Метод Ньютона-Рафсона

По-видимому, наиболее универсальным и удобным для применения ЭВМ является модифицированный метод Ньютона — Рафсона [123], сочетающий преимущества метода касательных и способа логарифмической линеаризации нелинейной части системы. В [26 ] предложена иная организация расчета, состоящая в том, что решение ищется не относительно самих неизвестных, а относительно поправок к ним До = которые и прини- [c.153]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

Этот метод, известный как метод Ньютона — Рафсона [8], л [c.215]

Явная разностная схема при неустойчивости матрицы Гесса. В случае неположительно определенной или вырожденной квадратичной формы применение метода Ньютона — Рафсона невозможно. Для того чтобы это оказалось возможным в качестве М обычно используют такую матрицу, которая 1) являясь положительно определенной, обеспечивает уменьшение на траектории системы (3.161) 2) будучи неким аналогом матрицы обеспечивает хорошую сходимость минимизации. Рекомендуется [93, 101] опреде-р [c.216]

Подмножество Л/-лексем состоит пз Е-лексем, являющихся характеристиками С-лексем. К таким характеристикам относятся используемые методы, особенности действия, признаки действия. В предложении М-лексемы могут играть роль как обстоятельств, так и дополнений. Например метод Ньютона—Рафсона , приближенно , на печать . [c.262]

Из прямых методов достаточно часто применяют следующий комплекс приемов, получивший название метода Ньютона — Рафсона. Пусть заданы начальные приближения дгю,. ..,л ро, найдем улучшающие их поправки Ль...,/1р. Значит справедливо [c.107]

Метод Ньютона — Рафсона хорошо сходится во многих случаях, легко программируется он часто входит в стандартное математическое обеспечение современных ЭВМ. Но объем вычислений при использовании этого метода большой приходится вычислять в нескольких точках функции (для расчета каждой из них в исходной точке и численного расчета производных), а кроме этого требуется решение системы линейных уравнений. [c.107]

Известно, что метод Ньютона — Рафсона позволяет найти минимум квадратичной функции Ф(0) за один шаг 0 0О = A(0v)B (0v), где 5(0v) — градиент функции Ф(0). Изменения в градиенте связаны с изменением 0 через матрицу А = А Р , где = 5(0 ) — 5(0v- ), = = 0у — 0v-l Очевидно, что [c.217]

В случае нелинейной системы дифференциальных уравнений для решения уравнения (7.9) можно воспользоваться методом Ньютона—Рафсона, (см. формулу (7.7)). Для этого найдем матрицу частных производных дО (Х")/ЗХ [c.272]

Распространенным способом решения системы нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона — Рафсона, в основе которого используется линеаризация исходной системы в окрестности некоторого начального приближения с последующим уточнением решения. Линеаризация производится разложением функции в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно. [c.301]

Рассмотрим алгоритм решения системы уравнения (7.116) по методу Ньютона— Рафсона. Представим систему уравнений (7.116) в виде [c.311]

Алгоритм основан на решении системы уравнений материального баланса с блочной матрицей коэффициентов методом Ньютона— Рафсона при аналитическом определении частных производных. [c.355]

Система нелинейных уравнений модели решается методом Ньютона—Рафсона [c.163]

Аналогично, коэффициенты ац и йа определяются по точной модели в необходимом диапазоне температур. Легко видеть, что при использовании метода Ньютона—Рафсона для вычисления равновесных составов и температуры частные производные можно найти аналитически. [c.430]

В своих работах Рафсон цитирует Ньютона, который использует аналогичный метод для решения уравнения Кеплера. Это и есть метод Ньютона - Рафсона, который часто называют просто методом Ньютона, поскольку мы не знаем, кто первый применил метод к решению систем нелинейных уравнений. [c.262]

Метод Ньютона—Рафсона. Если сохранить в разложении (6.13) член [c.164]

Решение полученной системы уравнений осуществляется методом Ньютона— Рафсона. На рис. 4.25 приведены расчетные кривые утилизации субстрата и роста биомассы при значениях Ре = 3,0 5,0 9,0 для следуюш,их условий вх = = 240 г/м А вх=2000 г/м f ,m = 0,38 ч , а=1,97 г/г Я =0,005. Как следует из графика, с увеличением величины от 3,0 до 9,0 заданная глубина очистки достигается раньше. [c.232]

Метод Ньютона — Рафсона является распространением метода касательных на систему уравнений с несколькими переменными, например, (х, г/) = О ш (х, у) = 0. Последующие значения аргументов и у + определяют, решая следующую систему уравнений [c.155]

Корни уравнения (3.25) находятся методом Ньютона-Рафсона [c.198]

Математическое описание модели динамики работы атмосферных блоков основано на известной программе расчёта сложных ректификационных колонн модифицированным методом релаксации, в котором расчёт ступени контакта выполняется по уравнениям однократного испарения методом Ньютона-Рафсона. Выбор метода расчёта связан с тем, что этот метод позволяет рассчитывать ректификационные колонны, как по теоретическим ступеням контакта, так и по реальным контактным устройствам с учётом их тепломассообменной эффективности. [c.45]

Для решения системы нелине11яых уравнений используют метод Ньютона-Рафсона [26], который предусматртает 1фи вычислении Н на каждой я-ой итерации расчёт 3 и(1 ) , из последнего усло- [c.22]

При построении модели процесса ректификации для описания парожидкостного равновесия использовали зависимости первого и второго порядка (равномерное распределение и производная от кубического сплайна). Совместно с матричным алгоритмом решения системы уравнения материального баланса алгоритм расчета ректификационной колонны обладает достаточным быстродействием, для систем с рециклическими потоками использовали метод Ньютона-Рафсона. [c.101]

Метод Ньютона-Рафсона для )ешения и нелинейных уравнений f(X)=0, /=(/ ,/j,. ..,У ) - вектор-функция невязок, i =(x/, дг Ля) - вектор независимых переменных, приведён в виде алгоритма на рис.3.5.,а метод Бройдена - на рис.3.6. [c.58]

Метод Ньютона — Рафсона состоит в разложении каждого уравнения системы (3.53) в ряд Тейлора по степеням неизвестных величин и пренебрежении в разложении членами более высокого порядка, чем первый. Общее рекуррентное соотношение для этого метода имеет вид С(п ) =с( "-Ч-1(с( "-1))-1/(с( "-1)), I( ( -l)) = /i/5 ft , ( l). [c.152]

Неравновесная задача рассматривается в разд. 3.4, Что же касается равновесных и стационарных процессов (режимы 1 и 3), то практические детали реализации решения алгебраической системы (3.70) и задание конкретной кинетической модели как раз и определяют -все разнообразие известных подходов к анализу предельных явлений, позволяя в частных случаях получать различные асимптотики, поддающиеся аналитическому рассмотрению. Так, для случая 3 система (3.70) для механизма окисления водорода вида Г а = 1+—4+, 12, 14-, 15, 18+, 20+, 9- (М = = Нз, Оз), 11+(М = На, Оа) — см. табл. 2) впервые была рассмотрена в [57]. Подробный анализ этой модели, как и некоторых других, проведен в гл. 4. Заметим, что численное решение для случаев 1 и 3 можно реализовать любым способом, причем наиболее удобен пз них модифицированный метод Ньютона — Рафсона. [c.161]

Рассмотрим численное решение системы уравнений, описывающих гидро-иэомернзацию бензола (см. пример выше), методом Ньютона — Рафсона. Пусть/С 1=5,/С 2 = 1, /Пос Нв = 1. ОТоН2 = 3, тос Ни="гоС5Н9СНз = 0. 2/п/о=4. Тогда нужно определить и Ха из системы [c.108]

Применение поискового градиентного метода (Ньютона — Рафсона) для этой системы дает тн о Л, /Исо = 0,3 гпсн = = 0,45 meo2 = 0,25 гпн = 1,9. [c.324]

Принципиальная возможность расчета и перспективность использования азеотропно-экстрактивной ректификации была показана в работе [481, где предложена и схема алгоритма, основанная на методике релаксации. Однако основная задача состоит в разработке эффективной процедуры решения системы уравнений материального баланса, поскольку, обладая устойчивой сходимостью, метод релаксации весьма времеемок. Позднее был предложен комбинированный метод, основанный на методах релаксации и трехдиагональной матрицы [791. Другим подходом является использование метода Ньютона—Рафсона для решения системы уравнений материального баланса [801. И все же в виду сложности задачи основное внимание до сих пор уделяется разработке алгоритмов сведения материального баланса при отборе одной из фаз со ступени разделения или расслаивании целевых продуктов в гравитационных декантаторах. Но этим не исчерпываются особенности ректификации с расслаиванием жидких фаз. Большие возможности этого процесса заключаются в перераспределении потоков отдельных фаз внутри колонны на специальных устройствах [811 для создания необходимого температурного режима, а также изменения условий протекания процесса. [c.355]

Таким образом, математическое описание азеотропдой и. экстрактивной ректификаций с расслаиванием по жидкой фазе включает Л (ЗА + 4) уравнений (7.241), (7.242), (7.116) — (7.118) и М 6к + 4) неизвестных переменных ЪНк мольных долей компонентов в паре и жидких фазах, ЪЫ значений потоков пара и жидкости, а также N значений температуры по высоте колонны. Система уравнений математического описания является нелинейной и для ее решения воспользуемся методом Ньютона—Рафсона. С этой целью запишем уравнения (7.241) в виде [c.357]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Практически решение систем уравнений (1.32) и (1.37) возможни только численными методами на 3BU. Применимы итерационные методы, метод Ньютона - Рафсона и др. Универсальная методика решения системы нелинейных алгебраических уравнений заклвчается в следующем.Система линеаризуется путем логари рования уравнений. Неизвестными становятся lnP и уравнения разлагаются в ряд Тейлора по методу Ньютона. Членами разложения, содержащими производные второго и высших порядков, пренебрегают. Полученная линейная система алгебраических уравнений относитольно lnP может быть решена с помощью стандартных программ для ЭВМ. [c.25]

Из опубликованных в этой области работ следует отметить работу Л.М. Нафталла [62], который, опираясь на наши ранние исследования, развил теоретическую основу составления тепловых и материальных балансов. Он исследовал рециркуляционный цикл синтеза винилхлорида только с точки зрения нахождения параметров установившегося состояния, но не рассматривал вопросы задачи с точки зрения оптимизации процесса. Для решения нелинейной задачи он предлагает пользоваться методом Ньютона — Рафсона. [c.90]

Одновременно полуэмпирическими квантовохимическими методами была рассчитана электронная плотность молекулы диафена ФП. Предварительно молекулы оптимизировали методом молекулярной механики по алгоритму ММ2 Нормана-Аллинджера с учетом диполь-дипольного взаимодействия. Для непосредственной минимизации функции задействован блок-диагональный метод Ньютона-Рафсона. Далее, полученная таким образом предварительная геометрическая модель молекулы диафена ФП оптимизировалась полуэмпирическими мето- [c.199]

Затем с учетом полученных зарядов методом молекулярной механики ММ2 Аллинджера рассчитывалась текущая энергия для этой конформации. После этого молекула оптимизировалась методом ММ2 с )гчетом зарядов. Для минимизации поверхности потенциальной энергии применялся блок-диагональный метод Ньютона—Рафсона, точность вычислений определялась значением градиента около 0,01. [c.212]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология