Слабый принцип максимума

Из уравнения (Х,14) вытекают условия слабого принципа максимума [c.211]

Условие (Х,18) в данной задаче называют также сильным принципом максимума, чтобы подчеркнуть его отличие от слабого принципа максимума (Х,16). [c.212]

Следует иметь в виду, что описанный алгоритм в ряде случаев может приводить к расходящемуся итерационному процессу. Необходимо также отметить, что алгоритм рассчитан, в первую очередь, на задачи с двумерными распределенными управлениями с применением сильного принципа максимума (Х,18) и одномерными и сосредоточенными управлениями тогда, когда уравнения слабого принципа максимума (Х,16), (Х,17) имеют единственное решение. При наличии нескольких решений вычислительный процесс ветвится, что иногда может потребовать большого перебора различных вариантов [3,. с. 249-250]. [c.213]

Для допустимых вариаций независимых переменных (относительно определения допустимых вариаций см. стр. 211) необходимое условие оптимальности (слабый принцип максимума) будет [c.221]

Анализируя доказательство слабого принципа максимума (Х,51), (Х,52), легко видеть, что уравнение (Х,52) остается в силе, а формула (Х,51) в данном сл -чае должна быть заменена уравнением [c.223]

Сильный и слабый принципы максимума........... [c.7]

СИЛЬНЫЙ И СЛАБЫЙ ПРИНЦИПЫ МАКСИМУМА [c.228]

В литературе иногда высказывается следующее утверждение слабый принцип максимума означает, что точка является либо стационарной точкой для функции Н% (и ) (если точка лежит внутри области либо точкой локального максимума (если [c.232]

Замечание 1. Принцип максимума для сложных схем ранее был получен в книге однако в этой книге имеются некоторые существенные неточности. Так, например, дается вывод слабого, а не сильного принципа максимума для распределенных управлений, что отмечают и сами авторы. При формулировке слабого принципа максимума для сосредоточенных управлений утверждается, что [c.233]

Замечание 2, Выше было показано, что для дискретных управлений в общем случае характерен слабый принцип максимума, не сводящийся к сильному. Имеются, однако, классы случаев, когда и для дискретных управлений выполняется условие глобального принципа максимума, и поиски возможного расширения этих классов оформились в настоящее время в целое направление в исследованиях, Применительно к простой последовательности дискретных блоков этп случаи приведены в работах . [c.234]

СРАВНЕНИЕ СИЛЬНОГО И СЛАБОГО ПРИНЦИПОВ МАКСИМУМА [c.249]

Формула (IX,64) выражает слабый принцип максимума для сосредоточенных управлений [ср. формулу (УП1,15)]. [c.272]

Таким образом, в случае оптимальной задачи (1Х,1) —(1Х,3) выполняется сильный принцип максимума для двумерных и одномерных распределенных управлений (IX,47), (1Х,49), (IX,50) и слабый принцип максимума для сосредоточенных управлений (IX,64). [c.272]

Вторая особенность связана с тем, что в блоках с сосредоточенными параметрами имеет место слабый принцип максимума, при наличии у гамильтониана нескольких экстремумов возникают дополнительные трудности, связанные с выбором одной из этих экстремальных точек. В обш,ем случае здесь возникает комбинаторная задача перебора всех подозрительных на оптимум точек, так как слабый принцип максимума не дает никакой информации о том, какая из экстремальных точек гамильтониана должна быть выбрана. Можно отметить два ряда работ, в которых рассматривается эта проблема. В одних работах делались попытки найти более сильные необходимые условия, уменьшающие количество подлежащи просмотру подозрительных точек (см., например, [28 ]). В других работах делались попытки точно или приближенно свести задачу дискретного принципа максимума к задаче принципа максимума Понтрягина, условия которого позволяют выделить единственную экстремальную точку (а именно точку глобального максимума) у гамильтониана [29 ] (см. также [4 ]). [c.375]

Соотношения (VIII,15) будем называть условием оптимальности. j-иравлений, или слабым принципом максимума. [c.219]

Формула (VIII,55) выражает сильный принцип максимума для блока с распределенными управ.лениями. Таким образом, в сл чае сложной схемы общего вида имеются слабый принцип максимума (VIII,15) для сосредоточенных управлений и сильный принцип максимума для распределенных управлений в блоках с р. п. [c.228]

Приведенный пример показывает, что условие слабого принципа максимума для дискретных управлений качественно отличается от условия сильного принципа макспм5чма для распределенных управлений. [c.230]

Рассмотрим некоторые варианты слабого принципа максимума. Стационарная точка. Пусть лежит внутри множества (рис, 54). В этом случае, как отмечалось выше, выполняются соотношения (VIII,1), которые характеризуют как стационарную точку. [c.230]

Ранее слабый принцип максимума (VIII,15) был доказан для направлений, допустимых в узком смысле. Пусть г проекция точки на луч L (рис. 56). Тогда в силу стремления луча Lg к лучу является величиной более высокого по- [c.230]

Заметим, что условие локального максимума (VIII, 60) здесь пе выполняется, так как для допустимого направления 1р, лежащего на прямой Р, производная dHjdlp = 0. Точки, удовлетворяющие слабому принципу максимума, но не являющиеся ни стационарными, ни точкамп локального максимума, условимся называть особыми. [c.233]

Условие слабого принципа максимума имеет вид (VIII,15) [в аналитической форме (VIII,82) при условии, что выполняются равенства (Vm,79)j. [c.243]

Решение уравнений принципа максимума — сильного (VIII,55) для блоков с р. п. и слабого (VIII,15) [в аналитической форме (VIII,82)] для блока с с. п.— неотъемлемая часть каждого из описанных выше численных методов. При этом с точки зрения практики численного решения оптимальных задач сильный и слабый принципы максимума оказываются далеко не эквивалентными друг другу. [c.249]

Рассмотрим теперь задачу определения оптимальных управлений в дискретной системе (VIII.100). Условию слабого принципа максимума заведомо удовлетворяют все стационарные точки и все точки локального максимума. [c.249]

Пусть для к го блока функция (и) имеет вид, представленный на рис. 65. Слабому принципу максимума удовлетворяют следующие точки uW, u k) (координаты стационарных точек, являющихся локальными максимумами), (координата точки перегиба), (координата локального максимума, лежащего на границе допустимой области), Ц >, (координаты стационарных точек, являющихся локальными минимумами, лежащими внутри допустимой области). Если бы для каждого к функция (и) имела бы только одну подозрительную точку (т. е. точку, удовлетворяющую условиям слабого принципа максимума), то единственным осложняющим моментом для дискретной системы была бы необходимость одновременного решения условий слабого принципа максимума и уравнений преобразования для блоков сопряженного процесса [(VIII,103) и (VIII,104)]. В обоих случаях можно было бы воспользоваться методом Вольфа, методом квазилинеаризации или методом Ньютона. Однако если функция (и) имеет при некоторых к несколько подозрительных точек, то процедура значительно затрудняется. Действительно, пусть мы с помощью какого-нибудь метода, например метода Ньютопа, решаем краевую задачу и у нас при каждом к функция Я (и) имеет т подозрительных точек. Тогда для JV блоков будем иметь m " вариантов выбора управлений и для каждого из вариантов должна быть решена краевая задача. Если числа т ж N невелики, то можно воспользоваться простым пере-бором. Однако для больших т ш. N простой перебор всех вариантов может привести к катастрофически большому количеству операций. [c.250]

Изложенный подход к решению задач оптимизации сложных схем с сосредоточенными управлениями (а также схем с р. п., в которых возможно появление особых управлений), основанный на идеях регуляризации позволяет избежать ветвления вычислительного процесса при решенни краевой задачи, неизбежного при использовании слабого принципа максимума в задачах с многоэкстремальнылш функциями Щ (и), и расширяет тем самым область применения методов второго порядка при решении задач оптимизации сложных схем. [c.255]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология