Процесс винеровский траектория

Рис. 2.1. Типичная траектория винеровского процесса, полученная при == 1. Значения, отложенные по оси абсцисс и ординат, разделены соответственно на 10 и 10 . Хотя выборочные траектории непрерывны, они нигде не дифференцируемы и имеют бесконечную длину на

Так называемый процесс Орнштейна — Уленбека Xt удовлетворяет уравнению (2.113), если l t — гауссовский белый шум. Пока мы еще не располагаем всем необходимым математическим аппаратом, чтобы установить этот факт на доказательном уровне, и вернемся к затронутой нами проблеме в гл. 5. По определению процесс Орнштейна — Уленбека (процесс ОУ), как и винеровский процесс, является гауссовским. Процесс ОУ разделяет с винеровским процессом еще одно общее свойство его траектории также почти наверное непрерывны. Поскольку в гл. 4 мы докажем это утверждение попутно в более общем контексте, нам не хотелось бы приводить сейчас сколько-нибудь подробно его доказательство с помощью критерия Колмогорова. Процесс ОУ отличается от винеровского процесса двумя важными особенностями. [c.77]

Хотя траектории винеровского процесса являются с вероятностью единица непрерывными функциями, сам винеровский процесс весьма нерегулярен , как и подобает модели броуновского движения. С вероятностью единица его выборочные траектории нигде не дифференцируемы, т. е. скорость броуновской частицы не определена, и имеют бесконечную длину на любом конечном временном интервале [2.1, с. 238 2.6, с. 52]. (Эти особенности винеровского процесса являются, разумеется, идеализациями, но они отражают тот факт, что траектории реальной броуновской частицы необычайно мелки и не могут быть прослежены в деталях. Траектория, изображенная на рис. 2.1, позволяет составить примерное представление об этих свойствах винеровского процесса.) Мы не будем приводить строгое доказательство первого утверждения, а лишь заметим, что в любой за- [c.71]

Так как второе свойство траектории винеровского процесса Wt будет в дальнейшем играть важную роль, докажем в явном виде, что эти траектории имеют почти наверное бесконечную [c.72]

ДЛЯ почти всех со, т. е. для почти всех траекторий, сходится к конечному значению 1 — 5 (в полном соответствии с (2.110)). Так как винеровский процесс имеет почти наверное непрерывные траектории, мы заключаем, что для почти каждого со, т. е. с вероятностью единица, должно выполняться равенство [c.74]

Таким образом, проблема придания точного математического смысла СДУ (5.1) трансформируется в проблему точного определения того, что следует понимать под каждым из двух интегралов в (5.2). Смысл первого интеграла вполне очевиден так как дифференциал йХ1 содержит дифференциал dWt винеровского процесса, то в каком бы смысле ни существовало решение уравнения (5.1), процесс Xt должен был бы быть по крайней мере столь же нерегулярным, как винеровский процесс, но не мог быть более нерегулярным. Это означает, что траектории процесса X/ почти наверное нигде не дифференцируемы, но непрерывны, если / и д—гладкие функции. Этого достаточно, чтобы первый из интегралов можно было понимать как обычный интеграл (в смысле Римана) для любой траектории, т. е. [c.116]

Следовательно, первый множитель в правой части неравенства (2.111) сходится к нулю с вероятностью единица, в силу чего второй множитель в правой части того же неравенства должен расходиться с вероятностью единица в противном случае мы пришли бы к неравенству Р[ — 5 0-а = 0] > О, т. е. к заведомому противоречию. Иначе говоря, почти любая траектория винеровского процесса Wt имеет бесконечную длину на (произвольном) конечном интервале времени [5,/]. В этой математической модели броуновского движения броуновская частица проходит бесконечный (по длине) путь за любой конечный интервал времени. Мы уже говорили о том, что эта особенность винеровского процесса обусловлена математической идеализацией и [c.74]

Винеровский процесс и процесс Орнштейна — Уленбека могут служить двумя примерами случайных процессов, моделирующих непрерывно изменяющиеся физические величины и имеющих поэтому согласующиеся с гладкими зависимостями почти наверное непрерывные траектории. Обратимся теперь к другой крайности — величинам, изменяющимся только дискретными шагами. Основным примером для этого класса и в известном смысле дискретным аналогом винеровского процесса является пуассоновский процесс. Он указывает, сколько раз происходит интересующее нас событие за интервал времени от О до t. Каждая выборочная функция имеет вид неубывающей ступенчатой функции, т. е. пуассоновский процесс не имеет почти наверное непрерывных траекторий. Ясно, что по определению все траектории при = О выходят из нуля, т. е. [c.79]

Условие (4.16) гарантирует почти наверное непрерывность траекторий марковского процесса [3.3, с. 188, теорема III. 5.3. Прежде чем переходить к рассмотрению двух остальных характерных свойств диффузионного процесса, обсудим несколько подробнее некоторые следствия, к которым приводит условие (4.16). Хотя оно и гарантирует непрерывность траекторий, оно же утверждает, что траектории диффузионного процесса извилисты они ведут себя не менее причудливо, чем траектории винеровского процесса. Разумеется, этого можно было ожидать в свете сказанного. Из условия (4.16) следует по крайней мере существование ненулевой вероятности того, что скорость процесса Xty т. е. производная от траектории по времени, бесконечна. В противном случае вероятность P[ Xt — Xsl>e Xs = = х] была бы тождественно равна нулю при t= s, но достаточно малой разности t — 5, а не только при o(t — s). Столь извилистые траектории необходимы для того, чтобы подлинно случайный процесс был марковским. Если говорить нестрого, то можно сказать, что случайные процессы с более гладкими, т. е. дифференцируемыми, траекториями не могут обладать марковским свойством, так как гладкость делает невозможной (условную) независимость прошлого и будущего. Единственным исключением, т. е. единственными марковскими процессами с непрерывными и дифференцируемыми траекториями, являются детерминированные процессы, определяемые уравнением [c.100]

Соотношение (0.1) показывает, что оператор La строится по гауссовой мере 7i подобно тому, как строится оператор Лапласа по мере Лебега. Его замыкание, обозначаемое по-прежнему La, будет самосопряженным неотрицательным оператором в а(Ф, Vi). В этом же параграфе устанавливаются свойства полугруппы, генератором которой служит La, и приводится прямое построение связанного с ней функционального интеграла. Иными словами, строится мера vл,o на пространстве траекторий Qo = м ( ) [О, + оо) Ф со (0) = 0 , отвечающая диффузионному процессу с фазовым пространством Ф, производящим оператором La и выходящему из точки О Ф. Это построение аналогично конструкции винеровской меры по оператору Лапласа. [c.508]

Если в качестве модели броуновского движения, т. е. случайного процесса, описывающего положение броуновской частицы, выбран винеровский процесс, то мгновенная скорость частицы в такой модели остается неопределенной. Более того, мгновенная скорость бесконечна, так как траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы. Этого можно избежать, если за основную случайную величину выбрать, как это сделали Уленбек и Орнштейн [2.7], скорость броуновской частицы. Рассмотренный этими авторами случайный процесс получил название процесса Орнштейна — Уленбека. Положение броуновской частицы в модели Орнштейна — Уленбека определяется путем интегрирования, а не задано непосредственно, как в ви-неровском процессе. Исходным пунктом в модели броуновского движения Орнштейна — Уленбека является разложение силы, действующей на взвешенную в жидкости частицу, на две части систематическую (трение —avt) и случайную Fty обусловленную не прекращающимися ни на миг толчками молекул окружающей жидкости [c.75]

Весьма важным примером фрактальной кривой является траектория броуновской частицы. Ее фрактальность проявляется в том, что, увеличивая разрешение микроскопа и уменьшая время между фиксациями местоположениями броуновской частицы, мы вновь получим подобные друг другу блуждания. График зависимости координаты броуновской частицы от времени (винеровский процесс) является самоаффинной кривой и также нигде не дифференцируется. [c.17]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология