Волновое движение, математическое описание

Как и ньютоновские уравнения движения, уравнение движения электрона не имеет вывода все они являются последовательными математическими описаниями определенных явлений природы. Однако для электрона окончательная форма уравнения довольно сложна. Эю обусловливается, по-видимому, тем, что в нем отражается сочетание ряда различных сторон явления. Окончательное уравнение должно отражать волновой характер электрона и вероятностный характер наших измерений. Это вынуждает нас воспользоваться волновым уравнением и попытаться придать ему корпускулярный характер с помощью соотношения де Бройля. Для учета волновых свойств электрона в нашем уравнении воспользуемся общим уравнением волнового движения в частных производных (2-7) или в более простой форме (2-7а). [c.48]

Отвлечемся временно от описания строения атомов, чтобы познакомиться с математическим описанием волнового движения. Рассмотрим волну, изображенную на рис. 1-1,а, которая с [c.17]

При математическом описании движения жидкостей возникают задачи двух типов. Задачи первого типа относятся главным образом к истечению несжимаемой жидкости из баков, прохождению ее по трубопроводам, через клапаны и другие устройства. Подобные гидравлические цепи наиболее просто и удобно описываются при помощи уравнения Бернулли и закона сплошности. Задачи второго типа возникают при сжимаемости жидкости или содержащих ее сосудов и трубопроводов. В данном случае возможны вибрация, образование звуковых волн и их распространение в жидкостях или трубопроводах. Задачи этого типа решают при помощи уравнений волновых движений. В результате оказывается возможным предсказать появление бегущих или стоячих волн в трубопроводах и технологических аппаратах. [c.11]

Очевидно, что из (7.12) должно следовать уравнение (7.1), т.е. из уравнения, определяющего поведение плотности вероятности в /-пространстве, должна быть получена система детерминистических уравнений для можно сделать следующим образом пусть/ (с/, t) есть узкий пик, расположенный в определенной точке /-пространства. Если шириной пика пренебречь, то можно рассматривать его положение в (/-пространстве как макроскопическое значение (/, . В то время как Р изменяется во времени согласно (7.12), пик движется в /-пространстве согласно (7.1). Заметим, что уравнение (7.12) линейно, а уравнение (7.1) может быть и нелинейным. В этом нет противоречия ситуация аналогична тому, как от линейного уравнения Шредингера осуществляется переход к нелинейным классическим уравнениям движения в приближении, в котором частицы достаточно тяжелы для того, чтобы пренебречь распространением волновой функции. Математический аппарат для такого описания был развит в работах [266, 350, 429, 436]. [c.177]

В отличие от упомянутых в предыдущем параграфе модельных, наглядных представлений о химической связи квантовомеханический подход есть способ математического описания состояния (энергетического, пространственного) электрона в той или иной-системе (атоме, молекуле, кристалле и т. п.). Естественно, что может существовать и на самом деле существует несколько математических методов решения одной и той же квантовомеханической задачи о движении электрона. Эти методы не очень строго называют теориями химической связи, хотя они тождественны в своей физической основе и опираются на один и тот же расчетный аппарат волновой механики при этом, однако, различаются исходные позиции и из-за вынужденной приближенности расчетов (как уже отмечалось в гл. 4, уравнение Шредингера точно решается в настоящее время только в случае одноэлектронной задачи) отличаются количественные результаты, получаемые при различных степенях приближения. Поэтому в зависимости от объекта рассмотрения (конкретной молекулы) или поставленной задачи используются разные более или менее равноправные методы. Здесь будут рассмотрены два из них метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО) первый благодаря его большей наглядности и связи с предыдущими теориями хид и-ческой связи, в частности с теорией Льюиса—Ленгмюра электронных пар, а второй — из-за лучшего описания строения и свойств, молекул при использовании его простейшей формы. [c.107]

Поскольку имеется волновое движение, для его математического описания должно существовать волновое уравнение. Такое уравнение известно для световых и звуковых волн, для волн на поверхности воды, для упругих волн и т. д. оно было найдено также для электронных волн (или, как их часто называют, волн де Бройля). Это уравнение получило название волнового-уравнения Шредингера. Некоторые математические вопросы, связанные с этим уравнением, мы обсудим в гл. 3, однако кое-что касающееся его интерпретации можно отметить уже сейчас. [c.27]

Поскольку имеется волновое движение, для его математического описания требуется волновое уравнение. Такое уравнение известно для световых и звуковых волн, для волн на поверхности воды и т. д. оно было найдено также и для электронных волн (волн де Бройля). Это уравнение получило название волнового уравнения Шредингера. Для того чтобы в нем разобраться, следует учитывать вероятностный характер наших знаний. В соответствии с принципом неопределенности мы никогда не можем точно установить, где находится частица. [c.17]

Математическое описание волнового движения [c.17]

Несмотря на то что мы пока не решили, каким образом выразить волновой характер электрона, но тем не менее уверены в том, что это должно быть сделано с помощью волнового уравнения. Это делает необходимым использование волновой функции для описания свойств электрона. Для известных форм волнового движения можно дать вполне разумную и полезную физическую интерпретацию волновой функции. Однако какой смысл будет иметь волновая функция частицы, сказать не так легко. Эрвин Шредингер блестяще продемонстрировал возможности волновой механики в этом направлении еще до того, как появилось приемлемое толкование волновой функции. Сейчас может показаться, что волновая функция имеет только математический смысл и никакой физической интерпретации в действительности и не требуется. Это как будто бы подтверждается наличием умозрительных трудностей, связанных с дуализмом волна — частица. Такая точка зрения должна в особенности импонировать тем, кто любую попытку дать физическое описание всем природным процессам считает помехой для развития науки. Однако, безусловно, следует поддер- [c.45]

Электроны можно взвесить и измерить их энергию, но движение их нельзя описать точно. Это ограничение есть следствие так называемого принципа неопределенности, который утверждает в математическом выражении, что нельзя одновременно знать положение электрона и его анергию. Вследствие малой величины массы электрона акт измерения нарушает нормальное его поведение. Принципы классической механики неприменимы к электрону. Его поведение описывается уравнениями волновой механики. Это описание принимает в расчет те свойства электрона, которые похожи на свойства светового луча. Уравнения волновой механики с успехом объясняют многие факты, связанные с поведением,электронов, такие, как тенденцию электронов образовывать пары, зависимость их энергии от относительного положения в атоме и молекуле. Только атом водорода полно и точно описан математически. Для исследования более сложных структур могут быть применены или приближенные математические методы, или чисто качественные соображения, основанные на аналогии с математическими приемами. Эти качественные приближения полезны для понимания строения и реакционной способности органических молекул. [c.100]

Это формула Борна, а приближенный способ вычисления волновой функции (94), основанной на теории возмущений, называется борновским приближением. ЭтЬ приближение используется в основном для описания рассеяния на малые углы. Однако часто оно оказывается вполне достаточным для качественного понимания процесса рассеяния с его помощью удобно делать первоначальные оценки, поскольку строгая квантовая теория рассеяния чрезвычайно сложна в математическом отношении. Теория возмущений, как мы видели, позволяет рассматривать рассеяние как квантовый переход в состояниях непрерывного спектра из начального состояния, соответствующего свободному движению [c.101]

Представления о структуре атома коренным образом изменились в течение первых двух десятилетий XX столетия в результате работ трех ученых — Нильса Бора, Вернера Гейзенберга и Эрвина Шредингера. Нильс Бор, работавший в Дании, ввел представление о том, что электроны вокруг ядра вращаются по круговым орбитам. Его теория хорошо объясняла строение водорода, однако встречалась с серьезными затруднениями в случае других атомов, поскольку электрон не движется по орбите, подобно твердому шарику. Вернер Гейзенберг в Германии высказал предположение о волновой природе движения электронов. Точного положения электронов определить нельзя, поскольку для такого определения положения электрона во времени и пространстве потребовались бы воздействия, которые приводили бы к возбуждению электрона и тем самым изменяли его положение. Это ограничение точности определения местоположения любого объекта известно как принцип неопределенности Гейзенберга. Эрвин Шредингер, также работавший в Германии, сформулировал волновые уравнения, описывающие движение электронов вокруг ядер. Этим устранялись жесткие ограничения, существовавшие для строго определенных круговых орбит Бора. Принималось, что электроны распределены по орбиталям или группам орбиталей. Строго говоря, термин орбиталь является математическим представлением для описания движения электрона ори вращении вокруг ядра. Для наглядности [c.267]

Квантовая механика допускает различные способы описания движения микроскопических частиц. Открытые независимо, они оказались эквивалентными. Однако в первое время (в первой четверти прошлого века) все были уверены, что используемые математические абстракции несовместимы. К сожалению, мы не сможем сопоставить механику Гейзенберга, оперировавшую некоммутирующими величинами, с волновой механикой, созданной Шредингером. Мы ограничимся только волновой механикой. [c.182]

Строгая постановка задачи требует знания точной функции потенциального поля молекулы. При этом необходимо принимать во внимание взаимное влияние всех ядер и электронов и движение их относительно друг друга в молекуле, учитывать изменения ку-лоновского поля под действием налетающего электрона и изменения волновой функции электронов в поле молекулы и некоторые другие факторы. Однако, несмотря на все трудности, математическое описание процесса рассеяния электронов газообразными молекулами можно получить, рассматривая упрощенную модель. [c.129]

В основу модели атома Шрёдингер положил математическое описание стоячей волны, включив в него соотношение де-Бройля. Такой метод дает стационарный характер движения электрона в пространстве, удовлетворяя требованиям принципа неопределенности. Решение получающегося уравнения оказывается возможным не при всех значениях энергии Е, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями энергии. Соответствующие им функции г) называются собственными функциями. Иногда для одного собственного значения имеется т различных собственных функций. Тогда говорят, что данный уровень энергии т-кратно вырожден. Дискретный характер собственных значений энергии правильно отражает квантовые свойства микросистем, являясь естественным результатом решения волнового уравнения. Ранее это важнейшее положение было введено в теорию Бора как постулат. [c.164]

Сформулируем основные требования к искомому уравнению. Прежде всего это волновое уравнение, и поэтому можно думать, что оно обладает по крайней мере некоторыми свойствами обычных волновых уравнений, описывающих, например, колебания струны скрипки, в данной книге рассматриваются в основном характеристики систем, не зависящие от времени. Будем исследовать допустимые уровни энергии атома или молекулы, игнорируя то обстоятельство, что вследствие испускания излучения или других процессов, меняющих энергию, уровень может существовать лишь короткое время. Таким образом, искомое уравнение не будет содержать времени. В частности, в него не будут входить производные по времени (в противоположность широкоизвестному математическому описанию волнового движения таких систем, как струна скрипки). Однако следует ожидать, что те величины, которые входили бы в классическое рассмотрение — кинетическая энергия частиц, отталкивание частиц с одноименными зарядами и притяжение с разноименными — должны [c.19]

Взятые вместе опыты по фотоэлектрическому эффекту и атомным спектрам, принцип неопределенности и обнаружение волновой природы электронов продемонстрировали полную непригодность классической механики для описания поведения электронов. Тогда был предложен совершенно новый способ рассмотрения таких частиц — квантовая, или волновая механика. В 1927 г. Шрёдингер постулировал уравнение (так называемое волновое уравнение), полностью описывающ,ее систему, для которой оно составлено. Уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных от ЗЛ/ переменных, которыми являются три координаты, определяющие положение каждой из N частиц, составляющих систему. Полная энергия системы в этом уравнении, так же как и ее потенциальная энергия, появляется как функция от электрических зарядов и координат положения. Само волновое уравнение и его решения (волновые функции системы) имеют такую же математическую форму, как уравнения и функции, описывающие обычное волновое движение. Возможные решения уравнения несут в себе всю мыслимую информацию о системе. Эти решения интерпретируются, как функции распределения вероятности. Уравнение Шредингера применимо к любой системе частиц, но здесь рассматривается только его использование для электронов. [c.21]

Тот факт, что системы малых частиц проявляют, по крайней мере при определенных условиях, волновые свойства, предполагает воз-люжность описания таких систем уравнениями, подобными тем, которые, как известно, описывают другие виды волнового движения, например волны, которые распространяются вдоль колеблющейся струны, или волновое движение, приписываемое электромагнитному излучению. Действительно, можно начать с волнового уравнения, соответствующего электромагнитным волнам, и путем определенных замен превратить его в уравнение, соответствующее нашему случаю хотя эти замены диктуются физическими причинами, они в основном произвольны и могут быть приняты только потому, что приводят к уравнению, которое, как показывает опыт, позволяет получить правильные решения физических задач. Поэтому следует принять волновое уравнение как постулат, так как у химиков основной интерес вызывает применение волнового уравнения к атомным и молекулярным системам, а не физические и математические соображения, которыми руководствовался Шредингер, впервые его предложивший. [c.19]

Пока не решено, каким образом выразить волновой характер электрона, но есть уверенность в том, что это должно быть сделано с помощью волнового уравнения. Последнее делает необходимым использование волновой функции для описания свойств электрона. Для известных форм волнового движения можно дать вполне разумную и полезную физическую интерпретацию волновой функции. Однако какой смысл будет иметь волновая функция частицы, сказать не так легко. Эрвин Шредингер блестяще продемонстрировал возможности волновой механики в этом направлении еще до того, как появилось приемлемое толкование волновой функции. Сейчас может показаться, что волновая функция имеет только математический смысл и никакой физической интерпретации в действительности и не требуется. Это как будто бы подтверждается наличием умозрительных трудностей, связанных с дуализмом волна — частица. Такая точка зрения должна в особенности импонировать тем, кто любую попытку дать физическое описание всем природным процессам считает помехой для развития науки. Однако, безусловно, следует поддержать попытки описания природных процессов в рамках концепций, имеющих определенную связь с нашим физическим миром. Макс Борн, применив вероятностные идеи принципа неопределенности, дал общепринятую в настоящее время трактовку волновой функции 4. По Борну, волновая функция частицы — это не амплитудная функция, в обычном смысле используемая для описания волн, а, скорее, мера вероятности события. Когда волновая амплитуда велика, то велика и вероятность события, малая амплитуда отвечает столь же малой вероятности события. В этой интерпретации мы до некоторей степени упустили из виду физический мир, ибо это не то волновое движение, к которому мы привыкли. Однако такая концепция согласуется с приемлемой трактовкой квантовомеханических положений о движении электромагнитных волн. [c.44]

Развивавшаяся на базе этих представлений волновая механика подходит к вопросу о строении атомов с точки зрения характерного для нее принципа неоп--ре делен ности (Гейзенберг, 1925 г.). Согласно последнему характер движения электрона принципиально не может быть точно фиксирован. Модельное представление об атоме с его определенными орбитами электронов должно быть поэтому заменено описанием, при котором оценивается лишь вероятность нахождения электрона в том или ином месте пространства. Сама оценка этой вероятности производится хотя и с учетом структурных данных, но чисто математическим путем, при помощи т. н. волнового уравнения (Шредингёр, 1926 г.). Последнее имеет характер постулата, истинность которого (в отличие от теоремы) устанавливается не выводом или прямым доказательством, а соответствием вытекающих иа него следствий данным опыта. [c.85]

Развившаяся а базе этих представлений во.шовая механика подходит к вопросу строения атомов с точки зрения характерного для нее принципа неопределенности (Гейзенберг, 1925 г.). Согласно последнему, характер движения электрона приинппнально ие может быть точно фиксирован. Модельное представление об атС1, е, с его определенными орбитами электронов, должно быть поэтому заменено описанием, при котором оценивается лишь вероятность нахождения электрона в том или ином месте пространства. Сама оценка этой вероятности производится хотя и на основании структурных данных, но чисто математическим путем, при помощи так называемого волнового уравнения (Шредингер, 1926 г.). [c.92]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология