Шум белый гауссовский

Если в дополнение к этому разность X t + x) —X t) распределена по нормальному закону со средним значением гц и дисперсией та , то У"(/) будет нормальным, или гауссовским, белым [c.199]

Так называемый процесс Орнштейна — Уленбека Xt удовлетворяет уравнению (2.113), если l t — гауссовский белый шум. Пока мы еще не располагаем всем необходимым математическим аппаратом, чтобы установить этот факт на доказательном уровне, и вернемся к затронутой нами проблеме в гл. 5. По определению процесс Орнштейна — Уленбека (процесс ОУ), как и винеровский процесс, является гауссовским. Процесс ОУ разделяет с винеровским процессом еще одно общее свойство его траектории также почти наверное непрерывны. Поскольку в гл. 4 мы докажем это утверждение попутно в более общем контексте, нам не хотелось бы приводить сейчас сколько-нибудь подробно его доказательство с помощью критерия Колмогорова. Процесс ОУ отличается от винеровского процесса двумя важными особенностями. [c.77]

Хотя гауссовский белый шум столь сильно нерегулярен, он необычайно полезен при моделировании быстро флуктуирующих явлений. Это неудивительно, если учесть его свойства отсутствие непрерывных траекторий, бесконечная полная энергия [c.90]

Чтобы проиллюстрировать результат применения анализа Фурье к случайному процессу, был взят ряд из 400 случайных нормальных чисел (гауссовский белый шум) Выборочный спектр Сгг 1) вычислялся для четырех рядов, состоящих из первых 50, 100, 200 и 400 членов соответственно На рис 6 1 приведены значения выборочных спектров Сгг (), сосчитанные по формуле (6 17), на частотах / = 0,02, 0,04,, , 0,50 гц для случаев N = 50 и = 100 при Д = = 1 сек. На рисунке изображен также теоретический спектр, который, как показано в разд 6 2 3, равен константе в интервале -42 <42 [c.258]

Необходимость критерия. На практике часто возникают ситуации, когда требуется проверить гипотезу о том, что наблюдаемый временной ряд является реализацией белого шума Пример такой ситуации приведен в разд. 5 3 5, где критерий для проверки того, что шум белый, был применен к случайным гауссовским числам, полученным с помощью вычислительной машины Другим примером служит проверка подобранной модели, например процесса авторегрессии (5 2 39) Модель можно считать адекватной, если остаточные ошибки (между подобранной моделью и данными) образуют белый шум [c.283]

Предположим, что Q t) = Q+ (5 l t), (/) = + 2 2(0, ,Е - средние значения, ,(0, 2(0 - гауссовские белые шумы, О) и 02 - их интенсивности. [c.69]

Этот результат не является точным, потому что нет оснований ожидать, что во всем диапазоне частот от О до /с процесс ведет себя как ограниченный по частоте гауссовский белый шум. Аналогично [c.290]

Шум называется гауссовским или нормальным, когда все его функции плотности и маргинального, и совместного распределения вероятностей являются гауссовскими [выражение (33)]. В этом случае статистическое описание позволяет получить полное описание процесса. Если известны моменты второго порядка и известно, что процесс является гауссовским, то можно определить моменты более высокого порядка. Однако следует подчеркнуть, что знание того, что шум является гауссовским, не дает само по себе какой-либо информации относительно моментов второго порядка, и наоборот. В самом деле, гауссовский шум может быть стационарным или нестационарным он может быть белым> или иметь другое автокорреляционное поведение. Аналогично знание корреляционного поведения не дает ответа на вопрос, является ли шум гауссовским или не является таковым. И наконец, следует подчеркнуть, что, хотя во многих физических процессах шум может рассматриваться как гауссовский, это никоим образом не становится универсальным и часто встречаются другие распределения. [c.475]

Естественно возникает вопрос существуют ли другие типы белого шума, помимо гауссовского На этот вопрос мы можем с уверенностью ответить утвердительно. Весь класс белых шумов ныне полностью известен [3.26]. Более того, охарактеризовать белый шум совсем не трудно. Отличительная особенность белого шума состоит в том, что это полностью случайный процесс, т. е. в каждый момент времени принимает независимое значение и имеет бесконечно большую дисперсию. Иначе говоря, любой случайный процесс, корреляционная функция которого [c.88]

Гл. 4 и 5 посвящены главным образом основным свойствам СДУ (3.31), но сначала мы хотели бы обсудить те последствия, к которым приводит идеализация белого шума. Какие преимущества дает пренебрежение малыми эффектами окружающей среды Прежде всего, отбросив эти эффекты, мы получаем объект с весьма хитроумными свойствами, не принадлежащий к классу обычных случайных процессов. Для простоты предположим, что мы рассматриваем ситуацию вполне обычную состояние системы в момент времени t по результатам точных измерений есть X. Относительно внешнего параметра Kt известно лишь его распределение вероятности, например %t может иметь гауссовское распределение. Отвлечемся на миг и рассмотрим более реалистический шум, чем белый пусть будет, например, процессом ОУ. Через короткое время Л в будущем состояние системы будет определяться величиной [c.91]

При работе с уравнениями типа (3.31) необходимо соблюдать величайшую осторожность. Действительно, с первого взгляда видно, что Хг наследует весьма нерегулярные особенности поведения гауссовского белого шума и заведомо не может считаться обычной функцией. Тем не менее надежда избежать общей теории случайных процессов все же остается, если воспользоваться тем, что —производная в смысле обобщенных функций от винеровского процесса, и записать уравнение (3.31) в виде (4.13). Действительно, в уравнение (4.13) входят только обычные процессы. Разумно поэтому ожидать, что понятие X/ ость решение уравнения (4.13) удастся сформулировать в рамках теории обычных случайных процессов, если функция (.г) достаточно гладкая , как обычно бывает в приложениях. Имен- [c.115]

Такой результат отнюдь не является неожиданным если бы у среды была конечная память, то информация о прошлом способствовала бы более точному предсказанию будущей стохастической эволюции системы. Эти эвристические соображения вплотную подводят нас к правдоподобному предположению относительно того, что система является марковской в том и только в том случае, если внешние флуктуации белые. Пока мы еще не в состоянии сформулировать свою гипотезу в виде математической теоремы. Напомним, что белый шум — чрезвычайно нерегулярный процесс, не обладающий непрерывными траекториями. Разложение в ряд Тейлора (3.32), призванное определить состояние системы в момент времени I + Л, вполне может оказаться не имеющим смысла. Иначе говоря, так как среда немедленно забывает, в каком состоянии она находилась в предыдущее мгновение, едва лп будет иметь какое-то отношение к состоянию системы в некоторый момент времени / + Л. Таким образом, для гауссовского белого шума эта ситуация оказывается еще более деликатной, и анализ ее требует большой осторожности. Кроме того, как уже подчеркивалось в разд. 1.5, необходимо тщательно следить за тем, в каком смысле надлежит понимать СДУ (3.30) и утверждение о том, что Хг — решение уравнения (3.30) . Для тех читателей, кто не желает оставаться в неведении до тех пор, пока не станет ясен исход строгого математического анализа, скажем, что справедлива следующая математическая теорема процесс удовлетворяющий уравнению (3.31), является марковским в том и только том случае, если внешний шум t белый. Эта теорема объясняет, почему так важна и чем так привлекательна идеализация белый шум . Если система, связанная с флуктуирующей средой, может быть описана марковским процессом, то мы сразу получаем в свое распоряжение целый арсенал математических средств, разработанных для анализа таких случайных процессов. Мы видим, что наши оптимистические надежды на успешное преодоление трудностей, с которыми сталкивается анализ влияния внешнего шума на нелинейные системы, имеют под собой известное основание. Но если бы система допускала описание только с помощью немарковского процесса, то шансы на успех были бы самые незначительные. Методы работы с немарковскими процессами того типа, который встречается в приложениях разработаны пока да- [c.92]

В гл. 3 мы на эвристическом уровне показали, что состояние Xt системы может быть представлено марковским процессом в том и только том случае, если внешний шум белый. В этой главе мы впервые определим марковские процессы с должной математической строгостью. Затем мы сосредоточим внимание на подклассе марковских процессов, имеющих почти наверное непрерывные траектории и поэтому особенно важных для наших приложений. Действительно, во многих приложениях по причинам физического характера желательно, чтобы траектории и флуктуирующих внешних параметров и переменных, описывающих состояние системы, обладали этим свойством, т. е. были непрерывны. Например, даже если температура химического реактора сильно флуктуирует, можно тем не менее ожидать, что концентрации реагирующих веществ останутся гладкими функциями, не претерпевающими разрывов во времени. В дальнейшем, если противоположное особо не оговорено, мы всегда будем выбирать внешние шумы с непрерывными траекториями. Вопрос, который остается невыясненным, состоит в том, гарантируется ли при таком выборе непрерывность траекторий случайных величин, описывающих состояние системы, эволюция которых во времени зависит от внешнего шума. Так как эти величины удовлетворяют дифференциальному уравнению, ответ на интересующий нас вопрос заведомо утвердительный, если внешний шум не белый. В случае белого внешнего шума ответ не столь очевиден. Но, если переход к идеализации белый шум полезен, при таком переходе должно сохраняться по крайней мере такое свойство, как непрерывность траекторий случайного процесса Xt. Дифференцируемость утрачивается, что мы обсудим ниже. В гл. 5 мы покажем, что система с гауссовским белым шумом действительно может быть описана марковским процессом с почти наверное непрерывными траекториями. Именно поэтому мы уделим особое внимание таким процессам в этой главе. [c.94]

Поводом для рассмотрения марковских процессов послужили наши эвристические соображения о том, что решение стохастического дифференциального уравнений должно обладать марковским свойством. Воспользуемся тем, что в смысле обобщенных функций гауссовский белый шум есть производная от винеровского процесса, и, формально умножив (3.31) на сИ, получим [c.98]

Главу 4 мы хотим завершить кратким замечанием о системах, возмущаемых негауссовским белым шумом. В разд. 3.2 мы уже упоминали о том (и даже пояснили на интуитивном уровне), что случайный процесс является белым шумом в том и только том случае, если lt — производная (в смысле обобщенных функций) от однородного по времени процесса с независимыми приращениями. В гл. 4 мы рассмотрели только гауссовский белый шум, представимый в виде производной от винеровского процесса. Именно это обстоятельство послужило основанием для определения класса марковских процессов (диффузионных процессов), которые локально во времени выглядят как винеровский процесс плюс систематическая компонента, т.е.а1 + /D Wt Диффузионные процессы характеризуются тем, что г/(л , 5) = [c.113]

Если внешний шум описывается более реалистическим случайным процессом, чем гауссовский белый шум, например процессом ОУ, то классические правила интегрального исчисления остаются в силе. Как уже упоминалось, СДУ можно рассматри- [c.120]

Исчисление Ито образует фундамент той схемы, в рамках которой выражению (5.1) молено придать точный математический смысл. Заметим, что при заданных t и х функции f и g в (5.1) неслучайны. Случайность входит в (5.1) лишь косвенно, через случайный процесс Xt. В дальнейшем мы будем рассматривать стохастические дифференциал только такого вида. Для нашей цели — описания систем в среде с гауссовским белым шумом — их вполне достаточно. Стохастический дифференциал вида [c.128]

Это свидетельствует о том, что внешний гауссовский белый шум индуцирует критическое поведение в генетической модели с критической точкой в X =0, л = 1/2, =4. Такой вывод подтвер- [c.177]

Рассмотрим теперь поведение этой системы, когда флуктуации относительно среднего значения происходят достаточно быстро для того, чтобы можно было использовать приближение белого шума, т. е. положить Р/= Р + где — гауссовский белый шум [7.27, 31]. Детерминистическое кинетическое уравнение заменяется СДУ [c.241]

Этими результатами мы воспользуемся в разд. 6 32 при выводе критерия для проверки гипотезы о том, что щум является бельщ. В разд. 6.3.3 дается краткое изложение более общих результатов, относящихся к вероятностным свойствам оценок, соответствующих выборочным спектрам. Эти результаты получены для произвольных частот и для процессов, не являющихся белым гауссовским щумом Доказательства приведены в приложении П9 1. [c.280]

Х -свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума. В разд 6 3 1 было показано, что если Zt является гауссовским белым шумом, то 2 zz(f)IAo имеет х -распреде- [c.288]

Равенство (П 9 1 16) является точным для гауссовских белых щумов В остальных случаях эта формула приближенная Все полученные выще формулы применимы и в дискретном случае, если члены Г(f) умножить на Д и проводить интегрирование по частоте от —1/2Д до 1/2Д Так, формула (П9 116) в дискретном случае переходит в [c.178]

Отметим следующее обстоятельство. Математическая аппроксимация "быстрого" внешнего шума с малым (но ненулевым) временем корреляции гауссовским белым шумом требует корректного описания, о чем иногда забывают. Например, в работе [Раткович, 1993] сделаны критические замечания по статье [Музылев, 1980], но переход к бесшумовому пределу выполнен неправильно в результате оказалось, что дисперсия уровня водоема не зависит от величины шума. Это совершенно не отвечает физической сущности колебаний уровня, поэтому критика в работе [Раткович, 1993] не обоснована. Современный взгляд на процедуру предельного перехода к белому шуму в статистических дифференциальных уравнениях изложен в монографии [Хорстхемке, Лефевр, 1987]. [c.92]

Броуновское движение (винеровский процесс) - это непрерывный гауссовский случайный процесс Х= (Х,), о> = О с нулевым средним и дисперсией DX, = L Известно, что приращения винеровского процесса - белый шум - характеризуются автокорреляционной 6-функцией, т.е. время корреляции этого процесса равно нулю, а спектр постоянен на всех частотах (Ясо) = onst, со - частота). Белый шум успешно применяют при моделировании многих климатических и гидрологических процессов. Однако попытка его использования для объяснения эффекта Харста потерпела неудачу суммарный расход воды в этом случае приводит к уже известной зависимости Q Не спасает положения и применение случайных процессов с конечным временем корреляции В. Феллером доказано, что и в этом случае получается та же зависимость [Feller, 1951]. [c.197]

Наша монография написана по следующему плану. Дабы представить класс явлений индуцированных шумом переходов в надлежащей перспективе, мы в следующих разделах кратко обсудим переходы порядок—беспорядок в условиях детерминированной среды и влияние на них внутренних флуктуаций. Затем мы перейдем к переходам, индуцированным шумом, и прежде всего займемся проблемой моделирования макроскопических систем в флуктуирующей среде. Для того чтобы придать нашей монографии законченность, мы приводим краткое (но, хотелось бы надеяться, ясное) изложение математического аппарата, необходимого для адекватного рассмотрения нелинейных систем, возмущаемых внешним шумом. Затем дается четкое и конструктивное определение переходов, индуцированных шумом Их свойства подробно исследуются для сред с гауссовским белым шумом и двух типов цветного шума. Затем мы подробно описываем три эксперимента, в которых наблюдались индуцированнъ1е шумом переходы, предлагаем новые эксперименты из области физики, химии и биологии и обсуждаем на конкретных примерах эоль и значение индуцированных шумом переходов в явлениях природы. [c.20]

После того как задача сформулирована таким образом, вопрос сводится к непротиворечивому определению стохастического интеграла Условимся для простоты пока рассматривать только случай непрерывно изменяюпдихся внешних параметров (именно этот случай занимает центральное место в нашей монографии). Тогда в каждый момент времени флуктуации будут нормально распределены. Такая часто встречающаяся разновидность белого шума называется гауссовским белым шумом. Естественно возникает вопрос в каком смысле величина, совершающая скачки между минус и плюс бесконечностью, может иметь гауссовское распределение На этот, а также на другие вопросы, возникающие в связи с необычными свойствами белого шума, мы дадим обстоятельный ответ в последующих главах, а пока ограничимся беглым изложением наиболее важных особенностей белого шума, чтобы читатель, не знакомый с этим понятием, мог прочувствовать его необычность. [c.39]

Как видно из соотношений (3.22, 23), б-коррелированный процесс имеет плоский спектр. Это свойство легло в основу названия белый шум, закрепившегося за случайными процессами рассматриваемого типа в их спектре энергия равномерно распределена по всем частотам, как в спектре белого света. Процесс ОУ является гауссовским процессом, и предельный переход не нарушает это свойство. Именно поэтому в результате предельного перехода при Ткорр- 0 процесс ОУ переходит в процесс, известный под названием гауссовского белого шума и обозначаемый в дальнейшем (где lt — стандартный гауссовский белый шум с E lt = 0 и Е ЬЪ+х = 8 Ы) Гауссовский белый шум — процесс чрезвычайно нерегулярный. Он непрестанно совершает самые непредсказуемые скачки, его траектории нигде не дифференцируемы. [c.88]

Излагая в предыдущей главе основы теории марковских процессов, мы мотивировали свой выбор эвристическими соображениями, суть которых сводится к тому, что временная эволюция параметра состояния Хг системы, связанной со случайной средой, является марковской в том и только том случае, если внешний шум белый. Вид феноменологического уравнения с гауссовским белым шумом (особенно уравнения (4.13)) наводит на мысль о выделении особого класса марковских процессов — так называемых диффузионных процессов. Представимость сред с гауссовским белым шумом диффузионными процессами будет полностью обоснована, если нам удастся показать, что понятию решения стохастического дифференциального уравнения может быть придан строгий математический смысл и что марковский процесс действительно удовлетворяет условиям (4.16, 19, 20), как это следует на эвристическом уровне из уравнения в дифференциалах (4.13). В этой главе мы подробно изложим теорию стохастических дифференциальных уравнений Ито и Стратоновича и укажем тесную связь СДУ с диффузионными процессами. [c.115]

В этих экспериментах, конечно, использовался реальный шум. Хотя время корреляции флуктуаций интенсивности было достаточно малым, так что внешний шум можно было рассматривать как квазибелый, очевидно, что это не был истинно белый шум. Экспериментальные результаты подтверждают аргументы гл. 3 в пользу замены внешнего шума с очень малым временем корреляции гауссовским белым шумом. Тот факт, что результаты, полученные для белого шума, действительно применимы качественно для случая шума с близкими свойствами,, будет установлен аналитически в следующей главе. [c.230]

Смотреть страницы где упоминается термин Шум белый гауссовский: [c.457] [c.472] [c.45] [c.288] [c.131] [c.99] [c.206] [c.262] [c.10] [c.40] [c.40] [c.89] [c.89] [c.89] [c.91] [c.134] [c.141] [c.160] [c.167] [c.223] [c.235]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология