Инварианты канонические

Остается обсудить два важных вопроса, касающихся канонических преобразований. Первый относится к преобразованию координат и импульсов, дающему действительное перемещение, которое точка, изображающая систему, совершает в фазовом пространстве за интервал времени от t щ) t Т. Мы увидим, чта таким — самым важным из всех преобразований — является каноническое. Второй вопрос связан с концепцией канонических инвариантов. Канонические инварианты суть динамические величины, инвариантные по отношению к каноническим преобразованиям. Примером канонического инварианта служит функция [А, В], где А и В — две любые динамические функции. Это можно расписать в явном виде. Если (y, р) (g, р ), то [c.31]

Для определения коэффициентов канонического уравнения Хц и Х22 воспользуемся следующими двумя инвариантами уравнения (([)ункциями коэффициентов, которые не изменяют своего значения при любом преобразовании координат) [c.202]

Прежде чем закончить этот краткий обзор классической механики, вернемся ненадолго к одному очень важному классу канонических инвариантов — к каноническим инвариантам Пуанкаре. [c.39]

Тогда, согласно предыдущему определению, объем й является каноническим инвариантом. [c.43]

Существует подкласс в классе всех канонических преобразований, для которого эти интегральные инварианты имеют особое динамическое значение. Этот подкласс представляет собой множество преобразований, соответствующих действительному динамическому перемещению системы. Мы вернемся к этой теме при одном из наиболее простых выводов уравнения Лиувилля. [c.43]

Задача 1.22. Показать, что скобки Пуассона для любых двух динамических переменных являются каноническим инвариантом. [c.44]

Уравнение (2.8) называется уравнением Лиувилля. Выведем его снова, используя теорему об интегральных инвариантах Пуанкаре. Теорема утверждает, что при каноническом преобразо-вании д, р) -> д, р ) [c.57]

Однако для систем с более чем одной степенью свободы интеграл движения, связанный с интегральными инвариантами, существует. Дополнительный интеграл полезен при описании движения только тогда, когда имеется по крайней мере одна степень свободы, которая является разделимой, т. е. она зависит явно только от одной пространственной координаты. В этом случае движение, соответствующее этой степени свободы, можно отделить от остального движения и можно найти инвариантную фазовую площадь для колебаний в этой фазовой плоскости. Каждая новая координата, которую можно отделить, дает добавочный постоянный интеграл действия. Условие разделимости эквивалентно существованию такого преобразования системы координат, чтобы пространственные координаты гамильтониана стали циклическими (не содержались). Соответствующий канонический Импульс постоянен и является переменной действия для этой степени свободы. В механике небесных тел интеграл движения такого вида называется также изолирующим интегралом, так как он отделяет одну степень свободы от других. Эти положения проиллюстрированы на примере в 2.4. [c.56]

На удобство системы координат а, р, 5 впервые указал Град. Нортроп и Теллер [44] использовали эту систему координат для описания движения в случае асимметричного диполя. Однако они не использовали обобщенные канонические переменные, но оставили уравнение ведущего центра основанным на инвариантности ц, а не х же отличается от [эта разница вычислена в (5.67)]. Систему координат а, р можно использовать наряду с каноническими переменными при вычислении [х в следующем, более высоком порядке (как в 5.1). Систему координат а, Р широко используют для вычисления адиабатических инвариантов низких порядков (см., например, [42]) и в особенности для тороидальных систем [28]. [c.237]

Пожалуй, Лихтенбергу удалось решить самую трудную задачу — сделать книгу интересной для максимально широкого круга читателей. С одной стороны, физическая простота основной концепции, наглядность изложения и отсутствие сложного математического аппарата позволяют рекомендовать ее студентам-физи-кам, тем более что в отечественной учебной литературе уделяется очень мало внимания столь важным в прикладном отношении разделам механики, как теорема Лиувилля, адиабатические инварианты, канонические преобразования и т. д. С другой стороны, усвоив основную концепцию книги, даже опытный инженер и физик-экспериментатор получат в свое распоряжение дополнительный мощный инструмент для быстрых качественных оценок в ситуациях, требующих, казалось бы, долгих и утомительных выкладок. Наконец, читатель, интересующийся современной теорией ускорителей и магнитных ловушек, найдет в книге немало методически ценных разделов и ряд глубоких физических аналогий между различными разделами теории. [c.3]

Теоретико-информационные инварианты могут использоваться в качестве представления структуры в базах знаний каталитических систем искусственного интеллекта наряду с матрицами и их каноническими представлениями. Различные инварианты молекулярного графа представляют собой важные характеристики графа. РТнвариант графа — это теоретико-графовое свойство, сохраняющееся при изоморфизме [86]. Более точно [80] пусть Р — функция, относящая каждому графу С, некоторый элемент из множества М произвольной природы (элементы М чаще всего числа, векторы, матрицы, многочлены). Эту функцию будем называть инвариантом, если на изморфных графах ее значения совпадают, т. е. для любых [c.99]

В первой главе автор дает краткий обзор основных положений аналитической динамики, включая лагранжевы и гамильтоновы уравнения, скобки Пуассона, канонические преобразования, теорию Гамильтона — Якоби и интегральных инвариантов Пуанкаре. Эта вводная глава позволит читателю, не обращаясь к специальной литературе, освежить в памяти имеющиеся у него сведения по аналитической меха1 1шеий..шшентипует внимание читателя [c.5]

Чтобы получить выражение для инвариантов в виде разложения (5.34), можно использовать метод Крускала [32], описанный в 2.4. Если канонические уравнения движения, зависящие от 2N переменных, соответствующих N степеням свободы, являются периодическими по одной переменной в нулевом порядке некоторого параметра 8, то можно найти преобразование к новой системе координат,, в которой уравнения движения имеют вид [c.221]

Если в предположении = onst существует вторая периодичность в наинизшем порядке по е, то второй,инвариант может быть обобщен на любой порядок по 8 следующим образом. Произведем каноническое преобразование от р, q к новой системе координат р, q, ft, ф с новым гамильтонианом Н (р, q, ft, е), который будет цикличе-ч ким по ф, так как ft = dHld(f = 0. Преобразование к новому набору леременных z, ф даст второй адиабатический инвариант [c.222]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология