Теория Штурма Лиувилля

Для дальнейшего важно еш.е раз подчеркнуть, что собственные функции уравнения Штурма — Лиувилля (6.104) совпадают с собственными функциями ОУК, но не УФП. Собственные функции УФП получаются при умножении на стационарную плотность вероятности (см. (6.102)). Так как спектры ОУК и УФП совпадают, рассмотрим сначала собственные значения задачи Штурма — Лиувилля. Из классической теории Штурма — Лиувилля [6.24, 25] известно следующее. [c.192]

Используя результаты классической теории Штурма — Лиувилля, мы можем утверждать следующее. Если обе границы конечны, то собственные функции ОУК взаимно ортогональны с весом Рз х), т. е. [c.193]

Из классической теории Штурма — Лиувилля мы заключаем также, что собственные функции образуют полную систему в пространстве 2(61,62) с подходяще выбранным весом. Точный смысл этого утверждения раскрывают следующие две теоремы. [c.193]

Из последних двух условий мы заключаем, что любая плотность вероятности перехода, симметричная относительно середины пространства состояний, навсегда сохранит свою симметрию. Первое условие обеспечивает применимость теоремы Эллиотта. Следовательно, спектр во всем классе моделей чисто дискретный. Собственные значения и соответствующие им собственные функции определяются задачей Штурма — Лиувилля, й собственные функции образуют полную систему в пространстве 1(61,62). Из классической теории Штурма — Лиувилля [6.24] известно, что [c.209]

А. ТЕОРИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ [c.82]

A. Теория Штурма—Лиувилля [c.83]

А. Теория Штурма—Лиувилля 85 [c.85]

Спектральная теория оператора Фоккера — Планка и задача Штурма — Лиувилля [c.189]

Уравнения (11) с краевыми условиями (12) составляют проблему Штурма — Лиувилля. Аналогичная проблема имеет место и в теории теплопроводности, где особенно важны случаи <>7 0. Наши интересы в основном относятся к случаю 5 = 0. Поскольку речь идет о частных решениях, можно не говорить о начальных условиях. [c.382]

Итак, функция (х), обращающая > в минимум, удовлетворяет уравнению (1), что и требовалось доказать. Эту теорему легко распространить на общий случай краевых условий задачи Штурма — Лиувилля. [c.417]

Мы вывели интегральное уравнение, соответствующее определенному узкому классу дифференциальных уравнений. Вид ядра связан определенным образом с задачей Штурма—Лиувилля. Для специального типа интегральных уравнений, ядра которых соответствуют дифференциальной схеме (6) — (8), мы доказали некоторые свойства собственных чисел и собственных функций. Однако необходима более общая теория, пригодная при любом ядре. Такая теория существует. Теория интегральных уравнений гораздо шире, чем проблема Штурма—Лиувилля. Ряд вопросов (например, вопрос о разложимости функций по собственным функциям) легче, проще и изящнее решается с помощью интегральных уравнений. Даже ради одного этого стоит их изучить. [c.461]

При нахождении нормальных колебаний колеблющихся струн, приливов и т. д. нам приходилось решать некоторые дифференциальные уравнения второго порядка с определенными граничными условиями. При рассмотрении более сложных систем этот метод непосредственного решения дифференциального уравнения часто оказывается неприменимым из-за возникающих математических трудностей. К счастью, существует ряд методов нахождения приближенных решений, и в настоящей главе мы рассмотрим эти методы. Они основаны на так называемой теории Штурма — Лиувилля, которая рассматривает общие глатематические свойства уравнений типа возникающих в случае колеблющихся систем. Мы начнем с краткого изложения этой теории. Более подробно она изложена в книге Маргенау и Мэрфи ([П, стр. и сл.) и еще более подробно в книге Гильберта и Куранта ([2], том I). [c.82]

О втором методе рассмотрения задач, которые не решаются непосредственно, мы уже упоминали на стр. 48, где мы показали, что можно рассчитать приблизительную форму и частоты нормальных колебаний натянутой струны, подверженной небольшому возмущению, а именно изме-Н01ШЮ плотности или натяжения струны. Изложенная там теория легко обобщается и распространяется на другие случаи на основе результатов теории Штурма — Лиувилля. Однако метод рассмотрения зависит от того, является ли возмущенное нормальное колебание вырожденным или невырожденным. Рассмотрим сначала теорию возмущений для невырожденных колебаний. [c.96]

В 2 рассматриваются представления гнперкомплексных систем с локально компактным базисом. Эти объекты обобщают понятие обычной коммутативной гиперкомплексной системы, т. е. конечномерной коммутативной алгебры с выделенным базисом, в том же направлении, в котором групповая алгебра локально компактной группы обобщает групповую алгебру конечной группы. Значительная часть параграфа посвящена изложению необходимых фактов теории таких гиперком-плексных систем, включая построение на их базисе теории обобщенных функций. В качестве примеров получены представления для центра групповой алгебры компактной группы, алгебры орбитальных функций, алгебры, построенной по ортогональным полиномам или по уравнению Штурма — Лиувилля, и т. п. [c.305]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология