Метод одновременного решения системы уравнений

МЕТОД ОДНОВРЕМЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ [c.264]

Анализ является важнейшим этапом проектирования процессов перегонки и ректификации и характеризуется определением оптимальных режимных параметров процесса и конструктивных размеров аппаратов при заданных технологических требованиях и ограничениях на процесс. Анализ сложных систем ректификации проводится методом декомпозиции их на ряд подсистем с де-тальным исследованием полученных подсистем методом математического моделирования. Проведение анализа сложных систем возможно также при одновременном решении всех уравнений си-стемы с учетом особенностей взаимного влияния режимов разделения в каждом элементе системы. Последний метод анализа является более перспективным для однородных систем сравнительно небольшой размерности, так как в этом методе не требуется рассмотрения сложной проблемы оптимальной декомпозиции системы. [c.99]

С развитием математического моделирования процессов и реакторов и исследованием с помощью математических методов динамических процессов нестационарной кинетики математика сделалась органическим вплетением в логические основания и химии, и химической технологии. И если в настоящее время учение о химических процессах называют и химической физикой (школа И, Н. Семенова), и физической кинетикой, то цементирующим элементом в системе, которая включала в себя химические и физические представления о химико-технологическом процессе, является скорее всего именно математика. И что особенно интересно и важно — это то, что в этой системе происходит развитие одновременно и параллельно и химических, и физических, и технических, и математических знаний. Дело в том, что решение кинетических задач оказалось невозможным в рамках классической теории дифференциальных уравнений. Сложный нелинейный характер протекания химических процессов выдвинул ряд новых задач, решение которых обогатило собственно и математику. В последние несколько лет создалась новая дисциплина, пограничная между математикой и химией, а фактически между математикой и теорией химической технологии, которая призвана решать задачи химии в основном в связи с созданием промышленного химического процесса, — математическая химия, призванная служить надежным теоретическим основанием учения о химических процессах. [c.163]

Используя известные значения и решаем систему уравнений (IX,7) — (IX,9). Легко видеть, что упомянутая система есть система уравнений сопряженного процесса (см. главу VII) и одновременно является системой линейных уравнений относительно неизвестных и ly . Методы решения системы уравнений сопряженного процесса изложены в главе XII. [c.201]

Одно из преимуществ метода последовательно соединенных реакторов состоит в том, что каждый раз приходится решать уравнения только с одним неизвестным — глубиной протекания реакции, а это процесс более простой, чем одновременное решение системы нелинейных уравнений. В подходящих случаях сходимость достигается менее чем через десять проходов через реакторную систему. [c.492]

В методах ВР и SR производится раздельное решение системы уравнений материального и теплового балансов. В то же время общая система уравнений может решаться также и одновременно при использовании метода простых итераций, рассмотренного в работе [11]. [c.291]

Классический метод поиска экстремального значения функции многих переменных (заключающийся в составлении и решении системы уравнений, получаемых в результате определения частных производных функций по каждому из неизвестных переменных, и приравнивания их нулю) применительно к задаче оптимизации iV-стадийной последовательности с М независимыми переменными на каждой из стадий требует одновременного учета NM переменных. Сложность взаимных связей между многими независимыми переменными, не говоря уже о чрезвычайной громоздкости расчетных операций, лишает этот метод практической ценности при решении задач химической технологии. [c.43]

Более экономными по затратам времени являются методы, обеспечивающие одновременное решение всех уравнений системы. К таким методам относится алгоритм совместного решения системы уравнений ячеечной модели с обратными потоками при нелинейной равновесной зависимости [348], Метод расчета [c.169]

Современные методы решения задач разделения основываются на одновременном решении всех линеаризованных уравнений математического описания вследствие малой склонности этих методов к накоплению ошибок округления. К тому же при расчете взаимосвязанных систем снимается проблема задания топологии системы - все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений математического описания. Следует при этом отметить, что матрицы коэффициентов, описывающих систему колонн, являются неплотными и применение специальных методов хранения данных позволяет свести к минимуму объем занимаемой памяти. Поэтому разработка эффективной процедуры решения задачи линеаризации системы взаимосвязанных колонн разделения является актуальной. [c.253]

В различных методах расчета используется раздельное или одновременное решение уравнений системы. [c.154]

Одновременное решение общей системы уравнений независимо от принятого метода сходимости требует большого объема вычислительных операций. Поэтому на вычислительных машинах [c.293]

Известные в настоящее время приближенные методы расчета противоточных массообменных аппаратов для разделения многокомпонентных смесей можно разделить в основном на три группы 1) методы построенные аналогично тем, которые используются в случае бинарных смесей 2) методы, основанные на одновременном решении общей системы уравнений многокомпонентной массопередачи при наложении дополнительных ограничений или упрощающих допущений о рассматриваемом процессе 3) эмпирические методы расчета. Более полная характеристика приближенных методов расчета показана в виде диаграммы на рис. 6.5. [c.298]

Необходимость применения метода последовательного расчета уравнений математических моделей элементов разомкнутых ХТС и метода расчета многоконтурных ХТС путем их преобразования в эквивалентные разомкнутые системы обусловлена многомерностью математических моделей современных ХТС, которые представляют собой совокупность Ы> (А уравнений. В результате этого и появляется необходимость заменить процесс решения уравнений математической модели ХТС в целом и одновременно процессом последовательного расчета уравнений математических моделей каждого отдельного элемента, для которого число уравнений его математической модели Н <М. [c.93]

Алгоритм решения трехдиагональной системы уравнений заключается в том, что последовательно исключаются поддиагональ-ные элементы матрицы системы (10—34) (элементы вектора А), а диагональные (элел1енты вектора В) приводятся к единичным. Одновременно вычисляются новые значения элементов векторов С и О. Как и в обычном методе Гаусса, прямым ходом матрица при- [c.255]

Наиболее перспективным направлением дальнейшего совершенствования рассмотренных алгоритмов расчета ректификации и абсорбции является использование метода Ньютона — Рафсона для одновременного решения системы уравнений материального и теплового балансов [108, 130а]. Основным достоинством указанных методов является вoзмoжнo tь разработки унифицированного алгоритма расчета процессов ректификации и абсорбции, обеспечи-ваюшего устойчивое решение задачи в самых различных условиях разделения. Однако успешное применение таких алгоритмов зависит в первую очередь от наличия быстродействующих вычислительных машин, так как использование метода Ньютона — Рафсона для решения системы уравнений с определителем высокого порядка требует большого объема вычислительных операций. [c.90]

Оптимизация процесса регенерации реального аппарата невозможна без определения условий проведения процесса на единичном зерне для оценки возможных местных перегревов, приводящих к снижению механической прочности и каталитической активности катализатора. Поэтому изучение процесса регенерации целесообразно провести последовательно на единичном зерне, в неподвижном слое, в реальном аппарате. Такой подход не нов процесс на единичном зерне и в неподвижном слое исследовался в СССР Г. М. Панченковым и Н. В. Головановым [1], Д. П. До-бычиным и Ц. М. Клибановой [2]. Особенностью излагаемого ниже подхода является одновременное решение элементарных уравнений материального и теплового баланса с учетом методов, изложенных в главах II, IV и VIII. Такой подход позволяет получить строгое и достаточно точное описание неизотермического процесса, некоторые новые результаты (например, определить температуру разогрева зерна, температуру горячей точки слоя, моделировать различные реакционные системы и т. п.) и, главное, обоснованно подойти к созданий математического описания промышленного регенератора. [c.295]

В современных алгоритмах широко применяется метод одновременного решения общей системы уравнений, обеспечивающий возможность расчета четкогб и нечеткого разделения близкокипящих и ширококипящих смесей методами ректификации и абсорбции. В то же время методы раздельного решения общей системы уравнений не теряют также своего практического значения, ибо успешное их использование для решения более узкого круга задач возможно на вычислительных машинах средней мощности (типа Минск-22 ) в отличие от методов одновременного решения общей системы уравнений, реализация которых возможна только на современных вычислительных машинах, обладающих большой оперативной памятью и большим быстродействием (типа БЭСМ). [c.273]

Опыт использования современных алгоритмов расчета, основанных на методе Тилле и Геддеса, показывает, что они обеспечивают устойчивое решение системы уравнений, описывающей термодинамические условия разделения идеальных многокомпонентных смесей, при минимальном числе итераций. Дополнительные затруднения в смысле сходимости расчета возникают при решении еще более сложной и нелинейной системы уравнений, описываю щей реальный процесс разделения, т. е. системы, в которой учи тьшается влияние состава смеси на константы фазового равнове сия, энтальпии и коэффициенты эффективности массопередачи Возможно, что для решения такой системы уравнений более эф фективным окажется применение метода Льюиса — Маттесона Основанием к этому, в частности, является сравнение алгоритмов расчета реального распределения концентраций компонентов в абсорбере по методам Тилле и Геддеса и Льюиса — Маттесона, оказавшееся не в пользу первого [7]. Отметим также работу [8], в которой рассмотрен алгоритм термодинамического расчета разделения многокомпонентных смесей с учетом влияния состава смеси на константы равновесия и энтальпии потоков. Алгоритм основан на методе Льюиса — Маттесона и реализуется в результате одновременного решения общей системы уравнений последовательно на каждой тарелке. [c.276]

Инженеры уже многие годы используют математический анализ и экспериментальные измерения для проектирования новых и совершенствования существующих процессов. Математические методы обладают сами по себе достаточной силой, так как позволяют сосредоточить внимание на ключевых параметрах. Они дают возможность проводить исследования как важнейших отдельных случаев, так и семейств таких случаев одновременно. Математические предсказания течения процессов характеризуются четкостью и могут быть действительными в широких пределах рабочих условий, а также при самых различных проектных схемах процесса. Однако на практике случаи применения математических методов как для оценки теории реальных процессов, так и для получения численных значений ключевых параметров немногочисленны. Многие технологические системы слишком сложны для возможности их описанр1Я проверенными фундаментальными уравнениями, не говоря уже о решении таких уравнений. [c.5]

В случае последовательно-параллельного объединения колонн в единую технологическую схему разделения анализа полученной системы может быть проведен путем последовательного расчета каждой из колонн в отдельности, для чего может быть использован любой метод расчета колонн многокомпонентной ректификации, обладающий достаточной скоростью сходимости. Иначе обстоит дело в случае моделирования сложных кохмплексов колонн, в которых каждая из колонн должна рассматриваться во взаимосвязи с другими-Раздельный расчет каждой из колонн, составляющих сложный комплекс, при этом связи с необходимостью последующего уточнения величин и составов потоков, объединяющих колонны, что с одной стороны, возможно лишь для относительно несложных комплексов, какими, например, являются колонны с одной стриппинг-секцией [202, 130], а с другой стороны, даже в этом относительно простом случае для получения решения требуется очень большой объем вычислений. Поэтому наиболее перспективным следует считать разработку таких методов моделирования сложных комплексов колонн, которые основаны на совместном расчете всех колонн, составляющих комплекс. Сложность одновременного расчета всех колонн комплекса определяется двумя основными причинами. Это, во-первых, необходимость совместного решения систем уравнений математического описания всех колонн, и, во-вторых, значительная склонность решения к раскачке , что вызывает определенные трудности, связанные с проблемами обеспечения сходимости процесса решения [130, 268]. [c.66]

Только в очень простых случаях система из (6Л +1) уравнений может быть решена аналитически, п обычно при этом проблема оптимизации решается прямыми методами (см. пример 1-4). Вообще же одновременное решение (6Л - -1) уравнений, в которых содержится (б У - -1) неизвестных, — типичная задача для счетной машины. Обычные приемы в этом случае — ряд последовательных аппроксимаций. Прпмер примснехшя оппсанпого метода дается ниже. [c.226]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Краевая задача (1) - (6) численно проинтегрирована на ЭВМ разностным методом для п=2 (одновременно адсорбируются два компонента смеси). Произведен анализ особых точек фазового пространства системы уравнений кинетики сорбции, что позволяет судить о характере решений задачи в целом. В ходе вычислительного эксперимента получены решения, которые можно разделить на два принципиально различающихся класса [2]. К первому можно отнести все решения классического вида типа бегущей концентрационной волны, реализуемые в тех случаях, когда один из компонентов явно превосходит фугой либо по скорости, либо по степени активности адсорбции на поверхность скелета пористой среды. Ко второму классу, представляющему наибольший интерес с точки зрения поягверждения конкурентного характера адсорбции, относятся решения в виде различных колебательных процессов. При этом, как показал [c.44]

При pH 10,1 кальций дает слабое окрашивание и при малыХ соотношениях Са Mg но мешает [724]. При больших содержа ниях кальций надо отделять. Предложены различные варианты одновременного определения магния и кальция с эриохром черным Т [724, 915, 1291]. В одном из них использована разница в устойчивости комплексов магпия и кальция с эриохром черным Т при различных pH. По этому методу готовят два окрашенный раствора при pH 11,70 и 9,52. При pH 11,70 комплексы обоих металлов поглощают сильно, а при pH 9,52 — практически только комплекс магния. Для создания pH 11,70 использован нипе-ридиновый буферный раствор (смесь пиперидина и соляной кислоты). Такой буферный раствор содержит меньше примесей металлов, чем обычно применяемые для создания сильнощелочной среды растворы NaOH или КОН. При pH 9,52 наблюдается аддитивность, т. е. поглощение смеси комплексов магния и кальция равно сумме поглощений комплексов магния и кальция в отдельности. При pH 10,25, например, аддитивность не соблюдается. Содержание магния и кальция находят путем решения системы двух уравнений [1291]. [c.139]

Надежная сходимость и численная устойчивость решения об-тцей системы уравнений по методу Тилле н Геддеса в современных алгоритмах обеспечивается потарелочной записью материальных балансов и одновременным решением уравнений материального баланса по всей колонне. Одновременное решение уравнений материального баланса реализуется методами матричного исчисления. [c.272]

Пусть для к го блока функция (и) имеет вид, представленный на рис. 65. Слабому принципу максимума удовлетворяют следующие точки uW, u k) (координаты стационарных точек, являющихся локальными максимумами), (координата точки перегиба), (координата локального максимума, лежащего на границе допустимой области), Ц >, (координаты стационарных точек, являющихся локальными минимумами, лежащими внутри допустимой области). Если бы для каждого к функция (и) имела бы только одну подозрительную точку (т. е. точку, удовлетворяющую условиям слабого принципа максимума), то единственным осложняющим моментом для дискретной системы была бы необходимость одновременного решения условий слабого принципа максимума и уравнений преобразования для блоков сопряженного процесса [(VIII,103) и (VIII,104)]. В обоих случаях можно было бы воспользоваться методом Вольфа, методом квазилинеаризации или методом Ньютона. Однако если функция (и) имеет при некоторых к несколько подозрительных точек, то процедура значительно затрудняется. Действительно, пусть мы с помощью какого-нибудь метода, например метода Ньютопа, решаем краевую задачу и у нас при каждом к функция Я (и) имеет т подозрительных точек. Тогда для JV блоков будем иметь m " вариантов выбора управлений и для каждого из вариантов должна быть решена краевая задача. Если числа т ж N невелики, то можно воспользоваться простым пере-бором. Однако для больших т ш. N простой перебор всех вариантов может привести к катастрофически большому количеству операций. [c.250]

Комбинированный (экспериментальноаналитический) метод построения ММ заключается в нахождении параметра а неформальных уравнений статики и динамики по сигналам х , и , полученным на действующем объекте. Модели, полученные таким методом, назовем комбинированными. Параметр а в таких ММ имеет физическую трактовку, поэтому к задаче (У-8) предъявляют те же требования, что и при аналитическом методе. Однако при использовании комбинированного метода система уравнений (V- ) не разбивается на более простые подсистемы и все компоненты вектора а определяются одновременно, что усложняет решение экстремальной задачи (У-8). [c.254]

Для сжимаемой среды давление с помощью уравнения состояния связано с плотностью и температурой. Следовательно, поскольку для уравнений неразрывности и энергии должны быть сформулированы начальные условия для плотности и температуры, соответствующее начальное распределение будет задано и для давления. В задачах же о течении несжимаемой жидкости давление не связано с другими физическими переменными, а поскольку в системе нет частной производной от давления по времени, то для него нельзя формулировать начальные условия и непосредственно применять метод установления, эффективный при решении эллиптических задач. Кроме того, если задавать в начальный момент произвольное поле давления, то оно будет определять через уравнение движения производную дт и, следовательно, некоторую эволюцию поля скорости, которое в моменты, отличные от начального, не будет, вообще говоря, подчиняться уравнению неразрывности V Ж = 0. Отсюда следует, что в структуре уравнений Навье-Стокса давление должно формироваться в каждый момент так, чтобы обеспечивать постоянную соленоидаль-ность поля скорости [1]. При разработке методов численного рещения это обстоятельство диктует применение ряда специальных приемов. В частности, если это возможно, давление следует исключить из системы уравнений с помощью какой-либо формальной операции. Для плоского движения удобно применить к уравнениям движения операцию ротора, одновременно вводя функцию [c.149]

Вторичные переменные С], 8 , Щ, Р], q, з , Х, уь р) получают решением системы вторичных уравнений (6)-(12), (14)-(16). Как и в случае 08А1, 2-подходов эти системы решаются одновременно итерационными методами, что (ввиду ограничений компьютерной памяти и времени) делает их эффективными только при решении одномерных теоретических задач. Однако при 08АЗ-подходе возможна реализация полного "набора" физико-химических превращений. [c.35]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

Не останавливаясь на конкретных реакциях, здесь мы коснемся только одного из получивших в последнее время распространение методов, при котором иск.пючается время из кинетических уравнений и находятся стабильные решения задачи на основе разработанной Ляпуновым теории устойчивости. В простейшем случае двух переменных х ш у (например, двух активных центров или одного активного центра и температуры) из кинетических уравнений dx/dt = Ф,с х, у) и dy/dt = Фу (х, у) (х и у — концентрации или концентрация и температура) получим уравнение dxfdy = / х, у), которое может быть отображено на плоскости (фазовая плоскость или диаграмма) и проанализировано (по Ляпунову) с целью нахождения особых точек, определяющих условия стаби.тгьности системы (см. [136], глава X). Таким путем могут быть получены пределы воспламенения, в частности пределы, обусловленные одновременным действием цепного и теплового факторов (объединенная теория цепного и теплового воспламенения), режим химических колебаний и др. [c.219]

Как уже было отмечено, при синтезе алгоритмов стабилизации было применено численное моделирование системы в целом с одновременным применением метода Розенброка для определения оптимальных параметров в алгоритмах стабилизации. Для ограничения времени, необходимого для расчетов на вычислительной машине, математическая модель реактора была упрощена. При упрощении мы исходили из полной метаматической модели реактора в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных [215], которая решалась на ЭВМ. Затем численные решения были аппроксимированы в форме последовательного соединения нелинейной статической модели и линейной динамической модели (рис. IX.10). Аппроксимированная модель была использована при оптимизации параметров алгоритмов стабилизации. [c.366]

В последующих главах изложение начинается с проблем, которые являются наименее сложными, и последовательно охватывает более сложные проблемы. Ни одно из рассмотренных в этой главе дифференциальных уравнений сохранения не потребуется в главе 2, в которой соотношения между характеристиками перед волной горения и за ней устанавливаются из уравнений сохранения, записанных в алгебраическом виде. В главе 3 исследуются системы, в которых важную роль играют процессы переноса, При этом члены уравнения (4), содержащие скорость химической реакции и определяемые выражением (8), не принимаются во внимание. Здесь оказывается полезным метод решения задачи, развитый в 4. Глава 4 посвящена задачам, в которых необходимо учитывать, что химические реакции протекают с конечной скоростью, а явлениями переноса можно пренебречь. (Явлениям переноса в уравнениях соответствуют члены с производными самого высокого порядка, появляющиеся в уравнениях (2) — (4) после использования формул (5) — (7).) Процессы, в которых необходимо учитывать одновременно как явления переноса, так и химические реакции, протекающие с конечными скоростями, впервые встретятся в главе 5 (теория ламинарного пламени) и далее в главе 6 при обсуждении вопроса о структуре и скоростях детонационых волн. [c.36]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология