Лиувилля теорема

Объем фазового элемента в координатах пространства и импульсов, в котором исследуется распределение, остается постоянным. Это следует из теоремы Лиувилля, согласно которой изменение во времени объема элемента фазового пространства dQ dt=Q, а следовательно, и сами элементы остаются постоянными (они перемещаются практически, как несжимаемая жидкость). [c.293]

Учитывая уравнения (VI. 18) и (VI. 19), приходим к теореме Лиувилля (1838) [c.182]

Рис. VI.2. К теореме Лиувилля (Фазовая площадь для падающих материальных точек остается постоянной).

Согласно теореме Лиувилля все области фазового пространства, через которые может двигаться точка, изображающая развивающуюся систему, характеризуются одинаковой плотностью. Это положение, вытекающее, как было показано, из законов механики, следует дополнить для формулировки основных принципов статистической механики [c.183]

Для обоснования формы зависимости р(р,д) важное значение имеет теорема Лиувилля, которая, основываясь на уравнениях движения Гамильтона, устанавливает, что величина р должна зависеть только от интегралов движения, т. е. от величин, сохраняющих свое значение при изменении механического состояния изолированной системы. Из интегралов [c.85]

Таким образом, согласно теореме Лиувилля для термодинамически равновесной системы функция р (р, д) удовлетворяет условию [c.195]

Это означает, что плотность вероятности р (р, д) является постоянной величиной вдоль фазовых траекторий и не зависит от непрерывно изменяющихся значений импульсов и координат р и д,,, если последние изменяются в соответствии с уравнениями движения. Если в фазовом пространстве выделить некоторый объем ДГ, заключающий некоторое число фазовых точек, то через определенный период времени эти точки займут новые положения. Однако по теореме Лиувилля этим точкам будет отвечать объем ДГ, равный прежней величине ДГ. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя прн таком движении всегда происходит деформация объема ДГ. Сказанное совсем не означает, что плотность вероятности — величина постоянная [c.195]

Из вывода ясно, что теорему Лиувилля можно доказать именно для (р, q) пространства. Этим и вызван выбор координат р и q для определения фазы в молекулярной динамике. Если ограничиться энергией как важнейшим интегралом движения, то согласно теореме Лиувилля плотность вероятности р(р, q) можно искать в виде функции [c.196]

Теорема Лиувилля справедлива как для равновесных, так и для неравновесных ансамблей. Если ансамбль находится в статистическом [c.53]

Форма функциональной зависимости р (р, д), определяемая выражением (И 1.39), находится в согласии с выводами, которые следуют из теоремы Лиувилля для равновесного ансамбля. Однако только из теоремы Лиувилля выражение (П1.39) выведено быть не может в нем содержатся дополнительные допущения, к обсуждению которых мы и переходим. [c.55]

Из теоремы Лиувилля следует, что для равновесных систем при заданных N и V плотность распределения вероятностей зависит только от интегралов движения. При записи выражения (П1.39) допускается зависимость р (и соответственно р) только от одного интеграла движения — энергии. Выделение этого интеграла движения обусловливается следующими соображениями. Величина 1п р, как следует из сказанного в 1 настоящей глав 1, аддитивна для совокупности двух невзаимодействующих систем р = 1Рг и 1п р = 1п + 1л рц, где Р1 и и Ра — нормированные плотности распределения вероятностей соответственно для первой и второй систем. Обоснованно считать величину р зависящей именно от аддитивных интегралов движения. Из семи названных ранее аддитивных интегралов движения шесть характеризуют движение системы как целого, и при изучении внутреннего состояния системы их можно не рассматривать. Таким образом, остается зависимость р от энергии — важнейшей механической характеристики системы, и при заданных N и V получаем выражения (П1.39) и (П1.40). [c.55]

В соответствии с теоремой Лиувилля о неизменности фазового объема d k d x = d k d x ) при движении системы вдоль фазовых траекторий или учитывая сохранение числа состояний, можем записать df/dt = 0. [c.134]

Уравнение (2.8) называется уравнением Лиувилля. Выведем его снова, используя теорему об интегральных инвариантах Пуанкаре. Теорема утверждает, что при каноническом преобразо-вании д, р) -> д, р ) [c.57]

Рис. 2.3. Теорема Лиувилля в интерпретации Пуанкаре.

Согласно теореме Лиувилля, [c.63]

Существует простой путь, чтобы ввести в формализм энергетической поверхности свойства инвариантности, связанные с уравнением Лиувилля. Рассмотрим энергетический слой, порождаемый двумя поверхностями Н = ЕяН = Е+ б . В любой точке внутренней поверхности нормальное перемещение бг между двумя поверхностями удовлетворяет соотношению. ЬЕ = = I бг I I VII . Таким образом, если 62 — элемент поверхности в той же самой точке, то соответствующий элемент объема в энергетическом слое равен бг 62 . Но вектор ТЯ нормален к поверхности постоянной энергии, откуда заключаем, что данный объем пропорционален 62/] ТЯ ]. Следствием теоремы Лиувилля является сохранение этого фазового объема (говоря более точно, это интегральный инвариант Пуанкаре). [c.340]

Теорема Лиувилля утверждает, что [c.340]

Это сводится к предположению о существовании некоторой обобщенной теоремы Штурма—Лиувилля, и для выяснения, какие именно классы ф могут быть разложены, необходимо произвести дополнительные исследования. [c.23]

Заметим, что уравнение (В.2.39) имеет тот же вид, что и уравнение (В.2.21). Следовательно, по определению интеграла движения, функция распределения / фазовых точек макросистем-копий рассматриваемой гамильтоновой макросистемы является интегралом движения, т. е. 1 е изменяется во времени. Это утверждение называется теоремой Лиувилля, а уравнение (В.2.39)—уравнением Лиувилля. [c.26]

Покажем, что следствием теоремы Лиувилля является соотношение [c.27]

Согласно теореме Лиувилля, функция / не изменяется во времени, т. е., в частности, /( г, р , т) =/( /-< ), 0), где — значения обобщенных координат в начальный момент времени. Величина йг йр, как было показано выще, также не изменяется во времени в частности, должно выполняться соотнощение йг йр [c.28]

Отметим, что теорема Лиувилля оказывается справедливой не только для гамильтоновых, но и для ряда других макросистем [10, [c.28]

Теорема Лиувилля является непосредственным следствием динамических уравнений. В связи с этим и задача о нахождении функции распределения путем непосредственного решения уравнения Лиувилля (В.2.39) столь же сложна, как и интегрирование динамических уравнений. Тем не менее теорема Лиувилля играет исключительно важную роль в статистической физике. По существу все методы статистической физики в той или иной степени основаны на использовании теоремы Лиувилля. [c.29]

Согласно теореме Лиувилля, функция распределения / является интегралом движения, так что ее можно представить в виде некоторой функции от независимых интегралов движения (см. раздел В.2). Однако, как указывалось выше, число независимых интегралов движения гамильтоновой системы очень велико, поэтому вопрос, от каких именно независимых интегралов движения может зависеть функция распределения, остается открытым. Кроме того, необходимо выяснить, каким образом искомая функция / зависит от внешних параметров, характеризующих воздействие внешней среды на рассматриваемую макросистему. [c.48]

Эргоидная гипотеза совместно с теоремой Лиувилля приводит к основным положениям статистической механики, которые иногда принимают постулативно. Во-первых, это — постулат равной вероятности для изолированной системы все достижимые области фазового пространства имеют равные априорные вероятности. [c.184]

Первое из этих утверждений вытекает из того, что изображающая точка, движущаяся в согласии с теоремой Лиувилля в среде с постоянной плотностью р, в конце концов в согласии с эргоидной гипотезой проходит каждую точку в достижимых областях фазового пространства. Иначе говоря, для ансамбля, представлющего изолированную термодинамическую систему, т. е. ансамбля микроканонического, изображающие точки распределены равномерно по достижимому фазовому пространству. [c.184]

Теорема Лиувилля — результат приложения законов механики к описанию движения роя изображающих точек ансамбля изолированных систем или систем, находящихся в постоянном внешнем поле. Для каждой системы ансамбля число частиц N, энергия Е и все внешние параметры а ,. .., а, фиксированы. Обычно мы будем рассматривать только потенциал, создаваемый стенками сосуда, и учитывать только один внешний параметр — объем сосуда V. Таким образом, для системы ансамбля заданы параметры Е, N, V. При строгом условии Н (p,q) = Е = onst фазовые точки, изображающие состояния систем, движутся по гиперповерхности постоянной энергии, наблюдается распределение этих точек по поверхности. Чтобы иметь дело с объемным распределением, смягчим условие постоянства энергии и запишем его в виде [c.49]

Вывод уравнений (III.27), (III.30), (Ш-З ), выражающих сущность теоремы Лиувилля, основан на учете канонических уравнений движения при описании поведения ансамбля изолированных систем. Полученные соотнощения справедливы только для пространства обобщенных координат и импульсов (канонических переменных). Для пространства qi и qi аналогичные общие соотношения, в частности принцип сохранения фазового объема, выведены бытб не могут. Этим объясняется то предпочтение, которое в статистической физике оказывают каноническим переменным. [c.53]

Поскольку плотность фазовых точек связана с плотностью распределения вероятностей соотношением (III.8) Р = pL, где L = onst), то теорема Лиувилля определяет изменение р для произвольно выбранной системы ансамбля. Вместо уравнений (111.27), (111.28) и (III.30) можем записать [c.53]

Это противоречие явилось источником парадокса обратимости, выдвинутого первоначально в 1876 году Лошмидтом в связи с работой Больцмана. Больцману удалось получить кинетическое описание, которое согласовывалось с наблюдаемыми необра-тимыми явлениями в природе, но противоречило основным законам механики. Парадокс равным образом вытекает из обоих фактов утверждаюш ей необратимость макроскопических состояний М-шеоремы Больцмана (которая вскоре будет обсуждаться) и наблюдаемых необратимых явлений в природе. Парадокс заключается в следуюш ем каким образом обратимые законы микроскопической механики (законы Ньютона, уравнение Лиувилля) могут приводить к наблюдаемым (релаксация к равновесию) либо формулируемым (с -теорема Больцмана) необратимыми макроскопическим законам [c.172]

Отметим, между прочим, что выражение 2бхб бх1б 1 выглядит как величина, сохраняющаяся в силу теоремы Лиувилля. Это справедливо, если система состоит только из двух частиц. Тогда 2 — функция распределения для ансамбля двухчастичных систем, и из соответствующего уравнения Лиувилля следует, что. 26x616x1611 —инвариант действительного движения системы. Но, конечно, в данном случае это не имеет места, поскольку в нашем доказательстве распределение 2 относится к двум частицам в системе из N частиц. [c.202]

Линейные задачи на собственные значения (7), (8) нетривиальны, так как несамосопряженность оператора 0" = О с краевыми условиями (7) и несимметричность функции Грина не позволяют обратиться к обычным теоремам Штурма-Лиувилля, широко применяемым при анализе самосопряженных уравнений, например (2). [c.250]

Такое определение термодинамической вероятности становится возможным благодаря одной весьма важной теореме, лежащей в основе этого метода, а именно благодаря теореме Лиувилля, заключающейся в следующем. Если представить себе некоторый элемент объема в фазовом пространстве, содержащий стольк о изображающих точек, сколько систем находилось в данный момент времени в смежных состояниях, и следить за перемещением со временем этих точек по траекториям, изображающим развитие систем, то по законам механики оказывается, что объем, занятый этими точками в процессе движения, будет оставаться неизменным (несмотря на то, что системы, ранее находившиеся в смежных состояниях, со временем могут прийти в состояния, более или менее различные). [c.139]

О приближенном характере формулы (4.1.4) свидетельствует также то обстоятельство, что в общем случае величины Р а значит, и правая часть соотношения (4.1.4) не являются интегралами движения. В то же время, согласно известному следствию теоремы Лиувилля, функция распределения может быть выражена лишь в виде некоторой комбинации интегралов двилсения. [c.195]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология