Лиувилля уравнение

Это означает, что плотность вероятности р (р, д) является постоянной величиной вдоль фазовых траекторий и не зависит от непрерывно изменяющихся значений импульсов и координат р и д,,, если последние изменяются в соответствии с уравнениями движения. Если в фазовом пространстве выделить некоторый объем ДГ, заключающий некоторое число фазовых точек, то через определенный период времени эти точки займут новые положения. Однако по теореме Лиувилля этим точкам будет отвечать объем ДГ, равный прежней величине ДГ. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя прн таком движении всегда происходит деформация объема ДГ. Сказанное совсем не означает, что плотность вероятности — величина постоянная [c.195]

Данное выражение полностью совпадает с /г-й частичной суммой точного решения, которое было получено методом интегральных преобразований Фурье [91]. Если учесть, что система координатных функций образует последовательность собственных функций задачи Штурма—Лиувилля уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами при граничных условиях второго рода, то результат такого совпадения становится вполне закономерным. [c.76]

Дл в ячейку Дл, а вторая — убыль плотности вероятности, связанную с переходами из Ал в Ал. В обеих частях уравнения временной аргумент функции р (л, г) имеет одинаковое значение. Это означает, что р (л, г + Аг) в момент времени г + Дг(Дг- время, много большее времени одного перехода) определяется распределением вероятностей р (л, Г) в момент времени Г и не зависит от значений р (л, г ) при t < г. Такая эволюция системы называется марковской. В отличие от уравнения Лиувилля уравнение (2.10) [c.39]

Здесь ) — проективный оператор — возмущенная часть оператора Лиувилля, Ь = />о + 1 где — невозмущенная часть этого оператора. Ядро к — чисто детерминистическая динамическая величина, так как оно получено прямым применением проективного оператора к оператору Лиувилля. Уравнение (2.3.5) выведено для специально выбранных начальных условий, а именно при некотором времени С = О матрица плотности диагональна. Такое начальное условие, которое обычно называется допущением начальных случайных фаз, включает в себя утверждение, что фазовые корреляции в момент времени С = О отсутствуют. Если же задать более общие начальные условия, то кинетическое уравнение эволюции элементов матрицы плотности (а также плотности в фазовом пространстве или ее фурье-разложения) не моя ет быть записано в форме (2.3.5). Вероятностный аспект входит в уравнение (2.3.5) только через это начальное условие случайных фаз при некотором времени С = 0. [c.41]

Каждый из этих корней является приближенным значением сверху соответствующего собственного числа задачи Штурма — Лиувилля уравнения теплопроводности при граничных условиях первого рода, т. е. [c.55]

Как известно, принцип микроскопической обратимости непосредственно вытекает из симметрии уравнения Шредингера (или классического уравнения Лиувилля) по отношению к обращению времени. Этот принцип связывает сечения прямой и обратной реакций. Принцип детального равновесия устанавливает статистическое соотношение между константами скорости прямого и обратного процессов в равновесии. Принцип детального равновесия для коэффициентов скоростей прямой и обратной реакций может быть получен как следствие равенства скоростей прямой и обратной реакций в равновесии и из соотношений микроскопической обратимости с использованием равновесного максвелл-больцмановского распределения по скоростям и внутренней энергии. [c.16]

В кинетической теории газов уравнение Лиувилля (1.80), записанное относительно плотности вероятности р (х , х , 1) в бш-мерном фазовом пространстве (Зпг обобщенных координат и Зт обобщенных импульсов), имеет вид [c.68]

В этом разделе мы введем понятие фазового пространства частиц и составим уравнение Лиувилля для плотности группы частиц в фазовом пространстве. Определим состояние частицы в технологической системе величинами ряда координат 2, , 1 и введем вектор состояния [c.131]

Уравнение (1.510) является формальным аналогом уравнения Лиувилля [106, 107]. Может представлять некоторый интерес указание, насколько уравнение (1.510) отличается от классического уравнения Лиувилля. Во-первых, в классической статистической механике частицы представляют собой простые воображаемые образы изучаемой механической системы. В механике не требуется устанавливать механизм возникновения или разрушения этих образов, и мы поэтому можем записать [c.133]

Последнее уравнение является классическим уравнением Лиувилля [106, 107] с функцией f (определяемой как плотность вероятности). Стремление дивергенции поля скоростей к нулю для классических механических систем означает, что часть фазового пространства, занятого данной группой частиц не меняет объем (хотя в общем случае меняет форму). [c.133]

Что касается уравнения Паули, то оно может быть получено двумя способами 1) на основе общих положений теории вероятностей, 2) на основе уравнения Лиувилля. [c.39]

Учитывая уравнения (VI. 18) и (VI. 19), приходим к теореме Лиувилля (1838) [c.182]

Для обоснования формы зависимости р(р,д) важное значение имеет теорема Лиувилля, которая, основываясь на уравнениях движения Гамильтона, устанавливает, что величина р должна зависеть только от интегралов движения, т. е. от величин, сохраняющих свое значение при изменении механического состояния изолированной системы. Из интегралов [c.85]

Это обычное гидродинамическое уравнение непрерывности р = — di v pv, записанное для произвольного числа измерений. Хорошо знакомое уравнение Лиувилля в статистической механике является частным случаем, в котором поток является несжимаемым, т. е. дивергенция обращается в нуль и тогда множитель в уравнении (14-5.2) можно записать перед д/ди. . Однако Лиувилль не вводил такого ограничения в своей работе. [c.361]

Уравнение Лиувилля имеет вид [c.364]

Квантовые переходы статистический вес 4/824, 825 уравнение Лиувилля 2/7 J 9 Квантовое туннелирование 1/125 2/318, 728, 729, 755. См. также Туннельный эффект Квантовые генераторы, см. Лазеры Квантовые переходы 2/726, 124, 125, [c.623]

Это дифференциальное уравнение, называемое уравнением Лиувилля — фон Неймана или просто уравнением движения оператора плотности, играет наиважнейшую роль при вычислении динамиче- [c.32]

Аналогия между пространствами Гильберта и Лиувилля позволяет ввести супероператоры, которые определяли бы операторные соотношения в пространстве Лиувилля. . [2.7—2.9]. Примером такого операторного соотношения может служить коммутатор в уравнении (2.1.17) [c.40]

Исчезновение функций отклика четного порядка в ЯМР обусловлено специфическими свойствами уравнений Блоха или Лиувилля— Неймана в приближении сильного поля [4.59, 4.60]. Поскольку отклик меняет знак при изменении знака возбуждающего РЧ-импульса, отклик является нечетной функцией возбуждения независимо от амплитуды последнего и четные порядки исчезают [см. выражение (4.1.62)]. [c.144]

Сначала записывается уравнение (2.1.17) Лиувилля — Неймана [c.145]

Эту ситуацию можно понять, если вспомнить, что решение стохастического уравнения Лиувилля для матрицы плотности мы ищем в виде ряда по собственным функциям оператора диффузии [1, 2]. Число членов ряда, которые необходимо учесть в этом разложении, зависит от анизотропии магнитных тензоров, выбранной вращательной модели (броуновское вращение, свободная диффузия или модель скачков) и скорости вращательной диффузии. В работе [3] приводится ряд критериев, позволяющих оценить размерность исходного базиса для построения оператора —(Ь-Ь +г ), т. е. выбрать максимальные значения индексов Ь и К. [c.233]

При решении уравнения Лиувилля также использовались различные методы. Первоначально классический прием сведение дифференциального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений — был применен Фридом [1, 2]. Позже, в работах Анциферовой был использован не менее традиционный [c.236]

Для того чтобы рассчитать спектр магнитного резонанса, необходимо решить операторное уравнение Лиувилля для М -компо-ненты магнитного момента [c.261]

И теорема Лиувилля [уравнение (46.6)] может быть переписана хледующим образом [c.356]

Теперь проинтегрируем уравнение Лиувилля [уравнение (1.74) с дО 11дд1 = 0] по частицам от (5 + 1) до л, после небольшой перегруппировки членов получим уравнение в векторных обозначениях для -частичной функции распределения [c.41]

Макроскопическое поведение газа обычно описывается с помощью функций распределения низшего порядка. Для достаточно разреженной смеси газов состояние системы можно характеризовать функциями распределения для каждой к-ж компоненты газовой смеси pj (Xj, x j., t), заданными в фазовых пространствах отдельных молекул компонентов. Функция (х , t) определяет, что вероятное число молекул к-то компонента в элементе объема dXj около точки Xj, имеющих импульсы в элементе dx j. около равно ру. (Xj, Xpt, t) dx dxpj,. Уравнение для р. (х , х , , t) получается из уравнения Лиувилля (1.81) интегрированием его по координатам и импульсам (т—1) молекулы [c.69]

Третий подход основан на теоретическом анализе псевдоожиженных систем методами кинетической теории газов [55, 56]. Конечной целью, к которой стремятся исследователи, развивая это направление, является получение шестимерной плотности распределения частиц по скоростям и координатам, полностью описывающей поведение каждой частицы в слое (см. 1.5). Знание этой функции дает возможность описать осредненпые пульсационные движения в рассматриваемой ФХС. В работе [55] предложено уравнение Больцмана для твердой фазы, дифференциальная часть которого включает диффузионный член. Это уравнение содержит много экспериментально определяемых величин, что затрудняет его практическое использование. Кроме того, на уровне кинетической задачи не рассматривается взаимодействие между твердой и газовой фазами. В работе [56 ] приводится кинетическое уравнение для твердой фазы п eвдooжижeннoгoJ слоя, полученное из уравнений Лиувилля и Гамильтона. При этом физические эффекты в системе в целом рассматриваются в масштабах изменения функции распределения частиц газовой фазы. Однако не учтено, что масштабы изменения функции распределения частиц газовой фазы значительно меньше масштабов изменения функции распределения частиц твердой фазы. Для устранения этой некорректности модели требуется осреднить функцию распределения частиц газовой фазы по объему, являющемуся элементарным для твердой фазы. При этом необходимо рассматривать уже не одно, а два кинетических уравнения — для газа и твердой фазы. Кроме того, корректное использование уравнения Лиувилля для вывода уравнения, описывающего движение твердой фазы, является затруднительным из-за неконсервативности поля сил, в котором движется отдельная твердая частица. [c.161]

Постулат о равновесной функции распределения. Равновесная функция распределения в фазовом пространстве является одновременно и наиболее пероятной. Она осуществляется наибольшим числом способов, совместимым с заданными условиями определения ансамбля. Практическое использование этого постулата см. 3. Важнейшим общим свойством плотности вероятности в фазовом пространстве р(р, д) оказалась ее полная нечувствительность для равновесных систем к изменениям импульсов и координат отдельных молекул при движении системы по фазовой траектории. Общие свойства функции р(р, д) оказались достаточно простыми, что и позволило разработать статистический метод определения термодинамических величин для равновесных систем. Основное внимание мы уделим каноническому ансамблю Гиббса и канонической функции распределения р(р,д). Для нахождения вида функции р(р, д) необходимо использовать теорему Лиувилля, описывающую системы, подчиняющиеся уравнениям классической механики. [c.194]

Вывод уравнений (III.27), (III.30), (Ш-З ), выражающих сущность теоремы Лиувилля, основан на учете канонических уравнений движения при описании поведения ансамбля изолированных систем. Полученные соотнощения справедливы только для пространства обобщенных координат и импульсов (канонических переменных). Для пространства qi и qi аналогичные общие соотношения, в частности принцип сохранения фазового объема, выведены бытб не могут. Этим объясняется то предпочтение, которое в статистической физике оказывают каноническим переменным. [c.53]

Поскольку плотность фазовых точек связана с плотностью распределения вероятностей соотношением (III.8) Р = pL, где L = onst), то теорема Лиувилля определяет изменение р для произвольно выбранной системы ансамбля. Вместо уравнений (111.27), (111.28) и (III.30) можем записать [c.53]

Строгий вывод гидродинамических уравнений сохранения из кинетической теории ), основанный на уравнении Лиувилля и ряде дополнительных предположений, здесь не приводится из-за его сложности. Мы получим эти уравнения проще, воспользовавшись физическим выводом уравнения Больцмана ), определив далее гид-родинад1ические переменные и введя уравнения для изменения некоторого свойства молекул. Более нодробное рассмотрение вопроса можно найти в работах [ ] и [ ]. [c.539]

Рассмотрев в предыдущих двух параграфах линейные стохасти ческие дифференциальные уравнения, вернемся теперь к общему случаю (14.1.1). Его, так же как и обычные дифференциальные уравнения, можно преобразовать в линейное уравнение, если перейти к связанному с ним уравнению Лиувилля. Для того чтобы сделать это, мы временно возьмем одну реализацию y t) процесса Y t) и рассмотрим нестохастическое уравнение [c.361]

Это уравнение под названием стохастическое уравнение Лиувилля было введено Кибо в работе R, Kubo. J. Mathem. Phys. 4, 174 (1963). Прилагательное стохастическое в данном контексте используется в смысле связанное со стохастическими уравнениями в противоположность нашему пониманию этого слова как синонима случайный , что отражено в названии этой главы. [c.367]

Мы условимся, что Ж 1ка, Зка и Ра, относящиеся соответственно к гамильтониану Жк спиновым операторам / , 5 и Р , обозначают коммутаторные супероператоры. Супероператор Ж, который играет главную роль в уравнении для оператора плотности (2.1.17), называется супероператором Лиувилля. Супероперато-РЬ1, обозначаемые другими символами, мы будем определять по мере их использования. [c.41]

Квантовомеханическая теория релаксации. В наиболее последовательных теориях релаксации как спиновая система, так и ее окружение описываются квантовомеханически. В этом подходе выводится основное уравнение для приведенного оператора плотности < (0> описывающего спиновую подсистему, исходя из уравнения Лиувилля — фон Неймана для полного оператора плотности д (). Такая трактовка позволяет получить детальное понимание природы случайных возмущений, действующих на спиновую систему [2.27, 2.30, 2.33]. [c.75]

В настоящее время существует множество программ для численного расчета спектров ЭПР. Наибольший интерес для метода спиновых меток представляют программы (и теории), позволяющие учесть эффекты медленного вращения в ЭПР-спектре. Нам известны два основных подхода к решению этой задачи. Первый из них предложен Мак-Коннеллом [8] и состоит в модификации феноменологических уравнений Блоха включением в них диффузионного члена, описывающего медленное вращение спиновой метки. Второй, более строгий подход принадлежит Фриду [1 ] и заключается в решении стохастического уравнения Лиувилля для матрицы спиновой плотности. Сравнение этих методов можно найти, например, в [1, 9]. [c.236]

Синтез спектров ЭПР проводился на ЭВМ М-4030 с использованием алгоритма Ланцоша [3] для быстрого решения стохастического уравнения Лиувилля по программам, описанным выше. [c.243]

Вряд ли требует комментария тот факт, что экспериментальные спектры, полученные в методе спиновых меток, необходимо соотносить с моделью, описывающей движение метки с глобулой и относительно глобулы. При этом рассматриваемые модели в конечном счете должны характеризовать структурное состояние исследуемой макромолекулы (ее гидродинамический радиус или его изменения, локальное в месте присоединения,спиновой метки конфор-мационное состояние глобулы). Однако зачастую в тени остается вопрос о проверке конкретной модели, ее допущений путем подстановки в общую теорию метода спиновых меток, путем синтеза спектров исходя из этой общей теории и сравнения их с экспериментальными. Трудности, связанные с громоздкостью этих синтезов, в последнее время существенно уменьшились в связи с применением алгоритма Ланцоша к решению стохастического уравнения Лиувилля [31. [c.252]