Координаты и импульсы канонические

Обобщенные координаты и обобщенные импульсы микрообъектов называются динамическими переменными. Например> для систем, введенных в предыдущем параграфе, динамическими переменными служат их координаты а и импульсы р . Как указывалось в начале 1, для вычисления средних значений функций от динамических переменных следует пользоваться плотностями вероятности осуществления динамических состояний. Метод ансамбля Гиббса в принципе позволяет находить плотности вероятности динамических состояний термодинамически равновесной макроскопической системы. В дальнейшем мы будем пользоваться только каноническим распределением Гиббса, определенным формулой (1.2), Как видно из указанной формулы, функция р = ехр(—рЯ) симметрична относительно перестановок аргументов (дх,..., qN), если такой симметрией обладает функция Гамильтона Я. При взаимодействии парного типа функция Гамильтона задается формулой (1.5) и, очевидно, симметрична. Для определения средних значений функций, зависящих от обобщенных координат и независящих от,импульсов, следует пользоваться функцией распределения [c.31]

Рис. 142. Фазовые орбиты линейного осциллятора р, <7 — канонические сопряженные импульс н координата

Оператор импульса, например переводит функцию Ф в ее частную производную по координате д , канонически сопряженной этому импульсу, и одновременно умножает на - й, где г -мнимая единица, а й - фундаментальная постоянная, носящая название постоянной Планка (по имени выдающегося немецкого физика Макса Планка) и равная 1,0545887 Дж-с. [c.20]

Такой гамильтониан не дает верных уравнений движения. Совокупность координат и импульсов, которые являются динамически согласованными и приводят к физически реализуемым выводам из уравнений Гамильтона, называются каноническими координатами и импульсами. Преобразование qi- qi = qi q, . . [c.28]

Такое представление оператора отчетливо показывает, что его можно рассматривать как оператор импульса, канонически сопряженного координате ф. [c.93]

Функция распределения р ( р, , д, ), где / , , д, — множества всех обобщенных координат и импульсов, канонически сопряженных в смысле Лагранжа или Гамильтона, может быть представлена в виде (1.2). [c.55]

Для получения из классической функции Гамильтона квантовомеханического оператора полной энергии частицы (гамильтониана) нужно канонические переменные заменить на операторы х х, у у, и рх-> рх и т. д. Таким образом, для построения нужного оператора С надо знать прежде всего операторы координат и проекций импульса. [c.41]

Набор обобщенных импульсов для системы из N молекул включает переменные ри. .., рр (сокращенно р). Для полного описания механического состояния системы требуется задать всего 2F переменных F обобщенных координат и F обобщенных импульсов 2F == 2Nf-, в случае системы из N атомов 2F = 6N). Переменные р, q называют каноническими переменными или переменными Гамильтона. [c.74]

Координатам поля 1]) и соответствуют канонически сопряженные импульсы [c.388]

В теории динамических систем обобщенные импульсы р1, канонически сопряженные обобщенным координатам фг, вводятся с номощью соотношения [c.57]

Пользуясь большим каноническим распределением, можно вычислить любое свойство G системы в состоянии равновесия (при постоянных Т, V, fi), если известна зависимость этого свойства от координат и импульсов. Расчет производится по формуле i=k [c.53]

Преобразование, в котором новые координаты суть функции одних только старых координат, называется точечным. Частым заблуждением является отождествление всех точечных преобразований с каноническими. После задания преобразования координат только специальный выбор новых импульсов согласно уравнению (1.546) делает преобразование каноническим. Если, например, преобразование координат (1.38а) подставить в (1.546),. то это дает [c.30]

Состояние электронов в металле будем характеризовать функциями распределения электронов fs p,r,t), имеющими смысл плотности электронов s-й зоны 2fj 2nb) )dpxdpydp2.dxdydz — число электронов s-й зоны в элементе фазового объема ) dpxdpydpzdxdydz). Здесь г — координата, t — время, ар — кинематический импульс. В отсутствие магнитного поля кинематический импульс р совпадает с импульсом, канонически сопряженным координате " ) Р. Если же магнитное поле отлично от нуля,то [c.192]

Остается обсудить два важных вопроса, касающихся канонических преобразований. Первый относится к преобразованию координат и импульсов, дающему действительное перемещение, которое точка, изображающая систему, совершает в фазовом пространстве за интервал времени от t щ) t Т. Мы увидим, чта таким — самым важным из всех преобразований — является каноническое. Второй вопрос связан с концепцией канонических инвариантов. Канонические инварианты суть динамические величины, инвариантные по отношению к каноническим преобразованиям. Примером канонического инварианта служит функция [А, В], где А и В — две любые динамические функции. Это можно расписать в явном виде. Если (y, р) (g, р ), то [c.31]

Теория переменных действие — угол основана на более общих представлениях, называемых теорией Гамильтона — Якоби. В этой теории стремятся найти каноническое преобразование, которое приводит к гамильтониану, циклическому по всем новым координатам. Преимущество такого преобразования огромно. Если все новые координаты циклические, то все новые импульсы — константы движения. С другой стороны, новый гамильтониан Н р) является функцией только новых постоянных импульсов. Поэтому, продифференцировав его по этим импульсам, полу- [c.34]

Таким образом, решение данной динамической задачи заключается в нахождении такого канонического преобразования (т. е. производящей функции), чтобы новые импульсы были константами движения. А эта последняя задача тесно связана с непосредственной проблемой интегрирования уравнений движения, что является в свою очередь не более чем формальной операцией отображения начальных координат и импульсов на их величины в момент времени t. Действительно, для всех динамических задач, кроме особого класса, теория Гамильтона — Якоби более важна своей близкой причастностью к нейтральной области между классической динамикой и квантовой механикой, чем своими приложениями. [c.34]

N — число степеней свободы, б — произвольный оператор, р — канонический импульс, q — каноническая координата, [c.118]

Р —импульс центра масс р — канонический импульс р —импульс (х-частицы, р —импульс после столкновения, р —импульс в системе координат ЦМ, [c.265]

Другой метод связан с введением понятия внешних параметров. Внешними являются параметры, которые входят в гамильтониан системы иначе, чем канонические координаты и импульсы. Примером может служить объем V (либо длина Ь ребра грани) интенсивности приложенных извне полей. В обш ем случае мы можем написать [c.326]

Чтобы получить форму гамильтониана при наличии электромагнитного поля, мы должны обратиться к аксиоматическим основам квантовой механики и найти совокупность канонически сопряженных импульсов и координат в соответствующей классической задаче. Для построения классических обобщенных импульсов и координат нам следует найти функцию Лагранжа L, описывающую движение классических заряженных частиц, движущихся в заданном классическом электромагнитном поле. Сопряженные импульсы для координат / , надо определять тогда по формуле [c.258]

Заметим, что принцип равной вероятности элементов фазового объема с заданной энергией выполняется лищь для пространства обобщенных координат и импульсов, (канонических переменных), чем и объясняется рассмотрение в статистической термодинамике именно этого пространства, а не пространства обобщенных координат и скоростей. [c.86]

Вывод уравнений (III.27), (III.30), (Ш-З ), выражающих сущность теоремы Лиувилля, основан на учете канонических уравнений движения при описании поведения ансамбля изолированных систем. Полученные соотнощения справедливы только для пространства обобщенных координат и импульсов (канонических переменных). Для пространства qi и qi аналогичные общие соотношения, в частности принцип сохранения фазового объема, выведены бытб не могут. Этим объясняется то предпочтение, которое в статистической физике оказывают каноническим переменным. [c.53]

Классическое выражение для данной физической величины записывают в канонической или (другое название) гамильтоновой форме, где переменными служат координаты и импульсы. Например, выраженная таким образом полная энергия материальной точки, движущейся в потенциальном поле и х,у, г, I),— функция Гамильтана — имеет вид [c.41]

Постулат о равновесной функции распределения. Равновесная функция распределения в фазовом пространстве является одновременно и наиболее пероятной. Она осуществляется наибольшим числом способов, совместимым с заданными условиями определения ансамбля. Практическое использование этого постулата см. 3. Важнейшим общим свойством плотности вероятности в фазовом пространстве р(р, д) оказалась ее полная нечувствительность для равновесных систем к изменениям импульсов и координат отдельных молекул при движении системы по фазовой траектории. Общие свойства функции р(р, д) оказались достаточно простыми, что и позволило разработать статистический метод определения термодинамических величин для равновесных систем. Основное внимание мы уделим каноническому ансамблю Гиббса и канонической функции распределения р(р,д). Для нахождения вида функции р(р, д) необходимо использовать теорему Лиувилля, описывающую системы, подчиняющиеся уравнениям классической механики. [c.194]

Уравнения движения Гамильтона, которые называют также каноническими уравнениями движения, — дифференциальные уравне- ния первого порядка число их равно 2Р — удвоенному числу степеней свободы системы. Интегрирование системы уравнений дает возможность найти зависимость обобщенных импульсов и Координат от времени, если функция Н (р, д, 1) для системы задана. При интегрирова- [c.31]

Расчет термодинамических функций на основе канонического рас" пределения, таким образом, состоит в следующем по (III.Ill) рассчи тывают статистический интеграл системы — функцию Z (Т, V, N ,. .. . .., Л/к) по (III. 120) находят свободную энергию Гельмгольца как функцию переменных Т, V, N ,. .., N к, пользуясь термодинамическими соотнопшниями, рассчитывают другие функции [формулы (III.143)—(III.148)]. Для расчета статистического интеграла Z необходимо знать функцию Гамильтона системы. Именно через функцию Гамильтона учитываются молекулярные характеристики системы, особенности движения и взаимодействия частиц. Так как зависимость функции ехр (— HIkT) от координат и импульсов для различных систем, вообще говоря, различна, то различны и результаты интегрирования. Функция Z (Т, V, Л/j,. .., Nk) отражает индивидуальные свойства системы. [c.86]

В системе с F степенями свободы соотношение неопределенностей выполняется для каждой из F пар канонически сопряженных координат и импульсов. Приходится отказаться от классического представления о том, что все динамичесие переменные системы (координаты и импульсы, а также функции этих величин)могут быть одновременно определены с любой желаемой степенью точности. Нельзя состоянию системы в данный момент времени сопоставить точку в фазовом пространстве, как это делается в классической механике можно указать лишь конечный интервал значений импульсов и координат. [c.147]

С помощью канонического распределения вероятности в принципе можно вычислить статистическое среднее любой функции 0 д,р), характеризующей состояние термодинамического равно-песия, если зависимость этой функции от координат и импульсов известна в явном виде. Статистическое среднее функции (9, Р) определяется по уравнению [c.48]

Поэтому для большинства кристаллов квантование колебаний можно производить на некотором завершающем этапе, когда уже найден закон дисперсии колебаний и тем самым определены частоты гаркмонических осцилляторов, на которые раскладывается поле колебаний. В частности, за исходный пункт квантования можно принять функцию Гамильтона (1.56) или (1.57), записанную через канонически сопряженные обобщенные координаты X (к) и импульсы (к). Поскольку процедура квантования мало связана с векторным характером смещений и отвечающих им импульсов, то мы изложим ее на скалярной модели, исходя из функции Гамильтона [c.119]

Прежде всего остановимся на выводе формулы (1.4.34) для функции распределения канонического ансамбля. Рассмотрим некоторую изолированную гамильтонову макросистему. Выделим в ней некоторую закрытую подсистему, наборы обобщенных координат и импульсов которой будем обоавачал ь символами и р. Наборы обобщенных координат и импульсов оставшейся части макросистемы (эту часть будем называть термостатом) обозначим, соответственно, символами к и Р. Все величины, относящиеся к термостату, будем помеадть индексом е, а величины, относящиеся к закрытой подсистеме — индексом (. Предположим, что термостат и подсистема являются слабо взаимодействующими, т. е. гами71Ьто-ниан Я макросистемы может быть представлен в виде суммы гамильтонианов термостата и подсистемы [c.358]

Уравнения движения Гамильтона, которые называют также каноническими уравнениями движения, — дифференциальные уравнения первого порядка число их равно 2F — удвоенному числу стейеней свободы системы. Интегрирование системы уравнений дает возмож ность найти зависимость обобщенных импульсов и координат от времени, если функция Н р, q, t) для системы задана. При интегрировании появляются 2F постоянных интегрирования с ,. ..,, так что получаем общие зависимости [c.33]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология