вначале определяются координаты безусловного экстремума по классической схеме. Затем, если найденный экстремум лежит в границах плана, проводится определение характера регрессионной поверхности на основе анализа матрицы Гессе. В качестве нового центра плана выбирается точка экстремума этой поверхности. если таковая имеется. В остальных случаях поиск экстремума в пределах плана осуществляется с помощью оптимизации алгоритмом поиска глобального экстремума и центр нового плана переносится в найденную с его помощью точку. [c.606]

Задача Б (на безусловный экстремум). Найти minFn(i ) в Пусть X — решение задачи Б. Положим (xjl). Отно- [c.154]

Здесь разбираются только локальные методы, позвляющие найти ближайший локальный минимум, в зоне притяжения которого-находится начальная точка поиска. Отсюда мы будем предполагать, что либо функция f в области В одноэкстремальна, либо что известнодостаточно хорошее приближение к глобальному минимуму. Рассмотрим здесь только методы, которые задачу (1,1), (1,2), (1,3) на условный экстремум сводят к задаче на безусловный экстремум. В основе такого подхода лежит следующее соображение. Для решения задач на безусловный экстремум разработан ряд эффективных, быстросходящихся методов [7]. Поэтому, если задача на условный экстремум будет сведена к задаче на безусловный экстремум, можно-воспользоваться упомянутыми методами для решения первоначальной задачи. Отметим, что сведение одной задачи к другой можег оказаться полезным как в прямых, так и в непрямых методах. [c.89]

Обпщй подход к сведению задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум заключается в следующем. Конструируется некоторая функция Р, зависящая от функций /, ф,, и соответствующих настроечных параметров [c.89]

При конструировании функции Р надо, безусловно, стремиться к тому, чтобы поверхность Р в пространстве Р, у ,. . ., у не ухудшалась по сравнению с поверхностью /. Другими словами, если поверхность / в области О не имеет оврагов [13] и одноэкстремальна, желательно, чтобы и поверхность Р была одноэкстремальна и не имела оврагов . К сожалению, как видно из дальнейшего, известные способы конструирования функции Р не обладают свойством не ухудшать вид минимизируемой функции. Да и вообще, трудно себе представитть, что переход от значительно более трудной задачи (задачи на условный экстремум) к более легкой задаче на безусловный экстремум осуществился бы без каких-либо потерь . [c.90]

Эквивалентная задача (впрочем, как и исходная) представляет собой задачу на условный экстремум, для решения которой использовалась условная оптимизация метод уровней и метод модифицированной функции Лагранжа. Для выполнения безусловной минимизации составной функции (нижний уровень оптимизации) применялись методы квазиньютоновского типа — DFP, BFGS, SSVM [см. (III, 81), (111,84)1. Расчет производных минимизируемой функции выполнялся как аналитически — с привлечением сопряженного процесса [3, с. 142], так и методом конечных разностей, что позволило провести сравнение результатов оптимизации по эффективности и точности решения . [c.146]

Другой способ построения декомпозиционных методов основан на использовании алгоритмов сведения задач на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум. Перечисленные подходы были подробно рассмотрены в книгах [3, с. 182 11, с. 242]. Здесь мы коротко опищем только метод закрепления. [c.169]

Запись Хг е [а, ] означает область изменения параметра Хг при безусловной минимизации вспомогательной функции Р I, х). При слишком большом значении коэффициента штрафа 2 (см- табл. 7.6) фукнция Р (1, ж) обладает большим числом экстремумов. Поэтому, хотя определены правильно координаты оптимального решения, точное значение минимума целевой функции ЗОН (7.168), равное 1, 5, не удалось получить (см. табл. 7.6.). Слишком малые значения коэффициентов штрафов 1, могут увести поиск в сторону от допустимых областей. [c.343]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология