Задача Штурма—Лиувилля

Получено приближенное решение задачи о теплообмене при ламинарном течении в круглой трубе нелинейно вязкопластичных дисперсных систем в случае, когда иа стенке трубы задана постоянная плотность теплового потока (граничные условия второго рода). Показана возможность использования собственных значений задачи Штурма — Лиувилля при граничных условиях первого рода, полученных ранее. Приведенное решение позволяет рассчитать параметры теплообмена при малых приведенных длинах. [c.110]

Данное выражение полностью совпадает с /г-й частичной суммой точного решения, которое было получено методом интегральных преобразований Фурье [91]. Если учесть, что система координатных функций образует последовательность собственных функций задачи Штурма—Лиувилля уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами при граничных условиях второго рода, то результат такого совпадения становится вполне закономерным. [c.76]

Эта задача Штурма—Лиувилля была решена, и на рис. 104-1 представлены первые три функции Ни Нг и Нг. [c.347]

Собственные значения находят обычным образом с помощью граничных условий (4.22), приравнивая нулю соответствующий вронскиан. После нахождения первых п собственных значений необходимо определить значения коэффициентов Это сделать весьма просто, если число Пекле бесконечно велико. В этом случае уравнение (4.21) сводится к задаче Штурма — Лиувилля, для которой легко находятся собственные функции. Таким образом, при Ре-> оо [c.74]

Задача, связанная с нахождением набора величин Я и соответствующих им функций, удовлетворяющих уравнению (6.2.21), обычно называется задачей Штурма — Лиувилля, или задачей о нахождении собственных значений и собственных функций некоторого оператора. В данном случае решение этой задачи хорошо известно набор собственных чисел оператора Ла, как следует из [c.271]

Каждый из этих корней является приближенным значением сверху соответствующего собственного числа задачи Штурма — Лиувилля уравнения теплопроводности при граничных условиях первого рода, т. е. [c.55]

Из табл. 3.22 следует, что первый корень определителя Д(р)=0 для усеченных систем первого, второго и третьего порядков, монотонно убывая, совпадает с точным собственным значением = 9,8696 уже в третьем приближении. В решении (3.264) функция ij3 ft( , 2) с точностью до постоянного множителя приближенно аппроксимирует собственные функции задачи Штурма—Лиувилля для уравнения теплопроводности в сферических координатах при граничных условиях первого рода. График функции 3 i( , 2) при п=3 в сравнении с функцией 2 sin приводится на рис 3.39. [c.145]

Спектральная теория оператора Фоккера — Планка и задача Штурма — Лиувилля [c.189]

Если бы задача на собственные значения ставилась для обратного уравнения Колмогорова, которое также может служить разумным подходом к исследованию переходных режимов, то подходящим пространством функций было бы пространство функций, непрерывных на интервале [61,62], обозначаемое С [а, 6 [6.20]. Задача на собственные значения для УФП тесно связана с так называемой задачей Штурма — Лиувилля, которой посвящена обширная литература [6.21—24]. Уравнение второго порядка [c.191]

Таким образом, мы свели исходное УФП к задаче Штурма — Лиувилля с [c.192]

Для дальнейшего важно еш.е раз подчеркнуть, что собственные функции уравнения Штурма — Лиувилля (6.104) совпадают с собственными функциями ОУК, но не УФП. Собственные функции УФП получаются при умножении на стационарную плотность вероятности (см. (6.102)). Так как спектры ОУК и УФП совпадают, рассмотрим сначала собственные значения задачи Штурма — Лиувилля. Из классической теории Штурма — Лиувилля [6.24, 25] известно следующее. [c.192]

Таким образом, между классической задачей Штурма — Лиувилля и задачей на собственные значения для УФП имеется определенный разрыв. Без ответа остается вопрос, образуют ли собственные функции I Аг = О, 1, 2,. .. полную систему и в [c.195]

Воспользуемся теперь преобразованием (6.102) и сведем УФП (6.141) к задаче Штурма — Лиувилля [c.198]

Тем самым доказано [6.29], что if, будучи элементом пространства допустимых функций для УФП, а именно Li(0, оо), есть собственная функция, соответствующая собственному значению ii = Я — а /2 до тех пор, пока ц > 0. Однако задача Штурма — Лиувилля или приведение к уравнению Уиттекера приводят к выводу, что III = Х — а /2 принадлежит спектру лишь при условии, если X > а , так как в противном случае функция ifi не- [c.201]

До сих пор мы рассматривали возмущения, принадлежащие только пространству (О, оо, р ). В этом случае спектр и соответствующая ему система собственных функций совпадают со спектром и собственными функциями задачи Штурма — Лиувилля. Но, как упоминалось выше, задача Штурма — Лиувилля представляет собой, вообще говоря, лишь суженный вариант задачи на собственные значения для УФП, так как пространством [c.203]

Из последних двух условий мы заключаем, что любая плотность вероятности перехода, симметричная относительно середины пространства состояний, навсегда сохранит свою симметрию. Первое условие обеспечивает применимость теоремы Эллиотта. Следовательно, спектр во всем классе моделей чисто дискретный. Собственные значения и соответствующие им собственные функции определяются задачей Штурма — Лиувилля, й собственные функции образуют полную систему в пространстве 1(61,62). Из классической теории Штурма — Лиувилля [6.24] известно, что [c.209]

I = О и 1=1. Процедура решения указанной задачи Штурма — Лиувилля требует весьма трудоемкого численного счета. Эта процедура была выполнена для семи первых собственных значений функции в работе [13]. [c.336]

Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля [c.179]

Если л<0, то решения уравнения (10) будут вида если же л > О, то решения этих уравнений будут содержать косинус и синус. Таким образом, вопрос о том, каков знак характеристического числа задачи Штурма — Лиувилля, имеет существенное значение. Оказывается, что эти характеристические числа всегда положительны, за исключением одного случая, когда одно из них равно нулю. В этом состоит первая основная теорема о собственных числах задачи Штурма — Лиувилля. Мы сегодня не будем ее доказывать. [c.383]

В системе из дискретных масс было возможно некоторое конечное число N гармонических колебаний с соответствующими амплитудами, меняющимися от точки к точке Здесь, как утверждает вторая теорема о собственных значениях задачи Штурма — Лиувилля, имеется бесконечное множество характеристических чисел наша система способна колебаться с бесконечным набором возможных частот (существенное отличие от дискретной системы), [c.383]

Таким образом, вопрос о возможности удовлетворить основным уравнениям и начальным условиям сводится к вопросу о том, можно ли представить заданную функцию в виде бесконечного ряда, состоящего из постоянных, умноженных на собственные функции нашей краевой задачи. Может ли любая функция от х быть разложена в ряд по собственным функциям задачи Штурма— Лиувилля [c.385]

В результате (18) легко найти коэффициенты разложения функции /(х) по функциям <р,(х) задачи Штурма—Лиувилля. Умножим обе части равенства (16) на f x)q x) и проинтегрируем от О до I. Слева получаем [c.386]

Задача об однородном стержне с закрепленными концами. Частоты и формы колебаний. Свойства, типичные и нетипичные для общего случая задачи Штурма—Лиувилля. Случай свободных концов. Случай, когда один конец свободен, а другой — закреплен. Случай электрической линии, нагруженной конденсатором. Случай электрической линии, нагруженной катушкой самоиндукции. [c.390]

Вернемся к задаче Штурма—Лиувилля, сформулированной в прошлой лекции. Возьмем самый простой, всем известный пример. Этот пример практически чрезвычайно важен. Кроме того, в нем многие черты характерны для самой общей проблемы Штурма— Лиувилля. [c.390]

Решениями являются гармонические колебания (4), частоты которых образуют согласно (8) бесконечную дискретную последовательность. Она не имеет сгущения в конечной области, а растет в бесконечность. И эти свойства тоже типичны для задачи Штурма—Лиувилля. Но не типично то, что частоты (8) образуют гармонический ряд, т. е. относятся между собой, как целые числа. Обертоны неоднородной системы не относятся друг к другу, как целые числа. [c.392]

То, что пространственная форма колебания синусоидальна,— это не типично. Но типично для всех задач Штурма—Лиувилля то, что при переходе от к число нулей функции < х) [c.393]

Случаи, когда на одном конце включена индуктивность, а на другом — емкость (рис. 164), несколько более сложны под краевые условия задачи Штурма—Лиувилля они не подходят. [c.401]

Изменение распределения концентрации внутри капли с течением времени. Диффузионный поток вещества через поверхность капли. 1Иетодом разделения переменных с последующим определением собственных значений в задаче Штурма — Лиувилля с привлечением квадратичной аппроксимации по функции с ( , ) по методу Ритца можно построить решение краевой задачи (4.6) — (4.10) в виде [c.301]

Аналитические методы решения задач нестационарной теплопроводности в большинстве случаев приводят к представлению температурных полей в виде бесконечного функционального ряда по собственным функциям соотвётствую-щен граничной задачи Штурма—Лиувилля. Для классических тел в форме пластины, сплошного и полого шара соб- твенными функциями являются тригонометрические функ-дни синуса и косинуса, а для цилиндра и стенки круглой [c.129]

Из рассмотрений этого пункта следует, что вопрос об асимптотике длин лакун (63) сводится к нахождению асимптотических формул для собственных значений периодической и полупериодической краевой задачи Штурма — Лиувилля на конечном интервале. Обычными методами можно показать, что если периодический потенциал д х) имеет г непрерывных производных, то при больших X [c.286]

С точки зрения функционального анализа искомые решения задач теплопроводности можно рассматривать как элемент (вектор) функционального пространства, координатным базисом которого является система собственных функций соответствующей задачи Штурма—Лиувилля. При этом собственные функции не зависят от поведения внутренних и внешних тепловых воздействий, которые проявля-ются через внутренние источники теплоты в самом уравнении теплопроводности и через внешние тепловые воздействия в граничных условиях. По этой же причине температурные поля в твэлах при неоднородных граничных условиях найденные известными классическими методами, ча сто приводят к функциональным рядам, которые плохо схо дятся вблизи границы. Такие замечания к методам приме нения интегральных преобразований в задачах математи ческой физики были высказаны Г. А. Гринбергом [41] а также П. И. Христиченко [128]. Тепловой расчет с по мощью частичной суммы точного решения без дополни тельных исследований может привести к значительным ошибкам, особенно для соответствующих предельных задач. Поэтому определение других базисных координат в функциональном пространстве которых приближенны( решения дают лучшую сходимость, а за переходным режи мом совпадают с точным решением, имеет важное практи ческое значение. Ниже приводится метод оптимального выбора базисных координат при комплексном применени интегральных преобразований и ортогональной проекци к задачам нестационарной теплопроводности в твэлах. [c.130]

Если в гильбертовом функциональном пространстве На, где определен оператор Л, найдется полная ортонормиро-ванная система функций (3.364), которая совпадает с собственными функциями соответствующей задачи Штурма— Лиувилля для уравнения теплопроводности (3.354), то приближенное-решение (3.362), найденное по методу Ритца с последующим переходом в область оригиналов, будет совпадать с я-й частичной суммой точного решения. [c.173]

Мы видим, что задача на собственные значения для УФП действительно тесно связана с задачей Штурма — Лиувилля, о чем уже говорилось выше, но вместе с тем эти задачи не тождественны. Уравнение Штурма — Лиувилля обычно рассматривается на надлежаш,им образом выбранном пространстве квадратич-но-интегрируемых функций. Что же касается УФП, то его решение, как мы уже п Гдчеркив ли выше, должно принадлежать пространству интегрируемых функций. Нет никаких причин, по которым решение УФП должно было бы удовлетворять неравенству (6.121), между тем как любое решение УФП удовлетворяет лишь неравенству [c.195]

Согласно граничным условиям (11.52) "и (11.53), функция Н должна удовлетворять граничным условиям Е/й = О при = О и при = 1. Поэтому уравнение (11.57) представляет собой задачу Штурма — Лиувилля. В результате ее решения должно, как известно, получиться бесконечное число собственных значений с,- и собственных функций В/. В окончательном виде распределение температуры можно записать следуюпщм образом [c.336]

Уравнение, сходное с уравнением Шрёдингера. Периодические краевые условия. Собственные числа оператора. Основные свойства собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Вопрос о разложимости функции в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Вопрос сходимости. [c.379]

ВИЯМ, В ряд Фурье по синусам Мы видим, что ряд Фурье — очень частный случай ряда по собственным функциям задачи Штурма— Лиувилля. То, что он сыграл такую исключительную роль, связано с физической проблемой однородной струны. [c.386]

В интересующем нас вопросе имеется следующая основная теорема (мы не будем ее доказывать) если f x) непрерывна, а f х) и f x) кусочно-непрерывны (т. е. имеются конечные куски, где эти производные непрерывны, и число таких кусков конечно), и если f x) удовлетворяет граничным условиям некоторой задачи Штурма — Лиувилля, то f x) может быть разложена в разномёрно схолящийся ряд по собственным функциям этой задачи Штурма — Лиувилля. Эта теорема указывает достаточные условия разложимости. Более широких условий физика и не требует. [c.390]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология