Интеграл движения

Завершая рассказ о свойствах квантовомеханических операторов, обратимся к вопросу о законах сохранения. В классической механике есть такой термин интеграл движения. Им обозначают физические величины, сохраняющие при движении постоянное значение, определяемое начальными условиями. Есть такие величины и в квантовой механике, их средние значения в любом состоянии не изменяются с течением времени. [c.50]

Рис. 14.2. Необратимые орбиты в плоскости X, V для различных значений интеграла движения К, S — стационарное состояние.

Из задачи 2.8 следует, что кривизна волновой функции пропорциональна и—Е = Т. Так как Е — это интеграл движения, то решения уравнения Шредингера, соответствующие более короткой длине волны де Бройля (т. е. большей кинетической энергии), должны иметь большую кривизну (рис. 22). [c.92]

Рассмотрим стационарные состояния, т. е. такие, в каждом из которых полная энергия микрочастицы Е не меняется со временем (представляет собой интеграл движения). Молекула с установившейся системой химических связей — это система взаимодействующих ядер и электронов в некотором стационарном состоянии. [c.12]

Следовательно, ф есть интеграл движения [см. (П.40)], что и требовалось доказать. [c.54]

Из теоремы Лиувилля следует, что для равновесных систем при заданных N и V плотность распределения вероятностей зависит только от интегралов движения. При записи выражения (П1.39) допускается зависимость р (и соответственно р) только от одного интеграла движения — энергии. Выделение этого интеграла движения обусловливается следующими соображениями. Величина 1п р, как следует из сказанного в 1 настоящей глав 1, аддитивна для совокупности двух невзаимодействующих систем р = 1Рг и 1п р = 1п + 1л рц, где Р1 и и Ра — нормированные плотности распределения вероятностей соответственно для первой и второй систем. Обоснованно считать величину р зависящей именно от аддитивных интегралов движения. Из семи названных ранее аддитивных интегралов движения шесть характеризуют движение системы как целого, и при изучении внутреннего состояния системы их можно не рассматривать. Таким образом, остается зависимость р от энергии — важнейшей механической характеристики системы, и при заданных N и V получаем выражения (П1.39) и (П1.40). [c.55]

В [7] рассмотрен случай отсутствия межфазного массообмена водной и нефтяной компонентами. В отличие от предположения о постоянстве плотностей фаз [38] предполагается вьшолнение закона Амага о постоянстве суммарного объема фаз в процессе массообмена. При этом механизм эффективного вытеснения состоит в переходе нагнетаемой активной компоненты в нефтяную фазу в общем случае [10] он состоит также во взаимном растворении. Для видов треугольных фазовых диаграмм, соответствующих немонотонным изотермам распределения примеси по фазам, получены решения, в которых изменение концентрации на фронте вытеснения достигается последовательностью скачков и участков непрерьшного изменения. Первый интеграл движения тыла оторочки, найденный в [9], позволил дать геометрическую интерпретацию динамики тыла оторочки. Получены формулы средней нефтенасыщенности во всех зонах, на основе чего развита графоаналитическая техника расчета показателей процесса. Конкретные примеры графоаналитического расчета вытеснения конденсата оторочкой углеводородного растворителя приведены в [15]. [c.181]

Интегрируем уравнение баланса массы полимера (104), / = 2 по области, ограниченной контуром (0,0) - (О, 1) ->-(х1(г ), г ) (хо(г). Г) -> (О, 0), По формуле Грина для этого достаточно проинтегрировать по этому контуру дифференциальную форму 2 = сг(Р + / 2) + С2(х + Ъг)<1х массового потока полимера. Интеграл от этой формы вдоль линии контактного разрыва Х (г ) равен нулю. Отсюда получаем первый интеграл движения х = Х[ ( ) [c.204]

Первый интеграл движения х = Хв ( ") аналогичен по виду (165). Он получается интегрированием формы по контуру [c.211]

Интегрируя форму массового потока ПАВ 0, по контуру (О, 0) -> (О, 1) ->(xi(r ), i )->(xo(f), t)- (О, 0), получаем первый интеграл движения X = -Г1 (i ) [c.207]

Интегрируя форму массового потока полимера 02 по контуру (1,0) (.to,0) lx2(t"), 1")->-(х1(т ), (1, 0), получим первый интеграл движения х=х1(1 у. [c.208]

Интегрируя форму 2 массового потока полимера по контуру (О, 1) -+ (0, Го)(хз(г ), г )->(Хо(г), г) (О, 1), получаем первый интеграл движения х=хз(г ) [c.208]

Для нахождения первого интеграла движениях =Х7 ( ") проинтегрируем дифференциальную форму объемного потока водной фазы = РсИ - 8(1х по контуру (0,0) - (хо(г),г) -> (Х4(г ), ) [c.211]

Для любой точки разрыва х,(/) выбирается контур, состоящий из прямолинейных X-характеристик, линий задания начальных и граничных условий, а также траектории движения разрыва дс,- до момента 1. Интеграл по области плоскости (дс, г), ограниченной этим контуром, от уравнения неразрывности, равен интегралу вдоль этого контура от массового потока и равен нулю. Из этого равенства выражается интеграл вдоль участка траектории л ,(г). Отсюда находится первый интеграл движения х = дс,(г). [c.216]

Когда имеется дополнительный интеграл движения, например угловой момент в цилиндрическом сосуде, энергетическая оболочка распадается на подоболочки, каждая из которых соответствует фиксированным значениям этих констант. Переходы между подоболочками невозможны. С другой стороны, эргодическая теория утверждает, что если система находится на определенной оболочке, ее движение покрывает всю оболочку при условии, что при определении этой оболочки были учтены все интегралы движения. [c.113]

Все решения уравнения (8.3) зависят от двух параметров — химического потенциала л, и интеграла движения Е. Параметр 1 можно выразить через среднюю концентрацию в сплаве с помощью уравнения сохранения числа атомов (7.7). В одномерном случае оно имеет вид [c.91]

Гамильтониан F не обязательно должен быть инвариантным ко всем преобразованиям, сохраняющим Н неизменным. Пусть Т — некоторый интеграл движения, тогда [c.156]

Отсюда следует, что в случае, когда интеграл движения Л не зависит от времени явным образом, должно выполняться условие [c.22]

Если множество элементов какой-либо макросистемы может быть разбито на непересекающиеся подмножества, удовлетворяющие условию (В.2.23), то говорят, что эта макросистема представлена в виде совокупности слабо взаимодействующих подсистем. Если при этом интеграл движения А рассматриваемой системы удовлетворяет условию [c.23]

Заметим, что уравнение (В.2.39) имеет тот же вид, что и уравнение (В.2.21). Следовательно, по определению интеграла движения, функция распределения / фазовых точек макросистем-копий рассматриваемой гамильтоновой макросистемы является интегралом движения, т. е. 1 е изменяется во времени. Это утверждение называется теоремой Лиувилля, а уравнение (В.2.39)—уравнением Лиувилля. [c.26]

Вычислим функцию распределения энергии групп осцилляторов АВ и D, к которому приводят одноквантовые процессы (3) (см. 10). Осцилляторы могут быть как гармоническими, так и ангармоническими. В соответствии с интересующей нас задачей предположим, что поступательное и вращательное движения осцилляторов молекул характеризуются общей температурой Т. В изучаемой квазиравновесной статистической системе, кроме энергии и массы, согласно (10.4), есть еще один интеграл движения N. = [c.46]

Процесс неизотермического вытеснения нефти горячей водой с учетом теплообмена с окружающей средой рассмотрен в [И] в предположении вьшолнения закона Ньютона для интенсивности теплообмена. Система записана в инвариантах Римана. Найдены законы движения фронтов вытеснения. Получены автомодельные асимптотики решения при конечном коэффициенте теплоотдачи. Получен первый интеграл движения фронтов вытеснения с использованием закона сохранения массы. Показано, что с увеличением темпа нагнетания теплоносителя нефтеотдача возрастает. Эта же задача рассмотрена в [36], где методом характеристик рассчитаны [c.181]

Из теоремы Лиувилля следует, что для равновесных систем при заданных и V плотность распределения вероятностей р зависит только от интегралов движения. Чтобы получить формулу (И 1.39), необходимо предположить, что р зависит от одного интеграла движения — энергии. То, что среди интегралов движения особую роль отводят энергии, является естественным. Прежде всего, обоснованно предположить, что р зависит от аддитивных интегралов движения, поскольку величина 1пр должна быть аддитивной для совокупности двух невзаимодействующих систем [c.55]

Эти интегралы должны подчиняться тому же критерию, что и общий интеграл движения либо они полностью симметричны, либо должны равняться нулю. [c.225]

Поэтому е П Р - интеграл движения. Далее можно показать, что =i [c.63]

Отметим, что трехмерные уравнения Навье - Стокса имеют еще один интеграл движения. В невязком пределе сохраняющейся величиной является спиральность, определяемая как [c.47]

Эти уравнения напоминают уравнения Гамильтона в классической динамике (см., например, [93—95]), а функция К(Х, Y)—интеграл движення, аналогичный энергии в механике он играет роль гамильтониана. [c.213]

Существует мнение, что поскольку в модели Лотка — Вольтерра имеется интеграл движения (14.30), флуктуации должны описываться в рамках равновесного ансамбля Гиббса [93—95]. Эта аналогия, как мы видим, не согласуется с результатами расчетов Николиса [128]. Малые неравновесные флуктуации по крайней мере Б простейших случаях правильно описываются формулой (8.6), представляющей собой обобщение формулы Эйнштейна на неравновесные ситуации, следовательно, они являются термодинамическими величинами. Для исследования флуктуаций большой амплитуды необходимо изучение специальных моделей. [c.224]

В качестве примера возьмем газ в цилиндрическом сосуде. Кроме энергии имеется еще один интеграл движения — угловой момент, направленный вдоль цилиндрической оси. Тогда бЛ -мерное фазовое пространство разбивается на подоболочки размерности бЛ — 2, Выде- [c.113]

В последнее время начато интенсивное исследование кооперативного поведения сложных систем нефизического происхождения, взаимодействие между элехментами которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Необходимо в связи с этим подчеркнуть, что предпринимаемые иногда попытки буквально распространить на эти системы выводы статистической физики безосновательны. Статистическая физика изучает поведение вполне определенного класса сложных систем, состоящих из частиц, которые взаимодействуют между собой по законам классической механики. Как известно, в процессе такого взаимодействия сохраняется интеграл движения — полная энергия системы. Наличие этой сохраняющейся величины играет принципиальную роль при построении как равновесной, так и неравновесной статистической физики. [c.10]

Энергия является важнейшим из интегралов движения. Существенным свойством этого интеграла движения является его аддитивность (величина аддитивна, если значение ее для системы в целом равно сумме значений для отдельных частей, пренебрежимо мало взаимодействующих между собой). Для замкнутой системы, помимо энергии, имеются шесть других аддитивных интегралов движения три составляющих полного количества движения системы (импульса), характеризующих поступательное движение системы как целого, и три составляющих полного момента количества движения (момента импульса), которые относятся к вращению системы как целого. Таким образом, для замкнутой системы всего имеется семь аддитивных интегралов движения. Число аддитивных интегралов движения системы во внешнем поле меньше. Если система консервативна (внешнее поле стационарно), энергия всегда есть интеграл движения. Составляющие же полного импульса и полного момента импульса при движении системы во внешнем поле изменяются. Лишь некогго-рые из составляющих, в зависимости от характера поля, могут быть постоянными. Так, если поле однородно (во всех точках поля на частицу действует одна и та же сила F) и направлено вдоль оси г, то сохраняются компоненты импульса вдоль осей хну. [c.35]

Из весьма общих соображений ясно, что квантовые числа остаются прежними. Так как при вектор-потенциале (4.16) зависимость от координат х и г отсутствует (в основном приближении по а гн), то имеются два интеграла движения—и В этом же приближетши сохраняется бесконечнократное вырождение по Рх- Мы будем предполагать, что классическое движение в рассматриваемом магнитном поле финитно. Это обеспечивает наличие дискретного квантового числа п. Магнитное поле, естественно, снимает двукратное вырождение по спину. Следовательно, имеется две ветви спектра (обозначим их индексами (+) и (-), пусть 8< >8Н) [c.161]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология